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文档简介

一、利用直角坐标计算二重积分,二、小结思考题,第二节二重积分的计算法（一）,【复习与回顾】,(2)回顾一元函数定积分的应用,平行截面面积为已知的立体的体积的求法,体积元素,体积为,在点x处的平行截面的面积为,(1)上节思考题,代替,？,不能用,其中函数、在区间上连续.,一、利用直角坐标系计算二重积分,(1)X型域,【X型区域的特点】穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,1.【预备知识】,(2)Y型域,【Y型区域的特点】穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,(3)既非X型域也非Y型域如图,在分割后的三个区域上分别都是X型域(或Y型域),则必须分割.,由二重积分积分区域的可加性得,(1).若积分区域为X型域：,2.【二重积分公式推导】,【方法】根据二重积分的几何意义以及计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法来求.,即得,公式1,【几点小结】,a,b,x,3.【二重积分的计算步骤可归结为】,画出积分域的图形，标出边界线方程；,根据积分域特征，确定积分次序；,根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算。,公式2,【说明】(1)使用公式1必须是X型域，,公式2必须是,(2)若积分区域既是X型区域又是Y型区域,为计算方便,可选择积分次序,必要时还可交换积分次序.,则有,(3)若积分域较复杂,可将它分成若干,X-型域或Y-型域.,Y型域.,4.【例题部分】,【例1】,【解】,看作X型域,【解】,看作Y型域,【例2】,【解】,D既是X型域又是Y型域,法1,法2,注意到先对x的积分较繁，故应用法1较方便,注意两种积分次序的计算效果！,【例3】,【解】,D既是X型域又是Y型域,先求交点,法1,法2,视为X型域,计算较繁,本题进一步说明两种积分次序的不同计算效果！,【小结】,以上三例说明，在化二重积分为二次积分时，为简便见需恰当选择积分次序；既要考虑积分区域D的形状，又要考虑被积函数的特性(易积),【例1】,【解】,X-型,5.【简单应用】,【例4】,求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积V.,【解】,设两个直圆柱方程为,利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为,则所求体积为,【例5】,【解】,据二重积分的性质4（几何意义）,交点,6.【补充】改变二次积分的积分次序例题,【补例1】交换下列积
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