流体运动学(II)

流体微团的运动形式与速度分解定理,流体微团在运动过程中，将发生刚体运动（平动和转动）与变形运动（线变形和角变形运动）。例如，一个正六面体，经过时间后，会变成斜六面体。,线变形速率,线变形速率：单位时间内流体微元线的相对伸长。X方向OB绝对伸长，OB相对伸长，OB相对伸长率，,Y方向OG相对伸长率，Z方向OC相对伸长率，体积膨胀率：单位时间内流体微元体积的相对变化，,（1）,速度的散度,根据定义，其中，为单位时间的体积增量，则上式表示单位时间的体积相对增量，则式（1）可化为，,（2）,（3）,角变形速率,角变形速率：过任意点作正交微元流体面，每个面上任作两条过点的正交流体线，在时间间隔前后有两条相应的角平分线，则每条流体线与这两条角平分线的夹角的减小值对时间的导数称为该平面上的角变形速率。由图形几何关系，,（4）,对于OB，,（8）,（5）,（6）,（7）,对于OC，式（9）与（7）完全相同，因而角变形速率也相等。同理，,（9）,（10）,（11）,刚体转动角速度,流体微团的刚体转动角速度在某方向的投影，可用垂直于该方向的平面上两条正交流体线的平均角速度来计算，,（12）,（13）,（14）,同理，（14）-（16）统一写为矢量形式，思考：在前面公式推导过程中，角度以顺时针为正？,（15）,（16）,（17）,海姆霍兹（Helmholtz）速度分解,在点处，速度场可表示为，在领域一点处，速度场可表示为，,以x方向速度为例，由泰勒级数得，将上式加、减两项，,（18）,（19）,根据前面线变形速率、角变形速率，及刚体转动角速度公式，上式可简写为，同理，,（20）,（21）,将（20）-（22）统一写成矢量形式，其中，第一项表示流体微元的平动速度，第二项表示微元转动引起的速度，第三项表示微元变形引起的速度。,（22）,（23）,速度分解的泰勒展开法,领域两点的速度差，,反对称张量,对偶矢量（dualvector），对偶张量（dualtensor），,思考：如果定义如下反对称张量，则对速度分解的表达式有何不同？,变形速率张量,在速度分解定理中，最后一项是由流体微元变形引起的，其中称为变形速率张量，或应变率张量，,（24）,海姆霍兹速度分解意义,亥姆霍兹速度分解定理对于流体力学的发展有深远的影响，正是由于把旋转运动从一般运动中分离出来，才使我们有可能把运动分成无旋运动和有旋运动，从而可对它们分别进行研究；也正是由于把流体的变形运动从一般运动中分离出来，才使我们有可能将流体变形速率与流体的应力联系起来，这对于粘性规律的研究有重大的影响。,有旋与无旋运动,流体质点的涡量定义为，涡量表示流体质点绕自身轴旋转角速度的2倍。并由涡量是否为零，定义无旋流动与有旋运动。,（25）,有旋流动的一般性质,有旋流动又叫旋涡运动，它是流体运动的一种重要类型。流动究竟是有旋还是无旋，是根据流体微团本身是否旋转来决定的，而不是根据流体微团的轨迹形状来决定的。涡量场的散度为0，,涡线,涡线是这样一条曲线，曲线上任意一点的切线方向与在该点的流体的涡量方向一致。因为，所以涡线也可看作流体微团的瞬时转动轴线。涡线是对同一时刻而言的，不同时刻涡线可能不同。,涡线方程,根据涡线定义，对于不定常流动，在涡线方程中会出现时间t，但这个t是作为参数形式出现的，所以涡线的形状可以随时间变化。对于定常流动，涡线将不随时间变化。根据涡线定义，过一点只能作一条涡线。,（为涡线切线方向的向量）,涡管和涡通量,给定瞬时，通过某一曲线（本身不是涡线）的所有涡线构成的曲面为涡面。管状涡面的内域称为涡管。涡面上，正如流面上，。给定空间曲面，则面积分称为涡通量。是曲面A的外法线单位向量，称为流出曲面的涡通量，称为流入曲面的涡通量。,涡通量守恒定理,给定瞬时，流入涡管的涡通量等于流出涡管的涡通量，这就是涡管的涡通量守恒定理。证明：,（涡管表面）,速度环量,定义：在速度场中沿封闭周线的线积分称为绕该周线的速度环量，记为。定理：速度环量等于张在封闭周线上任意曲面的涡通量，其中曲面的法向量由右手法则确定。证明：,无旋流动的一般性质,定义：任意时刻，在流场中速度旋度量处处为0，即处处满足的流动。速度有势：无旋必然有势，有势必须无旋。无旋条件是速度有势的充分和必要条件。无旋流场又叫有势流场或简称位势流。只要满足无旋条件，必有速度势存在，而不论流体是否可压缩，也不论是定常流动还是不定常流动。,速度势与环量,在无旋流动中，无限接近的相邻两点的速度势之差为，,其中，B1,B2表示在某一时刻t，连接无旋流场中的两点P0(x0,y0,z0)和P(x,y,z)的任意两条曲线，A是以封闭曲线P0B1PB2P0为边界的开口曲面。如果沿着P0B1PB2P0积分，可以得到同一点上势函数的差值，上式说明：在单连通域中不可能存在封闭流线。,（单连通域要求）,由数学分析可知，是单连通域里积分与积分路径无关的充要条件。,不可压无旋流动的基本方程,根据无旋条件，速度有势，根据不可压条件，,（为拉普拉斯算子）,例题1,判断下面的流动是否有旋，,例题2,某一流动速度场为其中是不为零的常数，流线是平行于x轴的直线。试判别该流动是有旋流动还是无旋流动。,例题3,已知速度场，求：（1）t=2时，P(1,2,3)点处流体质点的加速度；（2）该流场是否是无旋流场？（3）流场中的任意点处流体微元的线变形速率和角变形速率各分量。,例题4,若下面的速度场存在速度势，则求该速度势的表达式。,作业1,给定如下二维速度场，问：该流动是否无旋？,作业2,