选修不等式讲义

不等式选讲知识点一、不等式和绝对值不等式1. 不等式的基本性质2. 基本不等式（1），（当且仅当时取“”号）. 变形公式：。（2）（基本不等式） ，（当且仅当时取“”号）. 变形公式： 。3. 三个正数的算术几何平均不等式（1） 如果，那么，当且仅当时，等号成立。（2） 推广：如果为个正数，则，当且仅当时，等号成立。4. 绝对值三角不等式（1） 如果是实数，则，当且仅当时，等号成立。（2） 如果是实数，那么，当且仅当时，等号成立。5. 绝对值不等式的解法一般地，当时，有：，因此不等式的解集是；，因此，不等式的解集是；。2、 证明不等式的基本方法1. 比较法（1） 作差法（2） 作商法2. 综合法3. 分析法4. 反证法5. 放缩法3、 柯西不等式与排序不等式1. 二维形式的柯西不等式（1）一般形式：设，为实数，则，当且仅当，或存在一个实数，使得时，等号成立。（2）二维形式的柯西不等式代数形式：设均为实数，则。上式等号成立向量形式：设为平面上的两个向量，则。当且仅当是零向量或存在实数使得时，等号成立。三角形式：设，则，其几何意义是三角形的两边之和大于第三边。注意：应用柯西不等式求解时，按照“一看、二构造、三判断、四运用”2. 排序不等式 设，为两组实数.是的任一排列，则，（反序和乱序和顺序和），当且仅当或时，反序和等于顺序和.4、 数学归纳法证明不等式1. 数学归纳法一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数的所有正整数都成立时，可以用一下两个步骤：（1）证明当时命题成立；（2）假设时命题成立，证明时命题成立。完成以上两个步骤后，就可以断定命题对于不小于的所有正整数都成立。2. 贝努力不等式如果是实数，且，为大于的自然数，那么有。典型例题例1.已知，比较与的大小。变式1-1.已知，试比较的大小。例2.（1）已知：，求的范围；（2） 已知：，求的范围。变式2-1.若二次函数的图象过原点，且，求的范围。例3.若，。求证：（1）；（2）变式3-1.已知，求证：。例4.已知，且，求证：。变式4-1.设，求证：。例5.（1）已知，且，求的最小值。（2） 已知，且，求的最大值。例6.（1）求函数的最大值；变式6-1.求函数的最小值。例7.设，求证：。变式7-1.已知是三角形的三边长，求证：。例8.已知，试比较：与2的大小。变式8-1.（1）求函数的最小值；（2） 求函数的值域。例9.解下列不等式：（1）；（2）。变式9-1.（1）解不等式；（2） 若满足不等式的值也满足不等式，求的取值范围。（3） 若不等式的解集为，则实数。例10.若，求证：。变式10-1.若为正实数，且，求证：。例11.已知，求证。变式11-1.已知是正实数，且，求证：。例12.已知，求证：。变式12-1.设，求证：。变式12-2.已知，且。求证：（1）； （2）。例13.已知，求证：，不都大于1.变式13-1.已知是的三边长，求证：，中至少有一个不大于的几何平均数。例14.求证：。变式14-1.求证：变式14-2.求证：。例15.设，求证：。变式15-1.设，且，求的最大值与最小值。变式15-2.已知，求的最小值。例16.设都是正数，求证：。变式16-1.设，求函数的最大值。例17.已知，求证：。变式17-1.已知为正数，求证：（1） ；（2） 。例18.用数学归纳法证明： 。变式18-