（新课标）高考数学复习第七章不等式第39讲基本（均值）不等式导学案新人教A版.docx

第39讲基本(均值)不等式【课程要求】1了解基本(均值)不等式的证明过程2会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题对应学生用书p105【基础检测】1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数yx的最小值是2.()(2)函数f(x)cosx，x的最小值等于4.()(3)“x0且y0”是“2”的充要条件()(4)若a0，则a3的最小值为2.()(5)不等式a2b22ab与有相同的成立条件()(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项()答案 (1)(2)(3)(4)(5)(6)2必修5p99例1(2)设x0，y0，且xy18，则xy的最大值为()A80B77C81D82解析x0，y0，即xy81，当且仅当xy9时，(xy)max81.答案C3必修5p100A组T2若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_m2.解析设矩形的一边为xm，则另一边为(202x)(10x)m，yx(10x)25，当且仅当x10x，即x5时，ymax25.答案254若x0，则x()A有最小值，且最小值为2B有最大值，且最大值为2C有最小值，且最小值为2D有最大值，且最大值为2解析因为x0，x2，当且仅当x1时，等号成立，所以x2.答案D5已知0x1，则x(33x)取得最大值时x的值为()A.B.C.D.解析0x0，则函数yx的最小值为()A0B.C1D.解析yx2220，当且仅当x，即x时等号成立函数的最小值为0.故选A.答案A【知识要点】1基本不等式(1)基本不等式成立的条件：_a0，b0_(2)等号成立的条件：当且仅当_ab_2几个重要的不等式(1)a2b2_2ab_(a，bR)；(2)_2_(a，b同号)；(3)ab(a，bR)；(4)(a，bR)3算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：_两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数_4利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，(1)如果xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2(简记：积定和最小)(2)如果xy是定值q，那么当且仅当xy时，xy有最大值是(简记：和定积最大)对应学生用书p105利用基本(均值)不等式求最值一、拼凑法求最值例1(1)设0x0，n0)过点(1，2)，则的最小值为()A2B6C12D32解析因为直线2mxny20(m0，n0)过点(1，2)，所以2m2n20，即mn1，所以(mn)332，当且仅当“，即nm”时取等号，所以的最小值为32，故选D.答案D小结1.常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；(4)利用基本不等式求解最值2常数代换法求解最值应注意的问题(1)条件的灵活变形，确定或分离出常数是基础；(2)已知等式化成“1”的表达式，是代数式等价变形的关键；(3)利用基本不等式求最值时注意基本不等式的前提条件2已知正数x，y满足x2yx0，则x2y的最小值为_解析由x2yxy0，得1，且x0，y0.x2y(x2y)4448，当且仅当x2y时等号成立答案8三、消元法求最值例3若正数x，y满足x26xy10，则x2y的最小值是()A.B.C.D.解析因为正数x，y满足x26xy10，所以y.由即解得0x1.所以x2yx2，当且仅当，即x，y时取等号故x2y的最小值为.答案A小结通过消元法求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解基本(均值)不等式与函数的综合问题例4某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到(150.1x)万套现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润售价供货价格问：(1)每套丛书售价定为100元时，书商所获得的总利润是多少万元？(2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？解析 (1)每套丛书售价定为100元时，销售量为150.11005(万套)，所以每套丛书的供货价格为3032(元)，故书商所获得的总利润为5(10032)340(万元)(2)每套丛书售价定为x元时，由得0x150.设单套丛书的利润为P元，则Pxx30，因为0x150，所以150x0，所以P120，又(150x)221020，当且仅当150x，即x140时等号成立，所以Pmax20120100.故每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，为100元小结利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解3某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是_解析一年的总运费为6(万元)一年的总存储费用为4x万元总运费与总存储费用的和为万元因为4x2240，当且仅当4x，即x30时取得等号，所以当x30时，一年的总运费与总存储费用之和最小答案30基本(均值)不等式的综合应用一、求参数值或取值范围例5当0m时，若k22k恒成立，则实数k的取值范围是()A2，0)(0，4 B4，0)(0，2C4，2 D2，4解析因为0m0，当x0时，f(x)x222，当且仅当x时取等号；当x0时，f(x)x222，当且仅当x时取等号，所以解得a1，故选C.答案C5已知各项均为正数的等比数列an满足a7a62a5，若存在两项am，an使得4a1，则的最小值为()A.B.C.D.解析由