论文(留数定理及其应用)

学号：2012501007石河子大学本科毕业论文（设计）留数定理及其应用院 系 师范学院 专 业 数学与应用数学 姓 名 向必旭 指导老师 曹月波 职 称 讲师 摘要留数，也称残数，是指函数在其孤立奇点处的积分。综观复分析理论的早期发展，这一概念的提出对认识孤立奇点的分类及各类奇点之间的关系具有十分重要的意义。同时，它将求解定积分的值的方法推进到一个新的阶段，通过函数的选取，积分路径的选取等等，求解出了许多被积函数的原函数解不出来的情况，为积分理论的发展奠定了充分的基础。1825 年，柯西在其关于积分限为虚数的定积分的报告中，基于与计算实积分问题的情形的类比,处理了复积分的相关问题，并给出了关于留数的定义。随后，柯西进一步发展和完善留数的概念，形成了定义。 柯西所给的这一定义一直沿用到了现在，推广到了微分方程，级数理论及其他一些学科，并在相关学科中产生了深远影响，成为一个极其重要的概念。因而很自然地产生了这样一个问题：柯西为什么要定义这一概念或者说，什么因素促使柯西提出了留数的定义显然这一问题对于全面再现柯西的数学思想，揭示柯西积分理论乃至整个复分析研究的深层动机等具有极为重要的理论意义和历史意义。随着留数的发展，复积分的相关问题得到了极大的进步，并解决了一些广义积分和特殊定积分的计算问题。关键字：留数；留数定理；积分目录摘要1. 引言2. 留数2.1 留数的定义及留数定理2.2 留数的求法2.3 函数在无穷远处的留数3. 用留数定理计算实积分3.1 计算形如02fcosx,sinxdx的积分3.2 计算形如-+fxdx的积分3.3 计算形如-+PxQXeimxdx的积分3.4 计算形如-+PxQxcosmxdx和-+PxQxsinmxdx的积分3.5 计算积分路径上有奇点的积分参考文献1. 引言留数理论是柯西积分理论的延续。其中的泰勒级数和洛朗级数是研究解析函数的有力工具。留数在复变函数论本身和实际应用中都是很重要的，它和计算周线积分（或归结为考察周线积分）的问题有密切关系。此外应用留数理论，我们已有条件去解决“大范围”的积分计算问题，还可以考察区域函内数的零点分布状况。2.留数 2.1 留数的定义及留数定理 如果函数fz在点a是解析的，周线C全在点a的某邻域内，并包围点a,则根据柯西积分定理，有 Cfzdz=0但是，如果a是fz的一个孤立奇点，且周线C全在a的某个去心邻域内，并包围点a,则积分 Cfzdz的值，一般说来，不再为零。并且利用洛朗系数公式很容易计算出它的值来。概括起来，我们有定义2.1 设函数fz以有限点a为孤立奇点，即fz在点a的某去心领域0z-aR内解析，则称积分 12ifzdz:z-a=,0R为fz在点a的留数，记为z=aResfz由柯西积分定理知道，当0R时，留数的值与无关，利用洛朗系数公式，有 12ifzdz=c-1即 z=aResfz=c-1这里c-1是fz在z=a处的洛朗展式中1z-a这一项的系数。2.2 留数的求法如果z0为fz的简单极点，则Resfz,z0=limz-z0z-z0fz 法则2：设fz=PxQX，其中Px,Qx在z0处解析，如果Pz0，z0为Qz的一阶零点，则z0为fz的一阶极点，且 Resfz,z0=PzQZ 法则3：如果z0为fz的m阶极点，则 Resfz,z0=1m-1!limz-z0dm-1dzm-1z-z0mfz.例 1求函数fz=eiz1+z2在奇点处的留数解fz有两个一阶极点z=i，于是根据法则得Resf,i=PiQi=ei22i=-i2eResf,i=P-iQ-i=ei2-2i=i2e例 2求函数fz=eizz1+z22在奇点处的留数解fz有一个一阶极点z=0与两个二阶极点z=i，于是由法则可得Resf,0=limz0eiz1+z22=1Resf,i=limziz-i2eizz1+z22=limzieizz1+z22=-34eResf,-i=limzieizzz-i2=6+i4e2.3 函数在无穷远点的留数定义 设为fz的一个孤立奇点，即fz在圆环域RzR 为fz在点的留数，记为Resfz,，这里C-是指顺时针方向（这个方向很自然地可以看作是绕无穷远点的正向）。如果fz在Rz+的洛朗展开式为fz=n=-Cnzn，则Resf,=-C-1这里，我们要注意，z=即使是fz的可去奇点，fz在z=的留数也必是这是同有限点的留数不一致的地方。定理 如果fz在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内）为z1,z2,zn,，则fz在各点的留数总和为零关于在无穷远点的留数计算，我们有以下的规则法则 Resfz,=-Resf1z1z2,0例3 求下列函数在所有孤立奇点处的留数： （1）z2sin1z； （2）1sin1z；分析 对于有限的孤立奇点a，计算留数Resfz,a最基本的方法就是寻求洛朗展开式中负幂项C-1z-a-1的系数C-1。但是如果能知道孤立奇点的类型，那么留数的计算也许稍简便些.。例如当a为可去奇点时，Resfz,a=0（切记当a=时此结论不成立）对于极点处留数的计算，我们有相应的规则或公式。对于无穷远点的留数Resfz,，一般是寻求fz在Rz+内洛朗展开式中负幂项C-1z-1的系数变号-C-1，也可转变为求函数-1z2f1z在z=0处的留数，还可以用公式Resfz,=-k=1nResfz,ak，其中a1,a2,a3,an为fz的有限个奇点。解 （1）函数fz=z2sin1z有孤立奇点0和，而且易知在Rz0，b为任意实数)如用实函数分析中的方法计算这些积分几乎是不可能的，既使能计算，也相当复杂。如果能把它们化为复积分，用柯西定理和留数定理，那就简单了。当然关键的是设法把实变函数是积分跟复变函数回路积分联系起来。把实变积分联系复变回路积分的要点如下：定积分abfxdx的积分区间a,b可以看作是复数平面上的实轴上的一段l1，或者利用自变数的变换把l1变成某个新的复数平面上的回路，这样就可以应用留数定理了；或者另外补上一段曲线l2，使l1和l2合成回路包围着区域B，这样lfzdz=l1fzdz+l2fzdz左端可应用留数定理，如果l2fzdz容易求出，则问题就解决了。下面具体介绍几个类型的实变定积分。留数计算定积分活反常积分没有普遍的实用通法，我们只考虑几种特殊类型的积分。3.1 形如02fcosx,sinxdx型的积分这里fcosx,sinx表示cosx,sinx的有理函数，并且在0,2上连续，把握此类积分要注意，第一：积分上下限之差为2，这样当作定积分时x从0经历变到2，对应的复变函数积分正好沿闭曲线绕行一周。第二：被积函数是以正弦和余弦函数为自变量。当满足这两个特点之后，我们可设z=eix，则dz=izdx，sinx=eix-e-ix2i=z2-12iz，cosx=eix+e-ix2=z2+12z 得02fcosx,sinxdx=z=1fz2-12z,z2-12izdziz=2ik=1nz=zkResfz例4 计算I=02d5+3cos解 令z=ei，则I=02d5+3cos=z=12i3z2+10z+3dz=2iz=113z+1z+3dz=2i2iz=-13Res13z+1z+3=32例5 计算积分I=02sin2a+bcosdab0解 令z=ei,则 I=z=1-z2-124z21a+bz2+12zdziz=i2bz=1z2-12z2z2+2abz+1dz=i2bz=1z2-12z2z-z-dz其中 =-a+a2-b2b,=-a-a2-b2b为实系数二次方程z2+2abz+1=0的两个相异实根.由根与系数的关系=1，且显然，故必1.于是，被积函数fz在z=1上无奇点。在单位圆z0解 由于limzzz2z2+a22=0，且上半平面只有一个极点ai,因此I=-+x2x2+a22=2iz=aiResz2z2+a22=2iz2z+ai2|z=ai=2a例7 设a0,计算积分0+dxx4+a4 解 因 0+dxx4+a4=12-+dxx4+a4，fz=1x4+a4,它一共有四个一阶极点 ak=ae+2k4i k=0,1,2,3且符合定理的条件。而 z=akResfz=14z3z=ak=14ak3=akak4=-ak4a4 k=0,1,2,3(这里用到了ak4+a4=0)fz在上半平面内只有两个极点a0及a1,于是 0+dxx4+a4 = -i14a4ae4i+ae34i = -i14a3e4i-e-i4 =2a3sin4 = 22a33.3 形如-+PxQxeimxdx型的积分1) 留数公式定理2（若尔当引理）设函数gz沿半径圆周R:z=Rei00证明 0,R00，使当RR0时，有 gz,zR 于是Rgzeimzdz=0gReieimReidR0e-mRsind 2 这里利用了gRei,Reii=R 以及eimRei=e-mRsin+imRcos=e-mRsin于是由若尔当不等式2sin（02）将（2）化为Rgzeimzdz2R02e-mRsind 2R02e-2mRd=2R-e-2mR2mR=0=2 =m1-e-mR0 则有 -+gxeimxdx=2iimakz=akResgzeimz 4 特别地，将（4）式分开实虚部，就可用得到形如-+PxQxcosmxdx及-+PxQxsinmxdx的积分。由数学分析的结论，可知上面两个反常积分都存在，其值就等于其柯西主值。例9 计算I=-+cosxx2+1x2+9dx解 利用1z2+1z2+90 z以及若尔当引理，且分母在上半圆只有两个孤立奇点z=i和z=3i，得到I=-+cosxx2+1x2+9dx =Res2iz=iReseizz2+1z2+9+z=3iReseizz2+1z2+9 =Re2ie-116i+e-3-48i =24e33e2-13.5 计算积分路径上有奇点的积分 在数学分析中，对于反常积分，也可以类似的定义它的柯西主值。又在定理中假定Qx无实零点，现在我们可以把条件放宽一点，允许Qx有有限多个一阶零点,即允许函数fz=PzQzeimz在实轴上有有限一阶极点。为了估计挖去这种极点后沿辅助路径的积分,除了上面的两个引理外，我们在引入一个与其相似的引理。引理 设fz沿圆弧Sr:z-a=rei(1,2 ,r充分小)上连续,且 limr0z-afz= 于Sr上一致成立,则有limr0Srfzdz=i1-2证明 因为 i2-1=Sr1z-adz 于是有Srfzdz-i2-1=Srz-afz-z-adz与上述引理的证明相似，得知上式在r充分小时，其值不超过任意给定的正数。例10 计算积分0+sinxxdx解 0+sinxxdx存在,且考虑函数fz=eizz沿图所示之闭曲线路径C的积分根据柯西积分定理得Cfzdz=0 或写成rReizxdx+CReizzdz+-R-reixxdx-Creizzdz=0 1这里CR及Cr分别表示半圆周z=Rei及z=rei 0,rR由引理知 limR+CReizzdz=0和limr0Creizzdz=i在（1）中，令