采样定理与假频

回顾：小结,1）采样、带限信号的时间域抽样定理（了解）；,2）SFT，采样频率；,3）离散信号的连续化（了解）。,回顾：SFT（或DTFT）,取时便可得到如下的变换,这就是无限离散序列的傅里叶积分变换（SequenceFourierTransform，简写成SFT；也可称其为DiscreteTimeFourierTransform，简称DTFT），或称序列傅里叶（积分）变换。,采样定理与假频,），,一般说来，我们只知道无限离散序列（为采样间隔）以及可能的连续信号（这些连续信号都是按照一定的方法和原理推测出来的）；,也就是说，我们是先有离散值，才有了这些可能的连续信号，离散值在先，可能的连续信号在后；,采样之前的实际信号我们是不知道的，更谈不上对采样前连续信号做频谱分析了。,问题：除了这些离散数值外，原始连续信号与离散信号是否还存在其它的某种联系？,采样定理与假频,），,假设采样之前的连续信号（也称原始信号）为,它的频谱为,并且有,采样定理与假频,），,于是有,采样定理与假频,），,另一方面，根据SFT，,因此有,这就是（Shannon）采样定理！它建立了无限离散序列的谱与连续信号的谱两者之间的关系式！,采样定理与假频,），,采样定理告诉我们：尽管我们不知道原始信号x(t)及其频谱X(f)的具体表达式（无论它们如何变化），只要原始信号在固定点,采样定理:,上的离散数值x(n)是确定的，以-1为长度对频谱X(f)进行折叠所得到的数值就是离散序列,在有限区间,上的频谱,采样定理与假频,），,很显然，,作为一个门坎值，它在连续信号的离散过程中起到了非常重要的作用：,原始信号中所有包含大于它的频谱成分均被折叠到信号的低频部分。,在这种折叠过程中它是个非常明显且唯一的标记，我们称其为折叠频率，也称其为Nyquist频率，数值上它等于采样频率的一半。,采样定理与假频,），,采样定理与假频,），,根据采样定理，若原始信号x(t)中包含有频率,以为时间间隔采样后得到的离散序列,所对应的频谱,很显然，此时频谱X(f)中大于Nyquist频率的频谱成分就被折叠到低频成分之上，其结果是原始频谱被彻底改造。,采样定理与假频,），,改造的结果是：,（1）原始频谱中的低频成分由于折叠作用而发生了畸变（与原来的频谱不一致）；,（2）高频成分被填充为零（原始信号的高频成分不一定为零）。,与原始频谱是不相等的；这种由连续信号的离散化导致离散前后频谱发生变化的现象，称为假频现象(有的地方称其为混叠现象),也就是说，由离散序列所得到的频谱,采样定理与假频,），,与原始频谱是不相等的；这种由连续信号的离散化导致信号离散前后所对应的频谱发生变化的现象，称为假频现象(有的地方称其为混叠现象),也就是说，由离散序列所得到的频谱,我们将在假频现象中引起频谱发生畸变的那部分频率成分（即原始信号中大于Nyquist频率的频谱成分）统称为假频。,采样定理与假频,），,在该图中，哪一组抽样出现了假频？,采样定理与假频,），,在连续信号的离散信号过程中，应该怎样发现假频？,1、使用小的采样间隔1可以有效防止假频现象，但这样做是以增加计算量为代价的.,2、然后适当增大采样间隔（由1变成2），,(a)如果这两组离散信号的频谱没有差别（以不影响分析结果为标准），可以再适当加大采样间隔（由2变成3(2)）;,(b)否则就缩小采样间隔（由2变成3(2)）.,3、重复上述过程，直到找到一个合适的数值较大的采样间隔。,采样定理与假频,），,例1：地震勘探中通常采用1ms、2ms、4ms进行采样，分别计算出它们所对应的折叠频率。,例2：在上例中，若原始信号中包含的最大有用频率为200Hz，应该选择哪一种采样间隔最合适？为什么？,作业：,分别采用1ms、2ms、4ms对该连续信号进行采样。,计算所得到的无限离散信号的频谱，分析其是否存在假频现象（必须有计算过程、绘图表示）。,采样定理与假频,），,1、采样定理。,2、