二次根式勾股定理培优检测

二次根式勾股定理培优检测一选择题（共7小题）1（2016重庆模拟）如果是二次根式，那么x，y应满足的条件是（）Ax1，y0B（x1）y0C0Dx1，y02（2012桃源县校级自主招生）已知a为实数，则代数式的最小值为（）A0B3CD93（2012厦门模拟）若整数m满足条件 =m+1且m，则m的值是（）A0或1B1、0或1C0或1D14（2015黑龙江）ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P是BC边上的动点，过点P作PDAB于点D，PEAC于点E，则PD+PE的长是（）A4.8B4.8或3.8C3.8D55（2008绍兴校级模拟）编织一个底面周长为a、高为b的圆柱形花架，需用沿圆柱表面绕织一周的竹条若干根，如图中的A1C1B1，A2C2B2，则每一根这样的竹条的长度最少是（） ABCDa+b6（2012余姚市校级自主招生）如图，在四边形ABCD中，B=135，C=120，AB=，BC=，CD=，则AD边的长为（）ABCD7（2015秋福鼎市校级期中）如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形和，依此类推，若正方形的面积为64，则正方形的面积为（）A2B4C8D16二填空题（共5小题）8（2013六盘水）无论x取任何实数，代数式都有意义，则m的取值范围为9（2015春东台市月考）三角形的三边长分别为3、m、5，化简=10（2013雅安）在平面直角坐标系中，已知点A（，0），B（，0），点C在坐标轴上，且AC+BC=6，写出满足条件的所有点C的坐标11（2011潍坊）已知长方形ABCD，AB=3cm，AD=4cm，过对角线BD的中点O做BD垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，则AE的长为12（2009宜宾）已知：如图，以RtABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形若斜边AB=3，则图中阴影部分的面积为三解答题（共6小题）13（2015春阳东县期中）阅读下列材料：=+=根据上面的解题方法化简： 14（2004龙岩）张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：n2345a221321421521b46810c22+132+142+152+1（1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n1）的代数式表示：a=，b=，c=；（2）猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想15（2013春双流县期中）已知关于x，y的方程组的解都不大于1（1）求m的范围（2）化简：16（2015秋河源校级月考）细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题OA22=（）2+1=2 S1=；OA32=12+（）2=3 S2=；OA42=12+（）2=4 S3=（1）（直接写出答案）OA10=（2）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律（3）求出S+S+S+S的值17（2015秋贵阳校级期中）观察、思考与验证（1）如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式；（2）如图2所示，B=D=90，且B，C，D在同一直线上试说明：ACE=90；（3）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年4月1日的新英格兰教育日志上），请你写出验证过程18（2015秋南通校级期中）如图，已知ABC中，B=90，AB=16cm，BC=12cm，P、Q是ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿AB方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿BCA方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒（1）出发2秒后，求PQ的长；（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，PQB能形成等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，求能使BCQ成为等腰三角形的运动时间二次根式勾股定理培优检测参考答案与试题解析一选择题（共7小题）1（2016重庆模拟）如果是二次根式，那么x，y应满足的条件是（）Ax1，y0B（x1）y0C0Dx1，y0【考点】二次根式有意义的条件菁优网版权所有【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式即可【解答】解：根据二次根式有意义的条件可知，x，y满足0时，是二次根式故选：C【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键2（2012桃源县校级自主招生）已知a为实数，则代数式的最小值为（）A0B3CD9【考点】二次根式的性质与化简菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】把被开方数用配方法整理，根据非负数的意义求二次根式的最小值【解答】解：原式=当（a3）2=0，即a=3时代数式的值最小，为即3故选B【点评】用配方法对多项式变形，根据非负数的意义解题，是常用的方法，需要灵活掌握3（2012厦门模拟）若整数m满足条件 =m+1且m，则m的值是（）A0或1B1、0或1C0或1D1【考点】二次根式的性质与化简；估算无理数的大小菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】根据=|a|由 =m+1得到m+10，解得m1，而m，即m，得到1m，对进行估算得到它小于1，由此得到满足条件的整数m为1、0【解答】解：=m+1，m+10，解得m1，又m，即m，1m，整数m为1、0故选C【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：=|a|也考查了无理数的估算4（2015黑龙江）ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P是BC边上的动点，过点P作PDAB于点D，PEAC于点E，则PD+PE的长是（）A4.8B4.8或3.8C3.8D5【考点】勾股定理；等腰三角形的性质菁优网版权所有【专题】动点型【分析】过A点作AFBC于F，连结AP，根据等腰三角形三线合一的性质和勾股定理可得AF的长，由图形得SABC=SABP+SACP，代入数值，解答出即可【解答】解：过A点作AFBC于F，连结AP，ABC中，AB=AC=5，BC=8，BF=4，ABF中，AF=3，83=5PD+5PE，12=5（PD+PE）PD+PE=4.8故选：A【点评】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质，解答时注意，将一个三角形的面积转化成两个三角形的面积和；体现了转化思想5（2008绍兴校级模拟）编织一个底面周长为a、高为b的圆柱形花架，需用沿圆柱表面绕织一周的竹条若干根，如图中的A1C1B1，A2C2B2，则每一根这样的竹条的长度最少是（）ABCDa+b【考点】勾股定理的应用；几何体的展开图菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】根据题意，得每一根这样的竹条的长度最少即为圆柱的侧面展开图的矩形的对角线的长，根据勾股定理即可求解【解答】解：根据题意，得圆柱的侧面展开图，矩形的长是a，宽是b根据勾股定理，得每一根这样的竹条的长度最少是故选A【点评】此题考查了圆柱的侧面展开图和勾股定理的简单计算6（2012余姚市校级自主招生）如图，在四边形ABCD中，B=135，C=120，AB=，BC=，CD=，则AD边的长为（）ABCD【考点】勾股定理菁优网版权所有【专题】计算题【分析】作AEBC，DFBC，构建直角AEB和直角DFC，根据勾股定理计算BE，CF，DF，计算EF的值，并根据EF求AD【解答】解：如图，过点A，D分别作AE，DF垂直于直线BC，垂足分别为E，F由已知可得BE=AE=，CF=，DF=2，于是EF=4+过点A作AGDF，垂足为G在RtADG中，根据勾股定理得AD=故选 D【点评】本题考查了勾股定理的正确运用，本题中构建直角ABE和直角CDF是解题的关键7（2015秋福鼎市校级期中）如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形和，依此类推，若正方形的面积为64，则正方形的面积为（）A2B4C8D16【考点】勾股定理菁优网版权所有【专题】规律型【分析】根据题意可知第一个正方形的面积是64，则第二个正方形的面积是32，进而可找出规律得出第n个正方形的面积，即可得出结果【解答】解：第一个正方形的面积是64；第二个正方形的面积是32；第三个正方形的面积是16；第n个正方形的面积是，正方形的面积是4故选：B【点评】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理解题的关键是找出第n个正方形的面积二填空题（共5小题）（主观题不能在线作答，请下载完成）8（2013六盘水）无论x取任何实数，代数式都有意义，则m的取值范围为m9【考点】二次根式有意义的条件；非负数的性质：偶次方；配方法的应用菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】二次根式的被开方数是非负数，即x26x+m=（x3）29+m0，所以（x3）29m通过偶次方（x3）2是非负数可求得9m0，则易求m的取值范围【解答】解：由题意，得x26x+m0，即（x3）29+m0，（x3）20，要使得（x3）29+m恒大于等于0，m90，m9，故答案为：m9【点评】考查了二次根式的意义和性质概念：式子（a0）叫二次根式性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义9（2015春东台市月考）三角形的三边长分别为3、m、5，化简=2m10【考点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系菁优网版权所有【分析】先利用三角形的三边关系求出m的取值范围，再化简求解即可【解答】解：三角形的三边长分别为3、m、5，2m8，=m2（8m）=2m10故答案为：2m10【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简及三角形三边关系，解题的关键是熟记三角形的三边关系10（2013雅安）在平面直角坐标系中，已知点A（，0），B（，0），点C在坐标轴上，且AC+BC=6，写出满足条件的所有点C的坐标（0，2），（0，2），（3，0），（3，0）【考点】勾股定理；坐标与图形性质菁优网版权所有【专题】压轴题；分类讨论【分析】需要分类讨论：当点C位于x轴上时，根据线段间的和差关系即可求得点C的坐标；当点C位于y轴上时，根据勾股定理求点C的坐标【解答】解：如图，当点C位于y轴上时，设C（0，b）则+=6，解得，b=2或b=2，此时C（0，2），或C（0，2）如图，当点C位于x轴上时，设C（a，0）则|a|+|a|=6，即2a=6或2a=6，解得a=3或a=3，此时C（3，0），或C（3，0）综上所述，点C的坐标是：（0，2），（0，2），（3，0），（3，0）故答案是：（0，2），（0，2），（3，0），（3，0）【点评】本题考查了勾股定理、坐标与图形的性质解题时，要分类讨论，以防漏解另外，当点C在y轴上时，也可以根据两点间的距离公式来求点C的坐标11（2011潍坊）已知长方形ABCD，AB=3cm，AD=4cm，过对角线BD的中点O做BD垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，则AE的长为cm【考点】勾股定理；线段垂直平分线的性质；矩形的性质菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】连接EB，构造直角三角形，设AE为x，则DE=BE=4x，利用勾股定理得到有关x的一元一次方程，求得即可【解答】解：连接EB，EF垂直平分BD，ED=EB，设AE=xcm，则DE=EB=（4x）cm，在RtAEB中，AE2+AB2=BE2，即：x2+32=（4x）2，解得：x=故答案为：cm【点评】本题考查了勾股定理的内容，利用勾股定理不单单能在直角三角形中求边长，而且能利用勾股定理这一隐含的等量关系列出方程12（2009宜宾）已知：如图，以RtABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形若斜边AB=3，则图中阴影部分的面积为【考点】勾股定理菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】先用直角三角形的边长表示出阴影部分的面积，再根据勾股定理可得：AB2=AC2+BC2，进而可将阴影部分的面积求出【解答】解：在RtABC中，AB2=AC2+BC2，AB=3，S阴影=SAHC+SBFC+SAEB=+=（AC2+BC2+AB2）=AB2，=32=故图中阴影部分的面积为【点评】本题主要是考查勾股定理的应用，比较简单注意：以直角三角形的两条直角边为斜边的两个等腰直角三角形的面积的和等于以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积；等腰直角三角形的斜边是直角边的倍三解答题（共6小题）（主观题不能在线作答，请下载完成）13（2015春阳东县期中）阅读下列材料：=+=根据上面的解题方法化简：【考点】二次根式的性质与化简菁优网版权所有【分析】根据材料将被开方数变形为两个数的和的平方的形式然后开方即可【解答】解：=；=【点评】本题主要考查的是二次根式的化简、完全平方公式的应用，将被开方数变形为完全平方的形式是解题的关键14（2013春双流县期中）已知关于x，y的方程组的解都不大于1（1）求m的范围（2）化简：【考点】二次根式的性质与化简；解二元一次方程组；解一元一次不等式组菁优网版权所有【专题】计算题【分析】（1）利用“加减消元法”求得原方程组的解，然后根据题意，列出关于m的不等式组，解关于m的不等式组即可；（2）利用（1）中的x、y的取值范围和完全平方差公式化简二次根式，根据m的取值范围来去绝对值【解答】解：（1）由+，得6x=m+1，即x=；由，得4y=1m，解得，y=；关于x，y的方程组的解都不大于1解，得m5，解，得m3；m的范围是3m5；（2）x1，y1，3m5，x10，y10，6m+38，2m50，x+y20，原式=|x1|+|y1|+|m+3|+|m5|x+y2|=1x+1y+m+3m+5+x+y2=8【点评】本题综合考查了二次根式的性质与化简、二元一次方程组的解法及一元一次不等式组的解法解答（2）的难点是利用二次根式的性质化简二次根式：=|a|=15（2004龙岩）张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：n2345a221321421521b46810c22+132+142+152+1（1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n1）的代数式表示：a=n21，b=2n，c=n2+1；（2）猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想【考点】勾股定理的逆定理；列代数式菁优网版权所有【专题】应用题；压轴题【分析】（1）结合表中的数据，观察a，b，c与n之间的关系，可直接写出答案；（2）分别求出a2+b2，c2，比较即可【解答】解：（1）由题意有：n21，2n，n2+1；（2）猜想为：以a，b，c为边的三角形是直角三角形证明：a=n21，b=2n；c=n2+1a2+b2=（n21）2+（2n）2=n42n2+1+4n2=n4+2n2+1=（n2+1）2而c2=（n2+1）2根据勾股定理的逆定理可知以a，b，c为边的三角形是直角三角形【点评】本题需仔细观察表中的数据，找出规律，利用勾股定理的逆定理即可解决问题16（2015秋河源校级月考）细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题OA22=（）2+1=2 S1=；OA32=12+（）2=3 S2=；OA42=12+（）2=4 S3=（1）（直接写出答案）OA10=（2）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律（3）求出S+S+S+S的值【考点】勾股定理菁优网版权所有【专题】规律型【分析】（1）由给出的数据写出OA102的长，即可得出S10的值；（2）由（1）OA12，OA22，OA33和S1、S2、S3Sn，找出规律即可得出结果；（3）首先求出S12+S22+S32+Sn2的公式，然后把n=10代入即可【解答】解：（1）OA12=1，OA22=2，OA32=3，OA102=10，OA10=；故答案为：；（2）由（1）得：OAn2=12+（）2=n，Sn=；（3）S12=，S22=，S32=，S102=，S12+S22+S32+Sn2=【点评】本题主要考查勾股定理的知识点，解答本题的关键是熟练运用勾股定理，此题难度不大17（2015秋贵阳校级期中）观察、思考与验证（1）如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式（a+b）2=a2+2ab+b2；（2）如图2所示，B=D=90，且B，C，D在同一直线上试说明：ACE=90；（3）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年4月1日的新英格兰教育日志上），请你写出验证过程【考点】勾股定理的证明菁优网版权所有【分析】（1）由大正方形面积的两种计算方法即可得出结果；（2）由全等三角形的性质得出BAC=DCE，再由角的互余关系得出ACB+DCE=90，即可得出结论；（3）先证明四边形ABDE是梯形，由四边形ABDE的面积的两种计算方法即可得出结论【解答】（1）解：这个公式是完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2；理由如下：大正方形的边长为a+b，大正方形的面积=（a+b）2，又大正方形的面积=两个小正方形的面积+两个矩形的面积=a2+b2+ab+ab=a2+2ab+b2，（a+b）2=a2+2ab+b2；故答案为：（a+b）2=a2+2ab+b2；（2）证明：ABCCDE，BAC=DCE，ACB+BAC=90，ACB+DCE=90，ACE=90；（3）证明：B=D=90，B+D=180，ABDE，即四边形ABDE是梯形，四边形ABDE的面积=（a+b）（a+b）=ab+c2+ab，整理得：a2+b2=c2【点评】本题考查了完全平方公式、全等三角形的性质、正方形面积的计算、梯形面积的计算方法；熟练掌握完全平方公式和四边形面积的计算方法是解决问题的关键18（2015秋南通校级期中）如图，已知ABC中，B=90，AB=16cm，BC=12cm，P、Q是ABC边上的两个动