相似三角形与定值问题

相似三角形与定值问题1、如图，已知平面直角坐标系中，A（4，0），P为y轴负半轴上一动点，OMAP于点M，C为OA上一点，且AO=2OC，过点A和点M分别作x轴和CM的垂线相交于点E，则当P点在y轴负半轴上运动时，OPME的值是否发生变化，若不变，求出值；若变化，求出变化范围。解：连接CEMC为斜边OA的中线，所以MC=AC1=23=4EM=EA，故CE为AM的中垂线易得5=1，可得AOPEAC，故OPME=AOAC=82、如图，已知平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，C为线段OA的中点，F为BC上一点，且CF=OB，连AF并延长交y轴于点E，则的值是否发生变化，证明你的结论.解：过点F作FTx轴，垂足为点T。A（3，0）；C（，0）；B（0，-3）；FC=；BC=CTFCOBFT=，CT=BF=BC-CF=FC为AOF的AO边上的中线，且CF=OB=OA，易得AOF为直角三角形（OFA=90）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得CFA=CAF，又因为CAF=EOF，CFA=EFBEFB=EOF，故BEFBFOBF2=BEBOBE=OE=3-BE=13、已知平面直角坐标系中，直线经过一定点A，直线交x轴于点B，交y轴于点C。（1） 如图1，过B点作BDx轴，且BD=OC，取OB,AD,OC的中点F,E,H，判断EFH的形状并证明。（2） 如图2，以O1（3，）为圆心，2为半径作O1交直线y1于点P，Q，且直线y1交线段BC于点N，M为线段PQ的中点，探究：AMAN的值是否发生变化？若不变，求其值。解：要用到中点坐标公式、两点间距离公式、两直线垂直时，k1k2=-1（1）FH=，FE=，EH=，由勾股定理的逆定理可得，EFH为直角三角形（2）过点N作NTx轴，连接O1M并延长交x轴于点R将两直线联立起来解得N（，）直线，则与之垂直的直线O1R的解析式为：y=x+-4，所以R（3-4k，0）显然RtANTRtARMAMAN=ARAT=（3-4k-1）（1-）=（2-4k）()=104、如图，平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，以AB为直角边做RtABD，其中ABD=90，BD交x轴于点C，AD交y轴于点E，P为线段BC上一动点，过P点作直线与x轴平行，交AB和DA的延长线分别于点M、N，现给出条件：BC=CD；DE=CD.请你从中挑选一个条件证明：当P点运动时，PM+PN是定值，并求出这个值。解：选BC=CDB（0，2），A（4，0）显然RtBOCRtAOBCO=，即C（-，0）BPMBCA DPNDCA +得，+=+，又因为BC=CD，所以+=+=2，故PM+PN=2CA=105、如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OAOB1，这条曲线是函数y的图像在第一限内的一个分支，点P是这条曲线的任意一点，它的坐标是（a，b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN（点M、N为垂足）分别与直线AB相交于点E和F。（1）求OEF的面积（a，b的代数式表示）；（2）AOF与BOE是否一定相似，如果一定相似，请证明；如果不一定相似，请说明理由；（3）当点P在曲线上移动时，OEF随之变动，指出在OEF的三个内角中，是否有大小始终保持不变的角？若有，请求出其大小；若没有，请说明理由。(答案在后面)6、如图，已知平面直角坐标系中，直线交x轴于点B，交y轴于点C。M为第一象限内一点，且MC垂直于OC，连OM，作CPOM于点P，连BP，过P点作EPBP交y轴于点E，问：当点M运动时，的值是否发生变化，若不变求出值；若变化求出变化范围。解：显然CPE=OPB，CEP=OBP，故PCEPOB又CPMOPC故可得，又因为OB=OC，所以CE=CM，故=17、如图，以原点O为圆心，2为半径的O交坐标轴于A,B,C,D四点，M为OA上一点，BM的延长线交O于N，过N的切线交x轴于点P。（1）若M为OA的中点，求P点坐标。（2）若OA=OM，求PMN的周长。（3）在条件（2）的情况下，E为劣弧AB上一点，连BE并延长交x轴于点Q，连PE，在下列条件: E为中点；E为线段BQ中点；PE为O切线中，选取一个作为条件来证明解：过点N作NTx轴（1）M（，0），B（0，2），得BM=，由相交弦定理得，BMNM=CMAMMN=BOMNTMNT=，TM=N（，）显然RtOTNRtNTPTP=PO=+=，故P（，0）（2）由OA=OB=OM，OM=2，根据勾股定理得BM=4=2MO，OBM=30，易得OM=MN，MNP为等边三角形，故周长为6（3）选 E为线段BQ中点利用中点坐标公式及两点间的距离公式即可解决设Q（2a，0），则中点E（a，），根据OE=2，由两点间距离公式得=2，得a=3E（3，）MQ=4，EQ=2，=，=，=8、已知平面直角坐标系中，B(3，0)，A为y轴正半轴上一动点，半径为的A交y轴于点G、H(点G在点H的上方)，连接BG交A于点C。（1）如图，当A与x轴相切时，求直线BG的解析式；（2）如图，若CG=2BC，求OA的长；OByGACHDEFx图 图ABCHGyxO（3）如图，D为半径AH上一点，且AD=1