行列式的计算方法

学年论文行列式的计算方法姓 名：王海洋学 号：902091134院 系：统计与数学学院专 业：数学与应用数学指导老师：张志远日 期：2012年5月12日目录1. 定义法2. 化三角形法3. 数学归纳法4. 范德蒙行列式5. 加边法6. 降阶法7. 递推法8. 析因法9. 利用方阵特征值10. 对称法行列式是研究线性代数的一个重要工具,在线性方程组,矩阵,二次型中用到行列式,在数学其它分支也常常用到行列式,因此行列式的计算显得尤其重要,但行列式的计算灵活多变,需要较强的技巧。主要有下面几种算法：1 定义法根据行列式的定义我们可以利用定义直接计算行列式,其中是的逆序数. 例1证明.分析 观察行列式我们会发现有许多零,故直接用定义法.证明 由行列式的定义知除去符号差别外行列式一般项可表示为则 . （1）其中为的任意排列,在中位于后三行后三列的元素为零,而在前两行前两列中,取不同行不同列的元素只有四个,就是说（1）式中每一项至少有一个来自后三行后三列.故=0.注意 此方法适用于阶数较低的行列式或行列式中零的个数较多.2化三角形法化三角形是将原行列式化为上（下）三角形或对角形行列式进行计算的一种方法,是计算行列式最基本的计算方法之一,这是因为由行列式的定义我们可以直接计算上（下）三角形或对角形行列式.一般而言,对任意行列式都可化为三角形行列式,但是有的行列式化简时非常繁琐,应该先利用性质实施一些初等变换,然后再化简.例2 计算行列式.分析 直接用化三角形法化简很烦,观察发现对于任意相邻两列中的元素,位于同一行的元素中,后面元素与前面元素相差1,因此先从第列乘-1加到第列,第列乘-1加到第列, 这样做下去直到第列乘-1加到第列,然后再计算就显得容易.解 .问题推广在例2中,这个数我们可以看成有限个等差数列在循环,那么对于一般的等差数列也应该适应.计算行列式.如果将例2中的数，代入结论显然成立.3数学归纳法数学归纳法有两种一种是不完全归纳法,另一种是完全归纳法,通常用不完全归纳法寻找行列式的猜想,再用数学归纳法证明猜想的正确性.基本方法1) 先计算时行列式的值.2) 观察的值猜想出的值.3) 用数学归纳法证明.例3 计算行列式.解：因为 所以，猜想 . 证明 当时,式显然成立. 设时,式显然成立,则时 当时式也成立,从而得证.即 .注意一般而言,对于给定的一个行列式,要猜想一个之比较困难,所以一般情况下是先给定其值,然后再证明.4范德蒙行列式范德蒙行列式因此可将给定行列式化为范德蒙行的形式然后直接计算.例4 计算阶行列式.解 用加边法将行列式化为范德蒙行列式5加边法利用行列式按行（列）展开的性质把阶行列式通过加行（列）变成与之相等的阶行列式,然后计算.添加行列式的四种方法:设.（1）首行首列.（2）首行末列.（3）末行首列.（4）末行末列.例5 计算.解 将第一行乘加到其余各行上去,得将第2列,第列分别乘,全都加到第一列,得.加边法是将原行列式中添加适当的行(列),构成一个新的行列式,并以此行列式为过渡来达到计算原行列式的目的.6降阶法阶行列式等于它的任意一行(列)各元素与其对应的代数余子式乘积的和.即 或 . 行列式按一行（列）展开将高阶转化为若干低阶行列式计算方法称为降阶法.这是一种计算行列式的常用方法.例6 计算.解 .注意 对于一般的阶行列式若直接用降阶法计算量会大大加重.因此必须先利用行列式的性质将行列式的某一行（列）化为只含有一个非零元素,然后再按此行（列）展开,如此进行下去,直到二阶.7递推法递推法是根据行列式的结构利用阶行列式的性质,把给定的行列式用与有相同形式的阶行列式表示出来,然后将阶行列式再用与有相同形式的阶行列式表示出来,这样一直做下去直到被有相同形式的表示出来,这样可被易计算的表示出来,故可达到计算的目的.例7证明其中分析此行列式的特点是除主对角线及其上下两条对角线的元素外其余的元素都为零,这种行列式称“三条线”行列式,从行列式的左上方往右下方看即知与具有相同的结构.因此可考虑用递推法证明.证明 把行列式按第一行展开，得于是有递推关系式 或 类似有 .由于 因而 .若 时 若 时 利用计算递推,得=所以 .若时,从 得到故 .8析因法基本方法:如果行列式中有一些元素是变量的多项式,那么将行列式当作一个多项式然后对行列式施行某些变换,求出互素的一次因式,使得与这些因式的乘积只相差一个常数因子,根据多项式相等的定义,比较与的某一项的系数,求出值,便可求得.例8 计算行列式分析这是一个关于的4次多项式,在复数范围内此多项式可分解成4个一次因式的乘积解 令则是关于的4次多项式,由行列式的性质当时.因此有四个一次因式.于是 .比较中的系数,得.注意 找一次因式时因该先观察,若行列式是关于的次多项式就相应的找个一次因式（重因式按重因式个数计算）而不要意味的看行列式的阶数相应的找个一次因式.9利用方阵特征值在线形变换的研究中,矩阵的特征多项式非常重要,由矩阵的特征多项式，再根据根与系数的关系式可知矩阵全体特征值的积为相应行列式的值.因此,我们可以用这个办法来计算行列式.例9 计算如下行列式的值.解 因为行列式的特征值为,行列式的特征值为.所以的特征值为 .由行列式的特征值与行列式的关系式知.10对称法这是解决具有对称关系的数学问题的常用方法.例10计算阶行列式.解 按第1行展开,得即 由此递推,即得 因为中于对称,又有 时,从上式两边消去,得时,.与例题7作比较可看出对于同一个行列式的计算有多种方法.因此我们在选择方法时因该遵守简单原则,这样不但可以减少计算量,而且还可以保证答案的正确性.总结以上我们介绍