第6章__拉普拉斯变换

第六章拉普拉斯变换,6.0引言,回顾：如何引入傅里叶变换1.很多信号可以用周期复指数信号的线性组合来表示。2.复指数信号是LTI系统的特征函数复指数信号：时傅立叶变换推广为任意s值拉普拉斯变换除具有傅氏变化的优点外，还能应用于不稳定系统的分析缺点：物理意义不如傅立叶变换清晰,6.1拉普拉斯变换,6.1.1定义已知：LTI系统对的响应为：其中对任意信号x(t)，拉普拉斯变换（L）定义为：s为复数：当实部为0，为傅立叶变换另有：即：,例1：，为实数，求其傅立叶变换和拉氏变换解：拉普拉斯变换的收敛域只有时，才能令而求得X(jw),例2：求拉氏变换解：可见，不同的x(t)可能有相同的X(s)，关键在于收敛域不同。收敛域（简称ROC）：使拉普拉斯变换收敛的S值的范围。ROC的图示复平面（S平面）。注意：求拉氏变换，必须同时给出收敛域。,例3求X(s)解：Res-2Res-1Res-1,6.1.2零极点图上述各X（s）称为有理的，只要x(t)是实指数或复指数的线性组合，X（s）就一定是有理的对有理拉普拉斯变换，可用零极点图来形象地表示：分子多项式的根零点分母多项式的根极点除常数因子外，零极点图+ROC就是有理拉普拉斯变换的S平面表示。若分母的阶次高于分子的阶次k次，则X(s)在无限远处有k阶零点。若分子的阶次高于分母的阶次k次，则X(s)在无限远处有k阶极点。,例4？X(s)s为任意值Res-1Res2Res2因为ROC不包括jw的轴（即Res=0）所以x(t)无傅立叶变化,6.2拉普拉斯变换收敛域,极点和ROC的关系；极点、ROC与信号时域性质的关系性质1：X(S)的ROC在S平面内由平行于jw轴的带状区域组成。由狄里赫利条件（绝对可积+2.3条件），要求，仅与s的实部有关有物理意义的常用信号/系统满足条件2.3，所以绝对可积F收敛,性质2：对有理拉普拉斯变换，ROC内不包含极点。（极点处X(s)无限大，不收敛）性质3：如果x(t)是有限持续期，且绝对可积，那么ROC为整个S平面。证明：拉氏变换收敛绝对可积，欲证对所有S，有(1)当上式化为在ROC内,（2）当（3）当对所有s，成立即ROC为整个S平面,性质4：如果x(t)是右边信号，且如果Res=位于ROC内，那么Res的全部s值都一定在ROC内。右边信号：指时，x(t)=0证明：因为x(t)的拉氏变换对收敛，x(t)是右边信号，对于,有即右边信号对应右半平面的ROC,性质5：如果x(t)是左边信号，且若位于ROC内，则的全部S值都位于ROC内。左边信号：时x(t)=0，对应左半平面的ROC性质6：如果x(t)是双边信号，且若位于ROC内，则ROC一定是S平面上包括的一条带状区域。双边信号：对时间轴左、右都是无限范围的,例求X（s）解：Res-bRes0时有公共收敛域：-bResb当b-1求X（s）?解：ROC为：Res-2,为：Res-1，但仅在s=-2有极点，所以ROC向左延伸至s=-2原因：s=-1处零、极点抵消确定的ROC方法：（1）求（2）将其向左、或右延伸，直至最近的极点,2、时移若ROC=R则ROC=R3、S域平移ROC=RROC如上表示是一种符号（边界变化）若X(s)有极点或零点在s=a，那么一定有极点或零点在，即,4、时域尺度变换（a为实）ROC=RROC=aRROC=aR表示“边界的变化”a为负值时，ROC要增加关于jw轴的反转。特例：ROC=-R,5、共轭ROC=RROC=R推论：若x(t)为实函数，有X(s)=X*(s*)因此若X(s)有零极点位于必有一共轭的零极点位于,6、卷积性质ROC=R1ROC=R2ROC包括7、时域微分ROC=RROC包括R，s=0处的零极点有变化,8、S域微分ROC=RROC=R例：求的拉氏变换解：由Res-a得所以Res-a一般式：（当x(s)有多重极点时有用）,例：Res-1的反变换解：由于ROC在极点s=-1s=-2的右边，所以对应右边信号,9、时域积分ROC=RROC包括RRes0证明：Res0所以ROC包括RRes0,10、初值和终值定理条件：t0时，x(t)=0初值定理：初值定理条件：t=0时，x(t)不含冲激或高阶奇异函数，X(s)必须为真分式分子阶次2，所以由于ROC不包括jw轴，所以非稳定（2）系统是稳定的，ROC包含jw轴：-1Res-a,例3：x(t)=g(t)+2u(t)+etu(t),求解：t1例4：解：因为ROC一定为右半平面，所以ROC为：Res-2所以单边拉普拉斯反变换仅能得到t0-时的信号表达式,6.7.2单边拉普拉斯变换的性质,1、时域微分-与双边变换明显不同2、卷积性质：单边变换增加的条件-若t0时，,6.7.3利用单边拉普拉斯变换求解微分方程,重要应用：非零初始条件的线性常系数微分方程例：下列微分方程描述的因果LTI系统（1）求系统函数（2）当x(t)=u(t)时，求零状态响应（3）初始条件为：y(0-)=,x(t)=u(t)，求y(t),解：(1)依题，系统函数为：(2)(3)由微分方程求单边拉氏变换得前两项的反变换，为输入为0时的响应