2019_2020学年高中数学第1章立体几何初步1_6_2垂直关系的性质学案北师大版必修2.docx

6.2垂直关系的性质1直线和平面垂直的性质定理2.平面和平面垂直的性质定理判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)两条平行直线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面()(2)垂直于同一平面的两个平面平行()(3)如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内即，A，Ab，bb.()(4)如果平面平面，那么平面内的所有直线都垂直于平面.()答案(1)(2)(3)(4)题型一直线与平面垂直的性质定理【典例1】如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，AB平面PAD，ADAP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MNAB，MNPC. 求证：AEMN. 思路导引由MNAB，MNPC，可推出MN平面PCD，要证AEMN，只需证明AE平面PCD即可证明因为AB平面PAD，AE平面PAD，所以AEAB，又ABCD，所以AECD.因为ADAP，E是PD的中点，所以AEPD.又CDPDD，所以AE平面PCD.因为MNAB，ABCD，所以MNCD.又因为MNPC，PCCDC，所以MN平面PCD，所以AEMN.证明线线平行的常用方法(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行针对训练1如图，已知平面平面l，EA，垂足为A，EB，垂足为B，直线a，aAB.求证：al.证明因为EA，l，即l，所以lEA.同理lEB.又EAEBE，所以l平面EAB.因为EB，a，所以EBa，又aAB，EBABB，所以a平面EAB.由线面垂直的性质定理，得al.题型二平面与平面垂直的性质定理及应用【典例2】如图，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，平面PAB平面PBC.求证：BCAB.思路导引由PA平面ABC得PABC，要证BCAB，只需证明BC平面PAB.证明如图，在平面PAB内，作ADPB于D.平面PAB平面PBC，且平面PAB平面PBCPB.AD平面PBC.又BC平面PBC，ADBC.又PA平面ABC，BC平面ABC，PABC，又PAADA，BC平面PAB.又AB平面PAB，BCAB.证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线针对训练2如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是DAB60且边长为a的菱形侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点求证：(1)BG平面PAD；(2)ADPB.证明(1)平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，又四边形ABCD是菱形且DAB60，ABD是正三角形，BGAD.BG平面PAD.(2)由(1)可知BGAD，由题意知PAD为正三角形，G是AD的中点，PGAD.又BGPGG，AD平面PBG，又PB平面PBG，ADPB.题型三垂直关系的综合应用【典例3】如图，ABC为正三角形，EC平面ABC，BDCE，且CECA2BD，M是EA的中点，求证：(1)DEDA；(2)平面BDM平面ECA；(3)平面DEA平面ECA. 思路导引(1)设出BD，分别求出DE、DA的长度或证明DMAE，即证DM为AE的中垂线即可(2)(3)只需证明DM平面ECA即可证明(1)设BDa，如图，作DFBC交CE于F，则CFDBa.因为CE平面ABC，所以BCCF，DFEC，所以DEa.又因为DB平面ABC，所以DAa，所以DEDA.(2)取CA的中点N，连接MN，BN，则MN綊CE綊DB.所以四边形MNBD为平行四边形，所以MDBN.又因为EC平面ABC，所以ECBN，ECMD.又DEDA，M为EA的中点，所以DMAE，AEECE.所以DM平面AEC，所以平面BDM平面ECA.(3)由(2)知DM平面AEC，而DM平面DEA，所以平面DEA平面ECA.垂直关系的互化及解题策略(1)空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是孤立的，而是相互关联的它们之间的转化关系如下：(2)空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题针对训练3如图，在三棱锥VABC中，平面VAB平面ABC，VAB为等边三角形，ACBC且ACBC，O，M分别为AB，VA的中点(1)求证：VB平面MOC；(2)求证：平面MOC平面VAB.证明(1)O，M分别为AB，VA的中点，OMVB.VB平面MOC，OM平面MOC，VB平面MOC.(2)ACBC，O为AB的中点，OCAB.又平面VAB平面ABC，且平面VAB平面ABCAB，OC平面ABC，OC平面VAB.OC平面MOC，平面MOC平面VAB.1下列命题中错误的是()A如果平面平面，平面平面，l，那么lB如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面C如果平面平面，过内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于D如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面解析对于A，平面平面，平面平面，l，则l，命题正确；对于B，平面平面，不妨设a，作直线ba，且b，则b，命题正确；对于C，平面平面，过与交线上的点作交线的垂线时，该垂线不一定垂直于，命题错误；对于D，假设平面内存在直线垂直于平面，则平面垂直于平面，这与已知平面与平面不垂直矛盾，所以假设不成立，命题正确，故选C.答案C2ABC所在的平面为，直线lAB，lAC，直线mBC，mAC，则直线l，m的位置关系是()A相交 B异面C平行 D不确定解析因为lAB，lAC，AB，AC且ABACA，所以l，同理可证m，所以lm.答案C3在长方体ABCDA1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EFA1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是()A平行BEF平面A1B1C1D1C相交但不垂直D相交且垂直解析在长方体ABCDA1B1C1D1中，平面A1ABB1平面A1B1C1D1且平面A1ABB1平面A1B1C1D1A1B1，又EF面A1ABB1，EFA1B1，EF平面A1B1C1D1，答案D正确答案D4如图，在四面体ABCD中，已知ABAC，BDAC，若DH平面ABC于H，那么点H必在()A直线AB上B直线BC上C直线AC上DABC内部解析在四面体ABCD中，已知ABAC，BDAC，ABBDB，AC平面ABD.又AC平面ABC，平面ABC平面ABD，平面ABC平面ABDAB，点H必在AB上故选A.答案A课后作业(十三)(时间45分钟)学业水平合格练(时间20分钟)1在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是()A相交 B平行C异面 D相交或平行解析圆柱的母线垂直于底面，所作的直线也垂直于底面，母线与所作的直线平行答案B2设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出如下命题：若，m，n，nm，则n；若，且n，nm，则m；若，m，m，则m；若，m，则m.其中正确命题的个数为()A1 B2 C3 D4解析根据平面与平面垂直的性质知正确；中，m还可能在内或m或m与斜交，不正确；中，m，m时，只可能有m，正确；中，m与的位置关系可能是m或m或m与相交，不正确综上，可知正确命题的个数为2，故选B.答案B3如图，点P为四边形ABCD外一点，平面PAD平面ABCD，PAPD，E为AD的中点，则下列结论不一定成立的是()APEACBPEBCC平面PBE平面ABCDD平面PBE平面PAD解析因为PAPD，E为AD的中点，所以PEAD.又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以PE平面ABCD，所以PEAC，PEBC，所以A，B成立；又PE平面PBE，所以平面PBE平面ABCD，所以C成立；若平面PBE平面PAD，则AD平面PBE，必有ADBE，此关系不一定成立，故选D.答案D4如图，在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成三棱锥ABCD，则在三棱锥ABCD中，下列命题正确的是()A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABC解析如图，在平面图形中CDBD，折起后仍然满足CDBD，由于平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，CD平面BCD，故CD平面ABD，又AB平面ABD，CDAB.又ABAD，ADCDD，故AB平面ADC，又AB平面ABC，所以平面ADC平面ABC.答案D5如图，平面BCD平面ABD，且DA平面ABC，则ABC的形状为()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不能确定解析过A作AEBD，垂足为E，由题意知AE平面BCD，BCAE.又DA平面ABC，BCDA.又DAAEA，BC平面DAB，BCAB，ABC为直角三角形答案B6.如图，在三棱锥PABC中，侧面PAC底面ABC，且PAC90，PA1，AB2，则PB_.解析侧面PAC底面ABC，交线为AC，PAC90(即PAAC)，PA平面ABC，PAAB，PB.答案7直线a和b在正方体ABCDA1B1C1D1的两个不同平面内，使ab成立的条件是_(只填序号)a和b垂直于正方体的同一个面；a和b在正方体两个相对的面内，且共面；a和b平行于同一条棱；a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直解析为直线与平面垂直的性质定理的应用，为面面平行的性质，为公理4的应用答案8如图(1)所示，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足_时，A1CB1D1.(写出一个正确条件即可)(1)(2)解析如图(2)，连接BD.因为BDB1D1，所以要使A1CB1D1，即使A1CBD.又因为A1AA1CA1，所以BD平面A1AC.因为AC平面A1AC，所以ACBD.答案ACBD9.如图，在三棱锥ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EFAD.求证：(1)EF平面ABC；(2)ADAC. 证明(1)在平面ABD内，因为ABAD，EFAD，所以EFAB.又因为EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC.(2)因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，BC平面BCD，BCBD，所以BC平面ABD.因为AD平面ABD，所以BCAD.又ABAD，BCABB，AB平面ABC，BC平面ABC，所以AD平面ABC.又因为AC平面ABC，所以ADAC.10如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且EFA1D，EFAC.求证：EFBD1.证明如图所示，连接AB1，B1C，BD.DD1平面ABCD，AC平面ABCD，DD1AC.又ACBD，BDDD1D，AC平面BDD1B1.BD1平面BDD1B1，BD1AC.同理可证BD1B1C，又ACB1CC, BD1平面AB1C.EFA1D，A1DB1C，EFB1C.又EFAC，ACB1CC，EF平面AB1C，EFBD1.应试能力等级练(时间25分钟)11在空间中，下列命题正确的是()A若三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面B若直线m与平面内的一条直线平行，则mC若平面，且l，则过内一点P与l垂直的直线垂直于平面D若直线ab，且直线la，则lb解析选项A中，若有3个交点，则确定一个平面，若三条直线交于一点，则不一定能确定一个平面，如正方体ABCDA1B1C1D1中，AA1、AB、AD两两相交，但由AA1、AB、AD不能确定一个平面，所以不正确；选项B中，缺少条件m是平面外的一条直线，所以不正确；选项C中，不满足面面垂直的性质定理的条件，必须是内垂直于l的直线，所以不正确；选项D中，由于两条平行直线中的一条与第三条直线垂直，那么另一条也与第三条直线垂直，所以正确答案D12.如图所示，正方形ABCD与DCEF的边长为2，且平面ABCD平面DCEF，M，N分别为AB，DF的中点，则MN_.解析过M点作MPCD，交CD于点P，则P为CD的中点，连接PN，平面ABCD平面DCEF，MPCD，MP平面DCEF，MPN为直角三角形，又PN.MN.答案13在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持APBD1，则动点P的轨迹是_解析BD1平面B1AC，平面B1AC平面BCC1B1B1C，所以P为线段B1C上任何一点，均有APBD1.答案线段B1C14把一副三角板如图拼接，设BC6，A90，ABAC，BCD90，D60，使两块三角板所在的平面互相垂直则平面ABD与平面ACD所成的二面角为_解析平面ABD平面ACD平面ABD与平面ACD所成的二面角为90.答案9015.在平行六面体ABCDA1B1