用二重积分计算旋转体的体积

6.2定积分的几何应用1,用二重积分计算旋转体的体积,蜀南竹海,6.2定积分的几何应用2,作为定积分的几何应用，旋转体的体积一般是用定积分来计算。本课件用元素法来推导旋转体体积的二重积分的计算公式。将二重积分化为二次积分可以得到计算旋转体体积的定积分公式、最后，举例加以说明。,6.2定积分的几何应用3,先看特殊的情形,旋转轴为坐标轴,6.2定积分的几何应用4,设D是上半平面内的一个有界闭区域。将D绕x轴旋转一周得一旋转体，求该旋转体的体积Vx。,我们用元素法来建立旋转体体积的二重积分公式。,D,6.2定积分的几何应用5,D,在区域D的(x,y)处取一个面积元素,它到x轴的距离是y（如图）。,该面积元素绕x轴旋转而成的旋转体的体积约为：,（体积元素）,于是整个区域绕x轴旋转而成的旋转体的体积为：,6.2定积分的几何应用6,D,命题1：上半平面内一个有界闭区域D绕x轴旋转而成的旋转体的体积为：,6.2定积分的几何应用7,D,命题2：右半平面内一个有界闭区域D绕y轴旋转而成的旋转体的体积为：,同理,6.2定积分的几何应用8,下面针对不同的区域将二重积分化为定积分得到熟悉的旋转体体积公式,6.2定积分的几何应用9,x型区域绕x轴旋转,6.2定积分的几何应用10,y=f(x),如果,圆片法,则D绕x轴旋转的旋转体体积为：,6.2定积分的几何应用11,y=f(x),y=g(x),如果,则D绕x轴旋转的旋转体体积为,垫圈法,6.2定积分的几何应用12,y型区域绕y轴旋转,6.2定积分的几何应用13,x=f(y),如果,则D绕y轴旋转的旋转体体积为：,圆片法,6.2定积分的几何应用14,x=f(y),x=g(y),如果,则D绕y轴旋转的旋转体体积为：,垫圈法,6.2定积分的几何应用15,x型区域绕y轴旋转！,注意：一般教材没有介绍这个公式。,6.2定积分的几何应用16,y=f(x),y=g(x),如果,则D绕y轴旋转的旋转体体积为：,柱壳法,6.2定积分的几何应用17,下面看一个极坐标的情形,6.2定积分的几何应用18,如果D是曲边扇形：,则D绕极轴(x轴)旋转的旋转体体积为：,6.2定积分的几何应用19,我们用命题1来推导一个有关区域D的形心(质心)和旋转体体积之间的关系的定理：古尔丁定理,PaulGuldin（古尔丁）15771643Swissmathematicianwhowroteonvolumesandcentresofgravity.,6.2定积分的几何应用20,D,上半平面内一个有界闭区域D绕x轴旋转而成的旋转体的体积等于该区域的形心所经过的路程与D的面积A的乘积。,古尔丁定理,形心,A,6.2定积分的几何应用21,D,形心,A,如果你很容易求得D的面积和形心，用古尔丁定理就很容求得旋转体的体积。,6.2定积分的几何应用22,下面来看一般的情形,一般的区域x1:=0:x2:=2:y1:=x-x2:y2:=x-2*x:int(f(x,y),y=y1.y2);int(int(f(x,y),y=y1(x).y2(x),x=x1.x2);(2*Pi/sqrt(5)*Int(Int(f(x,y),y=y1(x).y2(x),x=x1.x2)=(2*Pi/sqrt(5)*int(int(f(x,y),y=y1(x).y2(x),x=x1.x2);,with(plots):quxian:=plot(x2,2*x,x=-1.3,y=-1.5,thickness=4):display(quxian,tickmarks=0,0,scaling=constrained);,6.2定积分的几何应用28,例2求由x=y2和y=x2所围区域D绕直线y=x-1旋转的旋转体体积V。,f:=(x,y)-y-x+1;x1:=0:x2:=1:y1:=x-x2:y2:=x-sqrt(x):int(f(x,y),y=y1.y2);int(int(f(x,y),y=y1(x).y2(x),x=x1.x2);sqrt(2)*Pi*Int(Int(f(x,y),y=y1(x).y2(x),x=x1.x2)=sqrt(2)*Pi*int(int(f(x,y),y=y1(x).y2(x),x=x1.x2);,with(plots):quxian:=implicitplot(y=x2,x=y2,y=x-1,x=-1.3,y=-1.2,thickness=4):display(quxian,tickmarks=0,0,scaling=constrained);,6.2定积分的几何应用29,例3求由y=0,y=lnx和x=e所围区域D绕直线y=-x旋转的旋转体体积V。,f:=(x,y)-y-x+1;x1:=0:x2:=1:y1:=x-x2:y2:=x-sqrt(x):int(f(x,y),y=y1.y2);int(int(f(x,y),y=y1(x).y2(x),x=x1.x2);sqrt(2)*Pi*Int(Int(f(x,y),y=y1(x).y2(x),x=x1.x2)=sqrt(2)*Pi*int(int(f(x,y),y=y1(x).y2(x),x=x1.x2);,with(plots):quxian:=implicitplot(y=x2,x=y2,y=x-1,x=-1.3,y=-1.2,thickness=4):display(quxian,tickmarks=0,0,scaling=constrained);,6.2定积分的几何应用30,也可以按先x后y的积分次序计算二重积分：,f:=(x,y)-x+y;y1:=0:y2:=1:x1:=y-exp(y):x2:=y-exp(1):sqrt(2)*Pi*Int(Int(f(x,y),x=x1(y).x2(y),y