乘法公式的常用方法和技巧

乘法公式的常用方法和技巧一、复习:(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： 位置变化，(x+y)(-y+x)=x2-y2 符号变化，(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2= x2-y2 指数变化，(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4 系数变化，(2a+3b)(2a-3b)=4a2-9b2 换式变化，xy+(z+m)xy-(z+m) 增项变化，(x-y+z)(x-y-z)=(xy)2-(z+m)2 =(x-y)2-z2 =x2y2-(z+m)(z+m) =(x-y)(x-y)-z2 =x2y2-(z2+zm+zm+m2) =x2-xy-xy+y2-z2 =x2y2-z2-2zm-m2 =x2-2xy+y2-z2 连用公式变化，(x+y)(x-y)(x2+y2) 逆用公式变化，(x-y+z)2-(x+y-z)2=(x2-y2)(x2+y2) =(x-y+z)+(x+y-z)(x-y+z)-(x+y-z)=x4-y4 =2x(-2y+2z)二、乘法公式的用法 =-4xy+4xz(一)、套用:这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去脉，准确地掌握其特征，为辨认和运用公式打下基础，同时提高观察能力。例1. 计算： (二)、连用:连续使用同一公式或连用两种以上公式解题。（同一个公式不会超过2次）例2计算： (三)、逆用:学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换位置，得出公式的逆向形式，并运用其解决问题。例3. 计算： (a-2b+3c)2-(a+2b-3c)2(四)、活用: 把公式本身适当变形后再用于解题。这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的公式：例4.已知m+n=7，mn=18，求m2+n2，m2mn+ n2的值三、乘法公式常用方法技巧提出负号：对于含负号较多的因式，通常先提出负号，以避免负号多带来的麻烦。例5. 运用乘法公式计算：（1）(-1+3x)(-1-3x)； （2）(-2m-1)2(2m-1)2注意：-(a+b)2与-(a+b)2的区别改变顺序：运用交换律、结合律，调整因式或因式中各项的排列顺序，可以使公式的特征更加明显.例6. 计算： (x-2)(x2+4)(x+2)巧添括号：运用添括号法则，改变某些因式的符号，可以使公式的特征更加明显。例7. 计算：(2x-y +5)(2x+y -5)合理分组：对于只有符号不同的两个三项式相乘，一般先将完全相同的项调到各因式的前面，为一组；符号相反的项放在后面，为另一组；再依次用平方差公式与完全平方公式进行计算。分组后要加上括号（注意括号前面是“-”时，括号里的各项要改变符号），使公式的特征更明显例8. 计算：（1）(x+y+1)(1-x-y); （2）(2x+3y-z)(2x-3y+z)拆项和添项：例9.计算：分析：两个多项中似乎没多大联系，但先从相同未知数的系数着手观察，不难发现，x的系数相同，y的系数互为相反数，符合乘法公式。进而分析如何将常数进行变化。若将2分解成4与的和，将6分解成4与2的和，再分组，则可应用公式展开。例10. 计算：分析：由观察整式，不难发现，若先补上一项，则可满足平方差公式。多次利用平方差公式逐步展开，使运算变得简便易行。注意添项后要去项（添项是为了计算简便，去项是为了不改变原来式子的值。）四、整式乘法运算中常用的数学思想方法(一)、整体代入的数学思想例11、已知a+b=2，求的值分析:将所求的代数式变形，使之成为a+b的表达式，然后整体代入求值例12、已知求的值分析:由于我们不便将a，b分别求出，但我们从问题入手，不难发现， 利用整体代入，将问题解决(二)、化归的数学思想例13、已知求的值分析:求解本题的关键在于寻找所求式子（目标）与已知条件的关系，可以用下面两种解法解法一（已知目标）:解法二（目标已知）: (三)、逆向思维的思想方法1、逆用幂的运算法则 2、逆用乘法公式例14、计算： (四)、构造公式模型的思想方法例15、计算：1022982 1110110001(五)、数形结合的思想方法例16、已知一个长方形的长为（2a+3b），宽为（3a+2b），若用如图所示的3种图形拼成这个长方形，则需要A 个，B 个，C 个。例17，图是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形（1）图中的阴影部分的面积为 （m-n）2（2）观察图，三个代数式（m+n）2，（m-n）2，mn之间的等量关系是： （m-n）2+4