运动方程的建立结构动力学VIP

1/45 结构动力学结构动力学 教师：王君杰 助教：宋彦臣 同济大学 土木工程学院桥梁工程系 教师：王君杰 助教：宋彦臣 同济大学 土木工程学院桥梁工程系 2014年秋年秋 2/45 结构动力学 第 2 章 运动方程 3/45 第2章 运动方程的建立 2.1 基本概念 广义坐标与动力自由度 实位移、可能位移和虚位移 广义力 惯性力 恢复力 阻尼力 线弹性体系和粘弹性体系 非弹性体系 4/45 2.1.1 广义坐标与动力自由度 广义坐标：能决定质点系几何位置的彼此独立的量称为 该质点系的广义坐标。 广义坐标可以取长度量纲的量，也可以用角度甚 至面积和体积来表示。 静力自由度的概念：确定结构体系在空间中位置所需的 独立参数的数目称为结构的自由度。 动力自由度的定义：结构体系在任意瞬时的一切可能的 变形中，决定全部质量位置所需的独立参数的数目称 为结构的动力自由度(数)。 5/45 The number of independent displacements required to define the displaced positions of all the masses relative to their original position is called the number of degrees of freedom (DOFs) for dynamic analysis. A. K. Chopra The number of displacement components which must be considered in order to represent the effects of all significant inertial forces of a structure may be termed the number of dynamic degrees of freedom of the structure. R. Clough 动力自由度：决定结构体系质量位置所需的独立参数 称为结构的动力自由度 决定结构体系质量位置所需的独立参数 称为结构的动力自由度。 动力自由度的数目：决定结构体系质量位置所需的独 立参数的数目称为结构的动力自由度的数目 决定结构体系质量位置所需的独 立参数的数目称为结构的动力自由度的数目。 6/45 2.1.2 实位移、可能位移和虚位移 可能位移： 满足所有约束方程的位移称为体系的可能位移。 实位移： 如果位移不仅满足约束方程，而且满足运动方程 和初始条件，则称为体系的实位移。 虚位移： 在某一固定时刻，体系在约束许可的情况下可能 产生的任意组微小位移，称为体系的虚位移。 7/45 2.1.3 惯性力（Inertial Force） 惯性：保持物体运动状态的能力。 惯性力：大小等于物体的质量与加速度的乘积?!， 方向与加速度的方向相反。 I 表示惯性(Inertial)； m 质量(mass)；坐标方向：向右为正 质点的加速度。 umf I ( ) ddu F tm dtdt 2 2 ( ) d u F tmmu d t ( )0F tmu 8/45 2.1.4 弹簧的恢复力 （Resisting Force of Spring） 对弹性体系，弹簧的恢复力也被称为弹性恢复力 弹性恢复力：大小等于弹簧刚度与位移(弹簧变形)的乘积 方向指向体系的平衡位置。 s 表示弹簧(Spring) k 弹簧的刚度(Spring Stiffness) u 质点位移 kuf s fsfs k 1 k 1 a b c d O u u0 -u0 u (a)(b) 9/45 单层框架结构的水平刚度 h框架结构的高度 L梁的长度 E弹性模量 Ib和Ic梁和柱的截面惯性矩 3 2461 ;()/ () 64 c bc EI kh EIL EI h 3 3 6 :0 24 : h EI k h EI k c c 10/45 2.1.5 阻尼力 （Damping Force） 阻尼：引起能量的耗散， 使振幅变小的一种作用。 阻尼的来源(物理机制)： (1)材料变形时的内摩擦，或材料快速应变引起的热耗散； (2)构件连接部位的摩擦； (3)结构周围外部介质引起的阻尼。例如，空气、流体等。 粘性(滞)阻尼力可表示为： D 表示阻尼(Damping) c 阻尼系数(Damping coefficient) 质点的运动速度 ucf D u fDfD u fD 1 c u (a)(b) 11/45 阻尼系数 c 的确定： 不能像结构刚度k那样可通过结构几何尺寸、构件尺寸和 材料的力学性质等来获得，因为c是反映了多种耗能因 素综合影响的系数，阻尼系数一般是通过结构原型振 动试验的方法得到。 粘性(滞)阻尼理论仅是多种阻尼中最为简单的一种。 其它常用的阻尼其它常用的阻尼： 摩擦阻尼：阻尼力大小与速度大小无关，一般为常数； 滞变阻尼：阻尼力大小与位移成正比(相位与速度相同)； 流体阻尼：阻尼力与质点速度的平方成正比。 12/45 2.1.6 线弹性体系和粘弹性体系 (Linearly Elastic System and Viscous Elastic System) 线弹性体系线弹性体系：由线性弹簧(或线性构件)组成的体系。 最简单的理想化力学模型。 粘弹性体系粘弹性体系：当线弹性系统中进一步考虑阻尼(粘性阻尼) 的影响时的体系。 结构动力分析中的最基本力学模型。 13/45 2.1.7 非弹性体系 (Inelastic System) 结构构件的力变形关系为非线性关系，结构刚度不再为常数。 构件(或弹簧)的恢复力可表示为 fs 是位移和速度的 非线性函数。 非弹性体系中结构构件的力与位移关系 ),(uuff ss 14/45 第2章 运动方程的建立 2.2运动方程的建立 牛顿( (Newton) )第二定律 DAlembert原理 虚位移原理 Hamilton原理 Lagrange方程 15/45 运动方程： 描述结构中力与位移(包括速度和加速度)关系 的数学表达式，有时也称为动力方程。 运动方程是进行结构动力分析的基础基础 运动方程的建立是结构动力学的重点重点和难点难点 首先通过对简单结构体系(单自由度体系)的讨论介 绍结构动力分析中存在的基本物理量及建立运动方程的 方法，然后介绍更复杂的多自由度体系运动方程的建立。 16/45 基本动力体系： 应包括结构动力分析中涉及的所有物理量。应包括结构动力分析中涉及的所有物理量。 质量；弹簧；阻尼器。质量；弹簧；阻尼器。 单自由度体系： SDOF (Single-Degree-of-Freedom) System 结构的运动状态仅需要一个几何参数即可以确定结构的运动状态仅需要一个几何参数即可以确定 17/45 基本动力体系 两个典型的单自由度体系 (a) 单层框架结构 (b) 弹簧-质点体系 物理元件：物理元件： 质量质量集中质量m 阻尼器阻尼器阻尼系数c 弹簧弹簧弹簧刚度k 两个力学模型完全等效 因为两个体系的运动方程相同 18/45 2.2.0 牛顿( (Newton) )第二定律 单质点体系的受力分析 sD fftpF)( maF ua )(tpffma sD )(tpkuucum kuf s ucfD 单质点体系运动时要满足 的控制方程运动方程 利用牛顿第二定律的优点：利用牛顿第二定律的优点： 牛顿第二定律是基于物理学中已有知识的直接应用 以人们最容易接受的力学知识建立体系的运动方程 19/45 2.2.1 DAlembert原理（直接动力平衡法） DAlembert原理：在体系运动的任一瞬时，如果除了实际作用结构 的主动力(包括阻尼力)和约束反力外，再加上(假想的)惯性力， 则在该时刻体系将处于假想的平衡状态(动力平衡)。 单质点体系的受力分析)(tpkuucum kufs ucfD 0)( sDI ffftp umfI 20/45 DAlembert原理的贡献原理的贡献： 建立了动力平衡(简称：动平衡)的概念。 DAlembert原理的优点原理的优点： 静力问题是人们所熟悉的，有了DAlembert 原理之后， 形式上动力问题就变成了静力问题，静力问题中用来 建立控制方程的方法，都可以用于建立动力问题的平 衡方程，使对动力问题的思考有一定的简化。对很多 问题，DAlembert原理是用于建立运动方程的最直接、 最简便的方法。 21/45 2.2.2 虚位移原理 虚位移原理：在一组外力作用下的平衡系统发生一个虚位移时， 外力在虚位移上所做的虚功总和恒等于零。 虚位移是指满足体系约束条件的无限小位移。 设体系发生一个虚位移u，则平衡力系在u上做的总虚功为: 单质点体系的受力分析 )(tpkuucum kufsucfD 0)( sDI ffftp umfI 0)(ufufufutp sDI 22/45 虚位移原理的优点：虚位移原理的优点： 虚位移原理是建立在对虚功分析的基础之上，而虚功 是一个标量，可以按代数方式运算，因而比Newton第 二定律，或DAlembert原理中需要采用的矢量运算更 简便。 对如下图所示结构体系，用虚位移原理建立方程更简便一些 23/45 2.2.3 Hamilton原理(积分形式动力问题变分方法) 可以应用变分原理建立 结构体系的运动方程。 在数学上，变分问题就是 求泛函的极值问题。 在这里，泛函就是结构 体系中的能量(功)。 变分法是求体系能量(功) 的极值。 体系的平衡位置是体系的稳定位置，在稳定位置，体系的能量取 得极值,一般是极小值。 Hamilton原理是动力学中的变分法(原理)。 24/45 Hamilton原理：在任意时间区段t1, t2内，体系的动能和 位能的变分加上非保守力做功的变分等于0。 T 体系的总动能； V 体系的位能，包括应变能及任何保守力的势能； Wnc作用于体系上非保守力(包括阻尼力及任意外荷载) 所做的功； 在指定时间段内所取的变分。 对于静力问题: 最小势能原理。 0)( 2 1 2 1 t t nc t t dtWdtVTj j ncjnc uPW 0) nc WV（ 25/45 Hamilton原理的优点：原理的优点： 不明显使用惯性力和弹性力，而分别用对动能和位能 的变分代替。因而对这两项来讲，仅涉及处理纯的标 量，即能量。 而在虚位移中，尽管虚功本身是标量，但用来计算虚功 的力和虚位移则都是矢量。 动能：集中质量转动质量 位能：拉伸弹簧转动弹簧 多自由度体系： 动能位能 2 2 1 umT 2 2 1 JT 2 2 1 kuV 2 2 1 kV ji ij ij uukV 2 1 2 2 1 2 1 j j jji ij ij umuumT 26/45 用Hamilton原理建立体系的运动方程 体系的动能：位能(弹簧应变能)： 因此能量的变分： 非保守所做的功的变分(等于非保守力在位移变分上作的功) 将以上两式代入Hamilton原理的变分公式，得： 对上式中的第一项进行分部积分 2 2 1 umT 2 2 1 kuV uucutpWnc)( ukuuumVT)( 0)( 2 1 dtutpukuuucuum t t 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 )()()( t t t t t t t t t t t t t t udtumdtumuuumudumdtu dt d umdtu dt d umdtuum 2 1 0)( t t udttpkuucum )(tpkuucum 27/45 2.2.4 Lagrange方程 Hamilton原理是一种积分形式的动力问题的变分方法， 实际还有另外与之等价的微分形式的动力问题的变分 原理，就是运动的Lagrange方程，其表达式如下： 其中： T 体系的动能； V 体系的位能，包括应变能及任何保守力的势能； Pncj与uj相应的非保守力(包括阻尼力及任意外荷载)。 NjtP u V u T u T dt d ncj jjj , 2, 1,)()( 28/45 用Hamilton原理推导Lagrange方程 0)( 2 1 2 1 dtWdtVT t t t t nc NjtP u V u T u T dt d ncj jjj , 2, 1,)()( 对于有 N 个自由度的结构体系，体系的动能和位能分别为: ),( 2121NN uuuuuuTT (a) ),( 21N uuuVV (b) 因此动能和位能的变分为： j N j j j N j j u u T u u T T (c) j N j j u u V V (d) 同时，非保守力所做功的变分为： j N j ncjnc uPW (e) 将式(c)、(d)和(e)代入 Hamilton 原理得： N j t t j j jncj j t t N j j dtu u T dtuP u V u T 2 1 2 1 0)( (f) 29/45 用Hamilton原理推导Lagrange方程 对式(f)的第二项进行分部积分： dtu u T dt d dtu u T dt d u u T ud u T dtu dt d u T dt dt du u T dtu u T j j t t j j t t t t j j j t t j j t t j j t t j j t t j )()( )()()( 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 | (g) 式(g)代入式(f)得： 0)( 2 1 dtuP u V u T u T dt d jncj jjj N j t t (h) 由 j u的任意性，可知式(h)中括号内的项恒为零，这样就得到了 Lagrange 方程： NjtP u V u T u T dt d ncj jjj , 2, 1,)()( 30/45 用Lagrange方程方程建立体系的运动方程 体系的动能： 位能： 非保守力： 因此， 代入Lagrange方程： 再一次得到体系的运动方程： )()(tP u V u T u T dt d nc 2 2 1 umT 2 2 1 kuV )(tpucP nc umum dt d u T dt d )()(0 u T ku u V )(tpkuucum 31/45 2.2.5 五种建立运动方程的方法的特点 牛顿第二定律：牛顿第二定律： 是基于物理学中已有知识的直接应用，有助于理解和 接受DAlembert原理。 DAlembert原理：原理： 是一种简单、直观的建立运动方程的方法，得到广泛 的应用。DAlembert原理建立了动平衡的概念，使得 在结构静力分析中的一些方法可以直接推广到动力问 题。当结构具有分布质量和弹性时，直接应用 DAlembert原理，用动力平衡的方法来建立体系的运 动方程可能是困难的。 虚位移原理：虚位移原理： 部分避免了矢量运算，在获得体系虚功后，可以采用 标量运算建立体系的运动方程，简化了运算。 32/45 Hamilton原理：原理： 是一种建立运动方程的能量方法(积分形式的变分原 理)，如果不考虑非保守力作的功(主要是阻尼力)，它 是完全的标量运算，但实际上直接采用Hamilton原理建 立运动方程并不多。Hamilton原理的美妙在于它以一个 极为简洁的表达式概括了复杂的力学问题。 Lagrange方程：方程： 得到更多的应用，它和Hamilton原理一样，除非保守力 (阻尼力)外，是一个完全的标量分析方法，不必直接 分析惯性力和保守力(主要是弹性恢复力)，而惯性力 和弹性恢复力是建立运动方程时最为困难的处理对象。 33/45 表 2.1 几种建立运动方程方法的特点 方 法 特 点 牛顿第二定律 矢量方法，物理概念明确 DAlembert 原理 矢量方法，直观，建立了动平衡概念 虚位移原理 半矢量法，可处理复杂分布质量和弹性问题 Hamilton 原理 标量方法，表达简洁 Lagrange 方程 标量方法，运用面广 五种建立运动方程的方法的特点五种建立运动方程的方法的特点 34/45 例题 分析如下图所示体系的静力自由度和动力自由度，并利