人教版-八年级上册-第十二章轴对称(全章)

人教版 第12章 轴对称 考点一：关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识【知识要点】轴对称图形：如果_个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够_，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫做_。轴对称：对于_个图形，如果沿着一条直线对折后，它们能完全重合，那么称这两个图形成_，这条直线就是对称轴。两个图形中的对应点叫做_【例题解析】1、在26个大写英文字母中，是轴对称图形的有 。2、在三角形、等腰三角形、梯形、直角梯形、等腰梯形、平行四边形中，是轴对称图形的有 。其中的对称轴最多，有条 。3、下列几何图形中，线段角直角三角形半圆，其中一定是轴对称图形的有（）A1个B2个C3个D4个4、图9-19中，轴对称图形的个数是（ ） A4个 B3个 C2个 D1个5、正三角形有 条对称轴，正四边形有 条对称轴，正n边形有_条对称轴。考点二：垂直平分线的性质定理及判定定理【知识要点】（一） 性质定理：线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。ABOP几何语言：【例题分析】1（2012黄冈） 如图，在ABC中，AB=AC，A=36，AB的垂直平分线交AC于点E，垂足为点D，连接BE，则EBC的度数为_2如图所示，BAC=105，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC求PAQ的度数3（2012常州）如图，在四边形ABCD中，ADBC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF求证：AE=AF4（2010娄底）如图，在四边形ABCD中，ADBC，E为CD的中点，连接AE、BE，BEAE，延长AE交BC的延长线于点F求证：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD（二） 判定定理：【知识要点】到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。ABOP几何语言：引申垂直平分线的判定要满足的条件：1、 直线过线段的中点2、 直线垂直于已知线段【例题分析】1 如图，ABC中，AB=AC，PB=PC，连AP并延长交BC于D，求证：AD垂直平分BC2如图，AD是ABC的角平分线，DE、DF分别是ABD和ACD的高，求证：AD垂直平分EF考点三：作轴对称图形（一） 作轴对称图形【例题分析】1（2012凉山州）如图，梯形ABCD是直角梯形（1）直接写出点A、B、C、D的坐标；（2）画出直角梯形ABCD关于y轴的对称图形，使它与梯形ABCD构成一个等腰梯形（3）将（2）中的等腰梯形向上平移四个单位长度，画出平移后的图形（不要求写作法）（二） 利用轴对称求最短距离【例题分析】1（2011济宁）去冬今春，济宁市遭遇了200年不遇的大旱，某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A和李村B送水经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O为坐标原点，以河道所在的直线为x轴建立直角坐标系（如图）两村的坐标分别为A（2，3），B（12，7）（1）若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥多远的地方可使所用输水管道最短？（2）水泵站建在距离大桥多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？考点四：关于坐标轴对称【知识要点】点P(x，y)关于x轴对称的点坐标为 点P(x，y)关于y轴对称的点坐标为 引申：关于坐标轴夹角平分线对称点P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y=x对称的点的坐标是（y，x）点P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y= -x对称的点的坐标是（-y，-x）【例题分析】1知点A（a，3）与B（，b）关于x轴对称，则a+b=_2P（2，3）关于直线y=1的对称点的坐标是_3知M（5，2）与关于直线y=x对称，则N点的坐标为_【配套练习】一选择题1（2012丽水）如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是（）ABCD第1题 第2题 第7题2（2006巴中）如图，是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出，该球最后落入1号袋，经过反射的次数是（）A4次B5次C6次D7次3（2012沈阳）在平面直角坐标系中，点P（1，2）关于x轴的对称点的坐标为（）A（1，2）B（1，2）C（2，1）D（2，1）4（2012深圳）已知点P（a1，2a3）关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是（）Aa1B1aCa1Da5（2007怀化）已知点P（2，3）关于y轴的对称点为Q（a，b），则a+b的值是（）A1B1C5D56（2012孝感）如图，ABC在平面直角坐标系中第二象限内，顶点A的坐标是（2，3），先把ABC向右平移4个单位得到A1B1C1，再作A1B1C1关于x轴对称图形A2B2C2，则顶点A2的坐标是（）A（3，2）B（2，3）C（1，2）D（3，1）7（2011台湾）坐标平面上有一个轴对称图形，、两点在此图形上且互为对称点若此图形上有一点C（2，9），则C的对称点坐标为何（）A. （2，1） B. C. D. （8，9）二填空题8如图，在一个规格为612（即612个小正方形）的球台上，有两个小球A，B若击打小球A，经过球台边的反弹后，恰好击中小球B，那么小球A击出时，应瞄准球台边上的点_（P1至P4点） 第8题 第9题9（2012江西） 如图，已知正五边形ABCDE，请用无刻度的直尺，准确地画出它的一条对称轴（保留作图痕迹）_10如图，在22的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的ABC，请你找出格纸中所有与ABC成轴对称且以格占为顶点的三角形，这样的三角形共有_个，请在下面所给的格纸中一一画出（所给的六个格纸未必全用）11（2007钦州）动手折一折：将一张正方形纸片按下列图示对折3次得到图，在AC边上取点D，使AD=AB，沿虚线BD剪开，展开ABD所在部分得到一个多边形，则这个多边形的一个内角的度数是_度12小强拿了一张正方形的纸如图（1），沿虚线对折一次得图（2），再对折一次得图（3），然后用剪刀沿图（3）中的虚线（虚线与底边平行）剪去一个角，再打开后的形状应是_27如图所示，在ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，ABD的周长为13cm，则ABC的周长为_cm三解答题（共3小题）13（2012凉山州）在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法他把管道l看成一条直线（图（2），问题就转化为，要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小他的做法是这样的：作点B关于直线l的对称点B连接AB交直线l于点P，则点P为所求请你参考小华的做法解决下列问题如图在ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使PDE得周长最小（1）在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）（2）请直接写出PDE周长的最小值：_14如图，甲、乙两个单位分别位于一条封闭式街道的两旁，现准备合作修建一座过街天桥问：（1）桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短？（注：桥必须与街道垂直）（2）桥建在何处才能使甲、乙到桥的距离相等？15如图，某市区南北走向的解放路AB，龙潭路CD与东西走向的人民路交会于B，C两点，现想建造一加油站P，使得加油站到三条公路的距离相等请你用所学的知识确定P点的位置（用直尺、圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）16附加题：如图，在四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是CD的中点，且AEBC，AFCD（1）求证：AB=AD；（2）请你探究EAF，BAE，DAF之间有什么数量关系？并证明你的结论17（2011株洲）如图，ABC中，AB=AC，A=36，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC（1）求ECD的度数；（2）若CE=5，求BC长18（2008广安）如图，在梯形ABCD中，ADBC，E为CD中点，连接AE并延长AE交BC的延长线于点F（1）求证：CF=AD；（2）若AD=2，AB=8，当BC为多少时，点B在线段AF的垂直平分线上，为什么？19（2006益阳）如图，平面上的四边形ABCD是一只“风筝”的骨架，其中AB=AD，CB=CD（1）九年级王云同学观察了这个“风筝”的骨架后，他认为四边形ABCD的两条对角线ACBD，垂足为E，并且BE=ED，你同意王云同学的判断吗？请充分说明理由；（2）设对角线AC=a，BD=b，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积20（2003河南）如图所示，在RtABC中，ACB=90，AC=BC，D为BC边上的中点，CEAD于点E，BFAC交CE的延长线于点F，求证：AB垂直平分DF考点五：等腰三角形的性质【知识要点】1 有两条边相等2 “等边对等角”3 “三线合一”等腰三角形底边上的中线、高、角平分线互相重合。4 是轴对称图形（底边上的高或中线、角分线所在的直线是它的对称轴）【例题分析】1（2009内江）如图，已知AB=AC，AD=AE求证：BD=CE2（2007宜宾）已知；如图，在ABC中，AB=BC，ABC=90度F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF（1）求证：AE=CF；（2）若CAE=30，求EFC的度数3（2006余姚市）如图，已知D、E是等腰ABC底边BC上两点，且BD=CE求证：ADE=AED4（2006广东）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，ABC的平分线BG，交AD于点E，EFAB，垂足为F求证：EF=ED5（2002徐州）已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分为9cm和15cm两部分，求这个等腰三角形的底边长和腰长考点六：等腰三角形的判定【知识要点】1、 证两边等2、 证两角等等角对等边【例题分析】6（2004十堰）如图，已知ABC中，AB=AC，D、E分别是AB和BC上的点，连接DE并延长与AC的延长线交于点F，若DE=EF，求证：BD=CF7（2002娄底）如图所示：点D、E在ABC的AC边上，已知AD=CE，A=C，求证：ABD=CBE8（2012牡丹江）如图，ABC中AB=AC，P为底边BC上一点，PEAB，PFAC，CHAB，垂足分别为E、F、H易证PE+PF=CH证明过程如下：如图，连接APPEAB，PFAC，CHAB，SABP=ABPE，SACP=ACPF，SABC=ABCH又SABP+SACP=SABC，ABPE+ACPF=ABCHAB=AC，PE+PF=CH（1）如图，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若A=30，ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH=_点P到AB边的距离PE=_9（2008内江）如图，在ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD=BE，BAD=BCE，AD与CE相交于点F，试判断AFC的形状，并说明理由10（2006南充）已知：如图，OA平分BAC，1=2求证：ABC是等腰三角形11如图，在ABC中，ABC和ACB的平分线交于点O，过点O作EFBC，交AB于E、交AC于F（1）请写出图中的一个等腰三角形，并说明理由；（2）若AB=8，AC=6，求AEF的周长12（2008乌鲁木齐）在一次数学课上，王老师在黑板上画出图，如图，并写下了四个等式：AB=DC，BE=CE，B=C，BAE=CDE要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出AED是等腰三角形请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由（写出一种即可）13如图，ABC中，ACB=90，CDAB于D，AE平分CAB交CD于F，交BC于E，请判断CF与CE相等吗？为什么？14（2006莱芜）两个全等的含30，60角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME，MC试判断EMC的形状，并说明理由15（2002河南）如图所示，在RtABC中，AB=AC，A=90，点D为BC上任一点，DFAB于F，DEAC于E，M为BC的中点，试判断MEF是什么形状的三角形，并证明你的结论16如图，ABC中，AB=AC，B、C的平分线交于O点，过O点作EFBC交AB、AC于E、F试回答：（1）图中等腰三角形是_猜想：EF与BE、CF之间的关系是_理由：（2）如图，若ABAC，图中等腰三角形是_在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？（3）如图，若ABC中B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OEBC交AB于E，交AC于F这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由考点七：等边三角形的性质【知识要点】1 三边相等2 三角相等，每一个角都等于60；3 每条边上的中线、高、角平分线都互相重合；4 是轴对称图形，有三条对称轴。【例题分析】1（2012凉山州）如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中+的度数是（）A180B220C240D300 第1题 第2题 第3题2（2012深圳）如图，已知：MON=30，点A1、A2、A3在射线ON上，点B1、B2、B3在射线OM上，A1B1A2、A2B2A3、A3B3A4均为等边三角形，若OA1=1，则A6B6A7的边长为（）A6B12C32D643（2005济宁）如图，木工师傅从边长为90cm的正三角形木板上锯出一正六边形木块，那么正六边形木板的边长为（）A34cmB32cmC30cmD28cm4（2009丽水）如图，图是一块边长为1，周长记为P1的等边三角形纸板，沿图的底边剪去一块边长为的等边三角形纸板后得到图，然后沿同一底边依次剪去一块更小的等边三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉等边三角形纸板边长的）后，得图，记第n（n3）块纸板的周长为Pn，则PnPn1=_5（2010衡阳）已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE=CD求证：BD=DE6（2008日照）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ（1）求证：ACDBCE；（2）求证：DPCEQC；（3）求证：PCQ为等边三角形。变式一：（2008日照）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ以下五个结论：AD=BE；PQAE；AP=BQ；DE=DP；AOB=60度恒成立的结论有_（把你认为正确的序号都填上），并证明变式二：如图1，已知线段AB，点P是AB上的动点（P不与A，B重合），分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正APC和正PBD（1）求证：APDCPB；（2）连接AD、BC，相交于点Q，设AQC=，那么的大小是否会随点P的移动面变化？请说明理由；（3）如图2，若点P固定，将PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180），此时的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）考点八：等边三角形的判定【判定方法】1、证三边等；2、证三角等；3、证有两个角是60；4、证有一个角是60的等腰三角形。【典型例题】1如图，E是等边ABC中AC边上的点，1=2，BE=CD，则ADE的形状是（）A等腰三角形B等边三角形C不等边三角形D不能确定形状 1题 2题2如图，D，E，F分别是等边ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则DEF的形状是（）A等边三角形B腰和底边不相等的等腰三角形C直角三角形D不等边三角形3下列三角形：有两个角等于60；有一个角等于60的等腰三角形；三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形其中是等边三角形的有（）ABCD4若一个三角形的两个角的平分线分别垂直对边，则这个三角形是（）A等腰三角形B直角三角形C等边三角形D等腰直角三角形5下列条件中，不能得到等边三角形的是（）A有两个内角是60的三角形B有两边相等且是轴对称的三角形C有一个角是60且是轴对称的三角形D三边都相等的三角形6在下列结论中：（1）有一个外角是120的等腰三角形是等边三角形；（2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；（3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；（4）三个外角都相等的三角形是等边三角形其中正确的个数是（）A4个B3个C2个D1个7已知：如下图，ABC是等边三角形，D为AC上任一点ABD=ACE，BD=CE，求证：ADE是等边三角形8如图，已知ABC是等边三角形，D为边AC的中点，AEEC，BD=EC。（1）说明BCD与CAE全等的理由；（2）请判断ADE的形状，并说明理由9如图1，点B是线段AD上一点，ABC和BDE分别是等边三角形，连接AE和CD（1）求证：AE=CD；（2）如图2，点P、Q分别是AE、CD的中点，试判断PBQ的形状，并证明考点九：含有30角的直角三角形的性质【知识要点】性质：30所对的直角边等于斜边的一半。ACB几何语言： 【典型例题】1（2007天津）如图，ABC中，C=90，ABC=60，BD平分ABC，若AD=6，则CD= 2如图，在ABC中，已知AB=AC=2a，ABC=15，CD是腰AB上的高，求CD的长3（2004呼和浩特）如图，在ABC中，BA=BC，B=120，AB的垂直平分线MN交AC于D，求证：AD=DC4如图，ABC中，AB=AC，BAC=120，ADAC交BC于点D，求证：BC=3AD5已知：直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的2倍，这个角的平分线把对边分成两条线段，求证：其中一条是另一条的2倍6如图，上午8时，一艘轮船向正北方向行驶，每小时航行15海里， 11轮船到达B处，从A处7点P在西偏北75处,从B处测得点P在北偏西30处，求从B处到小岛P的距离B处望小岛，变式练习：如图，某轮船沿正北方向航行，在点A处测得灯塔C在北偏西30处轮船以每小时20海里的速度航行，2小时到达点B后，测得灯塔C在轮船北偏西75处当该轮船继续航行到达灯塔C的正东方向时，求此时轮船与灯塔C之间的距离（结果精确到0.1海里，参考数据： 7.如图所示，在等边ABC中，D、E分别是BC,AB上一点且BD=AE，CNAD于NCE交AD于M，试判断MN与CM的数量关系，并证明你的结论。ABCEDNM考点十：轴对称的综合应用一选择题（共7小题）1（2012丽水）如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是（）ABCD第1题 第2题 第7题2（2006巴中）如图，是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示