（新课标）高考数学复习第三章导数及其应用第14讲导数的概念及运算导学案新人教A版.docx

第三章 导数及其应用知识体系p37第14讲导数的概念及运算【课程要求】1了解导数概念的实际背景2理解导数的意义及几何意义3能根据导数定义求函数yC(C为常数)，yx，yx2，yx3，y，y的导数4能利用基本初等函数的导数公式及导数运算法则进行某些函数的求导对应学生用书p37【基础检测】1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)f(x0)与f(x0)表示的意义相同()(2)f(x0)是导函数f(x)在xx0处的函数值()(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点()(4)因为(lnx)，所以lnx()(5)ycos3x由函数ycosu，u3x复合而成()答案 (1)(2)(3)(4)(5)2选修22p11B组T1个物体的运动方程为s1tt2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在5秒末的瞬时速度是()A6米/秒B7米/秒C8米/秒D9米/秒解析物体的运动方程为s1tt2, s12t，s|t59.答案D3选修22p18练习T2下列求导运算正确的是()A.1B(log2x)C(3x)3xlog3eD(x2cosx)2sinx解析x1；(3x)3xln3；(x2cosx)(x2)cosxx2(cosx)2xcosxx2sinx.答案B4选修22p18A组T7曲线y在点M处的切线方程为_解析由已知y，所以曲线y在点M处的切线方程为y，即xy0.答案xy05已知直线yx1是函数f(x)ex图象的切线，则实数a_解析设切点为(x0，y0)，则f(x0)ex01，ex0a，又ex0x01，x02，ae2.答案e26若函数f(x)f(1)ex1f(0)xx2，则f(1)_解析f(x)f(1)ex1f(0)2x，则f(1)f(1)f(0)2，所以f(0)2，故f(x)f(1)ex12xx2，则有f(0)f(1)e1，解得f(1)2e.答案2e【知识要点】1平均变化率及瞬时变化率及导数的概念(1)函数yf(x)从x1到x2的平均变化率用_表示，且.(2)函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0).(3)函数f(x)的导函数：称函数f(x)_lim_为f(x)的导函数(4)导数的几何意义和物理意义几何意义：函数yf(x)在xx0处的导数就是曲线yf(x)上_点(x0，f(x0)处切线_的斜率k，即k_f(x0)_；切线方程为_yf(x0)f(x0)(xx0)_物理意义：若物体位移随时间变化的关系为sf(t)，则f(t0)是物体运动在tt0时刻的_瞬时速度_2基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)xn(nQ*)f(x)_nxn1_f(x)sinxf(x)_cos_x_f(x)cosxf(x)_sin_x_f(x)ax(a0)f(x)_axln_a_f(x)exf(x)_ex_f(x)logax(a0，且a1)f(x)_f(x)lnxf(x)_3.导数的运算法则(1)f(x)g(x)_f(x)g(x)_；(2)f(x)g(x)_f(x)g(x)f(x)g(x)_；(3)_(g(x)0)_4复合函数的导数(1)对于两个函数yf(u)和ug(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这两个函数(函数yf(u)和ug(x)的复合函数为yf(g(x)(2)复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为_yxyuux_，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积对应学生用书p38导数的运算法则及应用例1求下列函数的导数：(1)y(3x24x)(2x1)；(2)y3xex2xe；(3)y.解析 (1)y(3x24x)(2x1)6x33x28x24x6x35x24x，y18x210x4.(2)y(3xex)(2x)e(3x)ex3x(ex)(2x)3xexln33xex2xln2(ln31)(3e)x2xln2.(3)y.小结1.应用基本初等函数的导数公式进行导数计算时应注意：公式(xn)nxn1中，n为有理数；公式(ax)axlna，(logax)与(ex)ex，(lnx)，清楚地区分和熟记2求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量1求下列函数的导数：(1)yx2sinx；(2)y.解析 (1)y(x2)sinxx2(sinx)2xsinxx2cosx.(2)y.复合函数的导数例2求下列函数的导数：(1)y；(2)yxsincos；(3)yx.解析 (1)设u13x，则yu4，yxyuux(u4)u(13x)x4u5(3)12u5.(2)yxsincosxsin(4x)xsin4x，ysin4xx4cos4xsin4x2xcos4x.(3)y(x)xx().小结1.掌握求复合函数的导数一般步骤：(1)分清复合关系，适当选定中间变量，正确分解关系；(2)分层求导，弄清每一步中是哪个变量对哪个变量求导数2复合函数的导数计算关键是联想基本初等函数，准确地通过中间量对复合函数进行分拆，同时最后结果是关于x的函数解析式2求下列函数的导数：(1)y(2x1)5；(2)ysin2.解析 (1)设u2x1，则yu5，yyuux(u5)u(2x1)x5u425(2x1)4210(2x1)4.(2)y2sin2sincos2sincos22sin.导数运算的应用例3(1)若函数f(x)在R上可导，f(x)exlnxx3f(1)，则f(1)_解析由已知可得f(x)ex3x2f(1)，故f(1)e3f(1)，解得f(1).答案(2)已知f(x)x2sin，f(x)为f(x)的导函数，则f(x)的图象是()解析f(x)x2sinx2cosx，f(x)xsinx，它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D.又f(x)cosx，当x时，cosx，f(x)0，故函数yf(x)在区间上单调递减，故排除C，选A.答案A小结导数的运算是所有导数问题的基础，高考中直接考查导数运算的题目较少，但凡是涉及导数的问题不用计算导数的也极其罕见因此，必须牢牢掌握导数的运算法则3已知函数f(x)(x22)(ax2b)，且f(1)2，则f(1)()A1B2C2D0解析f(x)(x22)(ax2b)ax4(2ab)x22b，f(x)4ax32(2ab)x为奇函数，所以f(1)f(1)2.答案B4已知f(x)是函数f(x)的导函数，且对任意的实数x都有f(x)ex(2x2)f(x)，f(0)1，则()Af(x)ex(x1) Bf(x)ex(x1)Cf(x)ex(x1)2Df(x)ex(x1)2解析令G(x)，则G(x)2x2，可设G(x)x22xc，G(0)f(0)1.c1.f(x)(x22x1)exex(x1)2.答案D导数的几何意义例4(1)曲线f(x)x3x3在点P处的切线平行于直线y2x1，则P点的坐标为()A(1，3) B(1，3)C(1，3)和(1，3) D(1，3)解析f(x)3x21，令f(x)2，则3x212，解得x1或x1，P(1，3)或(1，3)，经检验，点(1，3)，(1，3)均不在直线y2x1上，故选C.答案C(2)已知f(x)lnx，g(x)x2mx(m0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1)，则m的值为()A1B3C4D2解析f(x)，直线l的斜率为kf(1)1，又f(1)0，切线l的方程为yx1.g(x)xm，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有解得m2.答案D小结1.导数几何意义基本题型：(1)是求曲线的切线方程，其关键是理解导数的几何意义，并能准确求导；(2)是求切点坐标，其思路是先求函数的导数，然后让导数值等于切线的斜率，从而得出切线方程或求出切点坐标； (3)是求参数的值(范围)，其关键是列出函数的导数等于切线斜率的方程2解决此类问题的先决条件是应先正确求导，再根据其他条件求解，求曲线的切线应注意：(1)“过点A的曲线的切线方程”与“在点A处的切线方程”是不相同的，后者A必为切点，前者未必是切点； (2)曲线在某点处的切线若有则只有一条，曲线过某点的切线往往不止一条；切线与曲线的公共点不一定只有一个5设曲线y在点处的切线与直线xay10平行，则实数a_解析因为y，所以y|x1，由条件知1，所以a1.答案16函数g(x)x3x23lnxb(bR)在x1处的切线过点(0，5)，则b的值为()A.B.C.D.解析当x1时，g(1)1bb，又g(x)3x25x，所以切线斜率kg(1)35311，从而切线方程为y11x5，由于点在切线上，所以b115，解得b.故选B.答案B导数的几何意义的综合应用例5已知fln(xm)，gex.(1)m2时，证明：fg(x)；(2)设直线l为函数f(x)上一点A(x0，f(x0)(0x01)处的切线，若直线l也与g(x)相切，求正整数m的值解析 (1)法一：设Fgfexln(x2)，则Fex，F(x)递增，且F，F10.所以F(x)F(a)0，即g(x)f(x)法二：exx1ln(x2)，注意两个等号成立条件不一致；(2)f，故f，故切线l的方程为yln(x0m)，设直线l与g(x)相切于点(x1，ex1)，注意到gex，从而切线斜率为ex1，因此x1ln(x0m)，而gex1，从而直线l的方程也为y，由可知ln(x0m)，故lnx01，由m为正整数可知，x0m10，因此解得ln，0x01，构造函数hln(0x0，当m1时，hln为单调递增函数，且hln221时，要使得h在(0，1)上存在零点，则只需hlnm0，由h1lnm为单调递增函数，且h1ln30，因此m3；由h2(m)ln为单调递增函数，且h2ln221；由于m为正整数，且1m0，得8x14x010，令g8x314x1，g24x21424，所以函数g在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，且g350，g50，所以g8x314x1在区间，上均有一个零点，故过点P有三条直线与曲线yf相切(2)因为当x0时，f10，即当x0时，e2x1，所以当x0时，ax22x10，设hax22x1，则h2ax22，设max1，则ma.当a2时，由x0得2，从而m0，(当且仅当x0时等号成立)，所以max1在区间上单调递增，又m0，所以当x0时，m0，从而当x0时，h0，所以hax22x1在区间上单调递减，又h0，所以当x0时，h0，即ax22x10，所以当x0时，f10；当a2时，令m0，得a0，xln0，故当x时，m0，max1在上单调递减，又m0，当x时，m0，从而当x时，h0，hax22x1在上单调递增，又h0，从而当x时，h0，即ax22x10，于是当x