三角形中位线定理的运用例谈

2017-2018下学期八年级数学专题复习 二：三角形中位线定理的运用例谈 赵化中学 郑宗平三角形的中位线定理在平面几何中比较特殊，它既反映三角形的中位线与三角形边的位置关系，又有与三角形边的数量关系的规律性结论；在一些所谓的几何难题中常见它的身影，而三角形的中位线往往能起牵线搭桥甚至是关键性的作用；下面我精选一部分“含”三角形的中位线的几何解答题，让我们共同来探究、解析、训练.知识要点：三角形的中位线平行于三角形第三边，并且等于第三边的一半.1.三角形三条中位线围成的三角形与原三角形在某些数量上的关系.周长关系如图点分别是的三边的中点，请探究的周长的周长的关系？分析: 点分别是的三边的中点，可知：所以三角形的三条中位线围成的三角形的周长是原三角形的周长的一半.追踪练习：以上面的图为例，若的周长为，则的周长为 .面积关系如图点分别是的三边的中点，请探究的面积与的面积关系？略析：根据三角形中位线定理可以得出,再利用线段中点的定义、平行线性质、平行四边形的性质等可以进一步推出、是全等的，故它们的面积是相等的，则=.所以三角形的三条中位线围成的三角形的面积是原三角形的面积的.说明：今后我们学习了相似三角形的性质后，这个结论的推导就简单多了. 追踪练习：以上面的图为例，若的面积为，则的面积为 .2.中点四边形 顺次连结四边形四边中点所构成的四边形，我们把它简称为中点四边形.中点四边形是有规律可循的.中点四边形的特殊性主要是看原四边形的对角线的特征，分为下面几种情况：.原四边形的对角线既不相等也不垂直，其中点四边形是个一般的平行四边形.如图，点分别是四边形的四边的中点，试探究中点四边形的形状.略析：由点分别是的四边的中点易知：同理：;故中点四边形的形状是平行四边形. （还有其它方法证明）.原四边形的对角线相等但不垂直，其中点四边形是个菱形.如图，点分别是四边形的四边的中点，且,试探究中点四边形的形状.略析：由点分别是的四边的中点易知：易证点四边形的形状是平行四边形，由；故中点四边形是个菱形.原四边形对的角线垂直但不相等，其中点四边形是个矩形.如图，点分别是四边形的四边的中点，且试探究中点四边形的形状.略析：由点分别是的四边的中点易知：易证点四边形的形状是平行四边形，由可以进一步推得,故中点四边形是个矩形.原四边形对的角线既垂直又相等，其中点四边形是个正方形.如图，点分别是四边形的四边的中点，且，试探究中点四边形的形状.略析：由和的方法推理易得点四边形既是菱形又是矩形，故中点四边形是个正方形. （还有其它方法证明）追踪练习：1.顺次连结平行四边形四边中点所构成的中点四边形的形状是 ；2.顺次连结矩形四边中点所构成的中点四边形的形状是 ；3.顺次连结菱形四边中点所构成的中点四边形的形状是 ；4.顺次连结正方形四边中点所构成的中点四边形的形状是 ；5.顺次连结对角线互相垂直等腰梯形的四边中点所构成的中点四边形的形状是 .3.三角形的中位线与梯形.连结梯形两腰中点的线段（梯形的中位线）与两底的关系.如图，梯形中，,分别是两腰的中点，请探究与的关系.分析：本题关键是把梯形的中位线转化成三角形的中位线来解决. 连结延长交的延长线于点.根据题中条件易证,得： 在中，由可以推出.可以进一步得出：.结论：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一 .连结梯形两对角线中点的线段与两底的关系. 如图，梯形中，,分别是两对角线的中点，请探究与的关系.分析：本题关键是把梯形的中位线转化成三角形的中位线来解决.连结延长交于点.根据题中条件易证,得:.在中，由可以推出.可以进一步得出：.结论：连结梯形两对角线中点的线段平行于两底，并且等于两底差的一半. 点评： 本例通过连接、延长使 可以看作是是把进行切割填补到处，相当于通过“割补”办法构成三角形，从而使问题 解决！追踪练习:1.若一梯形的高为，其中位线长为，则此梯形的面积为 .2.以上面的题为例的条件的基础上，若增添梯形的中位线长为，求梯形的两底的长分别是多少？4.巧添三角形的中位线来破题添三角形中位线是几何图形辅助线比较常见的辅助线.已知三角形边上的中点，直接连结构成中位线是最常见的添中位线的方式，也是同学们容易想到的；上面第3点可以可以看作是割补构成中位线这里不举例；下面这些例子添三角形中位线的途径有些有一定的技巧性，希望能给同学们从中得到一些启发.补全三角形，得到三角形的中位线.例.如图分别是的中点，求证：四边形是平行四边形.分析：本题求证的是四边形是平行四边形，需要有平行或相等的条件；由本题中点条件自然联想到由三角形的中位线来提供这样的条件，但有中点却没有现成的三角形的中位线；细心同学会发现中点之所在的线段并非是某完整三角形的边，如果我们连结或问题便解决了.如图，当连结后，在和，由于 分别是的中点，根据三角形的中位线定理可得：.故四边形是平行四边形.再取中点，连成中位线例1. 如图，为的边的中点，,求的长？分析：在三角形的一边上有一中点，根据条件很容易再取一中点来连结而成三角形的中位线来解决问题.在中，又由于为的中点，根据三角形的中位线定理可得：;因为已得出为线段的中点，根据平行线等分线段（属于选学内容）可以得出为线段的中点,即为的中位线，所以;所以例2.四边形中，对角线,分别为的中点,点为的交点,为分别与的交点，求证： 分析：本题的分别为的中点，但并非为某三角形和梯形（四边形没有告诉是梯形）的中位线，本题的分别为的中点，若化在和来看，它们有一公共边，若在公共边取一中点,连结（见图示），此时就分别是和的中位线，根据三角形的中位线定理可得：且；又;.例3.分别为的中点，且；求证：.分析：本题要证明的是两个角相等，而两个角相等的直接条件没有，再加上在图形上两个角的位置上有比较分散，所以我们应思考把分散位置上的转化在一起，很容易联想到由平行线来帮忙.由本题有线段中点的条件，所以可以尝试再取一中点连成三角形的中位线来提供平行线.略证：如图，连结,取出线段的中点.又分别是线段的中点 , 即, , , 点评：本题在添加辅助线上有些技巧性，但如果能想到把位置分散的“搬”到同一个三角形中且要使它们相等来解决问题，根据本题提供的条件这样的辅助线是应该想到的.另外例2和例3都有一个都一个共同的特点，要把问题转化到同一个三角形中，关键要找到或构造共同的边的中点,例2的公共边的中点和例3构造的公共边(对角线)的中点.挖出隐含的中点构成中位线.例1.如图，为线段的中点,三点共线求证：四边形是梯形分析：证明四边形是梯形当然关键是证明有且只有一组对边平行，根据本题提供的条件就是要证明.提供平行线除了以前常用的方法，现在三角形的中位线定理又使我们多了一条途径. 根据本题的条件已经有了为线段的中点，若再找一个且是同一个三角形边的中点，连结就有了三角形中位线，有些中点是明显的，有的中点却是“隐藏”在图形中，需要用平时积累的知识使它现身.本题的可以得出：四边形是平行四边形，平行四边形的对角线是互相平分的，若我们连结对角线与对角线的交点就是线段的中点，在中，根据三角形的中位线定理可以得出.例2. 中，平分,为的中点，求证： 分析：本题和例1的思路是一样的，关键是挖出隐含的中点，从而来使问题得以解决. 如图若我们延长交于带点,根据题中条件容易证得,所以,即为的中点；又为的中点，根据三角形的中位线定理可以得出.例3.分别平分， ,垂足分别为.求证： 分析：本题和例1、例2的思路是一样的，关键是挖出隐含的中点，从而来使问题得以解决. 如图若我们分别延长交于点,根据题中条件容易证得,所以,即为的中点；同中位理可以得到为的中点，根据三角形的线定理可以得出.点评: 隐含在图形中的中点往往是我们平时容易忽视的，但挖出这些“隐藏的中点”往往有可能是一道题破题的一个关键环节；我们同学有的虽然有这方面的知识积累，但却没有这方面的意识，这也难以找到破题的的途径.根据上面三道例题来看，隐藏的中点要注意平行四边形（包括特殊的平行四边形）的对角线互相平分、角的平分线与垂线相结合的图形交点、等腰三角形的三线合一、平行线等分线段、中垂线等等知识点.追踪练习：1.如图，分别是C三边中线交于点,，1. .求证：四边形是平行四边形.2.如图，中，为边上的一点，中线与线段交于的,且，求的值？3.如图正方形的对角线交于点,的平分线交于点.求证：5.三角形中位线的实际应用举例例.两点被池塘隔开，现在要测出两点间的距离，但又无法直接去测量，怎么办？略解：在池塘外的空地上取一点,用绳子“连结”，测量后取出的中点分别为，量出之间的距离，此时.根据是三角形的中位线定理. （见右图图解）追踪练习： 怎样测量一座建筑底面是四边形地基（如右图房子）的对角线的长？ 若不进入屋内直接测量有多少种测量方法？请画出线条示意图进行说明.巩固练习：1.如图，已知四边形， 分别为上的点，分别是的中点，当动点在上从点向点移动而点不动时，那么下列结论成立的是 （ ）A.线段的长逐渐增大 B.线段的长逐渐减少C.线段的长不变. D.线段的不能确定2.小明作出了边长为3的第1个正，算出了正，然后分别取三边的中点，作出第二个正，算出其面积；用同样的方法作出第三个正，算出面积 则第10个正的面积为（ ）A. B. C. D.3.如图，的周长为36，对角线交于点,点是的中点；若,则的周长为 .4. 在中，,分别是边的中点，且，则的长为 .5.如果分别为四边形的四边的中点（见图），若；若四边形的对角线,那么四边形的面积为 . 6.已知，如图矩形中，,为对角线 的中点，是边中点，连接,则四边形 的周长为 . 7.如图中，为三角形的中位线，是边上的中点，点为和的交点.求证：和互相平分.8.如图，点分别是的三边的中点，是的高.求证：四边形是梯形且两腰相等.9.如图，点分别是的中点. 求证：四边形是平行四边形10. 如图，已知在中，,分别交于两点，交于, 交于求证:.11.已知：为的边的延长线上的一点，且,连结分别交于，对角