高三数学中难度小题

高三数学中难度小题一选择题（共16小题）1已知（1+x）（ax）6=a0+a1x+a2x2+a7x7，aR，若a0+a1+a2+a6+a7=0，则a3的值为（）A35B20C5D52已知函数f（x）=x+exa，g（x）=ln（2x+1）4eax，其中e为自然对数的底数，若存在实数x0，使f（x0）g（x0）=4成立，则实数a的值为（）Aln 11B1ln 2Cln 2Dln 23已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F的直线l与C相交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，垂足为E，若|AB|=6，则|EM|的长为（）A2BC2D4已知函数f（x）=x32x+ex，其中e为自然对数的底数，若不等式f（3a2）+f（2a1）f（0）恒成立，则实数a的取值范围为（）ABC1，D5设等比数列an的公比为q，其前n项的积为Tn，并且满足条件a11，a9a1010，0，则使Tn1成立的最大自然数n的值为（）A9B10C18D196如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量=+，则+的取值范围为（）A1，5BCD1，7已知，为单位向量，且，向量满足|=2，则|的范围为（）A1，1+B2，2+CD32，3+28已知椭圆C：+=1，若直线l经过M（0，1），与椭圆交于A、B两点，且=，则直线l的方程为（）Ay=x+1By=x+1Cy=x+1Dy=x+19已知函数f（x）=x2xlnxk（x+2）+2在区间，+）上有两个零点，则实数k的取值范围为（）ABCD10函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x1）为偶函数，当x0，1时，若函数g（x）=f（x）xb恰有一个零点，则实数b的取值集合是（）ABCD11如图，F1，F2为双曲线C的左右焦点，且|F1F2|=2若双曲线C的右支上存在点P，使得PF1PF2设直线PF2与y轴交于点A，且APF1的内切圆半径为，则双曲线C的离心率为（）A2B4CD212已知f（x）=x+xlnx，若k（x2）f（x）对任意x2恒成立，则整数k的最大值是（）A3B4C5D613若函数y=2sinx（0）在区间（，）上只有一个极值点，则的取值范围是（）A1B3C34D14下列说法正确的是（）A若aR，则“1”是“a1”的必要不充分条件B“pq为真命题”是“pq为真命题”的必要不充分条件C若命题p：“xR，sinx+cosx”，则p是真命题D命题“x0R，使得x02+2x0+30”的否定是“xR，x2+2x+30”15已知ABC的外接圆半径为1，圆心为O，且3，则ABC的面积为（）ABCD16已知R，函数g（x）=x24x+1+4，若关于x的方程f（g（x）=有6个解，则的取值范围为（）ABCD二填空题（共12小题）17如图，圆锥的高PO=，底面O的直径AB=2，C是圆上一点，且CAB=30，D为AC的中点，则直线OC和平面PAC所成角的余弦值为 18 设函数f（x）=，数列an是公比大于0的等比数列，且a5a6a7=1，若f（a1）+f（a2）+f（a10）=a1，则a1= 19已知四面体ABCD的每个顶点都在球O的表面上，AB=AC=5，BC=8，AD底面ABC，G为ABC的重心，且直线DG与底面ABC所成角的正切值为，则球O的表面积为 20如图，一块均匀的正三角形面的钢板的质量为10kg，在它的顶点处分别受力F1，F2，F3，每个力同它相邻的三角形的两边之间的角都是60，且|F1|=|F2|=|F3|要提起这块钢板，|F1|，|F2|，|F3|均要大于xkg，则x的最小值为 21 在数列an中，首项不为零，且an=an1（nN*，n2），Sn为an的前n项和，令Tn=，nN*，则Tn的最大值为 22 已知球的直径SC=2，A，B是该球球面上的两点，若AB=2，ASC=BSC=45，则棱锥SABC的表面积为 23已知数列an的通项为an=，若an的最小值为，则实数a的取值范围是 24如图所示，已知点O为ABC的重心，OAOB，AB=6，则的值为 25已知函数f（x）=，g（x）=kx+1，若方程f（x）g（x）=0有两个不同实根，则实数k的取值范围为 26如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的外接球体积 27定义maxa，b表示实数a，b中的较大的数已知数列an满足a1=a（a0），a2=1，an+2=（nN），若a2015=4a，记数列an的前n项和为Sn，则S2015的值为 28已知AD、BE分别是ABC的中线，若AD=BE=1，且=，则与的夹角为 三解答题（共2小题）29一只袋中放入了大小一样的红色球3个，白色球3个，黑色球2个（）从袋中随机取出（一次性）2个球，求这2个球为异色球的概率；（）若从袋中随机取出（一次性）3个球，其中红色球、白色球、黑色球的个数分别为a、b、c，令随机变量表示a、b、c的最大值，求的分布列和数学期望30某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下数据资料：日期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日昼夜温差x（）1011131286就诊人数y（个）222529261612该兴趣小组确定的研究方案是：先从这6组（每个有序数对（x，y）叫作一组）数据中随机选取2组作为检验数据，用剩下的4组数据求线性回归方程（）求选取的2组数据恰好来自相邻两个月的概率；（）若选取的是1月和6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选取的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问（）中所得到的线性回归方程是否是理想的？参考公式：高三数学中难度小题参考答案与试题解析一选择题（共16小题）1已知（1+x）（ax）6=a0+a1x+a2x2+a7x7，aR，若a0+a1+a2+a6+a7=0，则a3的值为（）A35B20C5D5【解答】解：（1+x）（ax）6=a0+a1x+a2x2+a7x7中，令x=1得，a0+a1+a7=2（a1）6=0，解得a=1，而a3表示x3的系数，所以a3=（1）3+（1）2=5故选：D2已知函数f（x）=x+exa，g（x）=ln（2x+1）4eax，其中e为自然对数的底数，若存在实数x0，使f（x0）g（x0）=4成立，则实数a的值为（）Aln 11B1ln 2Cln 2Dln 2【解答】解：f（x）g（x）=xln（2x+1）+exa+4eax，令h（x）=xln（2x+1），则h（x）=1，h（x）在（，0）上是减函数，在（0，+）上是增函数，所以h（x）min=h（0）=0，又exa+4eax2=4，f（x）g（x）4，当且仅当时，取等号解得x=0，a=ln 2，故选：D3已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F的直线l与C相交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，垂足为E，若|AB|=6，则|EM|的长为（）A2BC2D【解答】解：由已知得F（1，0），设直线l的方程为x=my+1，并与y2=4x联立得y24my4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），E（x0，y0），y1+y2=4m，则y0=2m，x0=2m2+1，所以E（2m2+1，2m），又|AB|=x1+x2+2=m（y1+y2）+4=4m2+4=6，解得m2=，线段AB的垂直平分线为y2m=m（x2m21），令y=0，得M（2m2+3，0），从而|ME|=故选：B4已知函数f（x）=x32x+ex，其中e为自然对数的底数，若不等式f（3a2）+f（2a1）f（0）恒成立，则实数a的取值范围为（）ABC1，D【解答】解：易知y=x32x，与y=ex，都是奇函数，所以函数f（x）为奇函数，又因为f（x）=3x22+ex+ex3x20，所以函数f（x）为增函数，原不等式转化为：f（3a2）f（2a+1）3a22a10，解得：a1，故选：B5设等比数列an的公比为q，其前n项的积为Tn，并且满足条件a11，a9a1010，0，则使Tn1成立的最大自然数n的值为（）A9B10C18D19【解答】解：根据题意，a9a1010，即a9a101，则有a92q1，即q0，等比数列an的各项均为正数，若0，则有（a91）（a101）0，又由a11，q0，分析可得a91，a101，则T18=a1a2a3a4a15a16a17a18=（a9a10）91；T19=a1a2a3a4a16a17a18a19=（a10）191；则使Tn1成立的最大自然数n的值为18；故选：C6如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量=+，则+的取值范围为（）A1，5BCD1，【解答】解：以A为原点，以AB所在的为x轴，建立坐标系，设正方形ABCD的边长为1，则E（，0），C（1，1），D（0，1），A（0，0），B（1，0） 设 P（cos，sin），AC=（1，1） 再由向量=（，1）+（cos，sin）=（ +cos，+sin ）=（1，1），+=1+由题意得 0，0cos1，0sin1求得（+）=0，故+在0，上是增函数，故当=0时，即cos=1，这时+取最小值为=，故当=时，即cos=0，这时+取最大值为=5，故+的取值范围为，5故选：C7已知，为单位向量，且，向量满足|=2，则|的范围为（）A1，1+B2，2+CD32，3+2【解答】解：由，是单位向量，=0，可设=（1，0），=（0，1），=（x，y），由向量满足|=2，|（x1，y1）|=2，=2，即（x1）2+（y1）2=4，其圆心C（1，1），半径r=2，|OC|=2|=2+故选：B8已知椭圆C：+=1，若直线l经过M（0，1），与椭圆交于A、B两点，且=，则直线l的方程为（）Ay=x+1By=x+1Cy=x+1Dy=x+1【解答】解：设直线l的方程为m（y1）=xA（x1，y1），B（x2，y2）联立，化为：（9+5m2）y210m2y+5m245=0，y1+y2=，y1y2=，=，y11=联立解得m=3则直线l的方程为：y=x+1故选：B9已知函数f（x）=x2xlnxk（x+2）+2在区间，+）上有两个零点，则实数k的取值范围为（）ABCD【解答】解：令f（x）=0可得：，令，则，令t（x）=x2+3x42lnx，则 ，据此可得函数t（x）在区间 上单调递增，且t（1）=0，故当x（0，1）时，t（x）0，h（x）0，当x（1，+）时，t（x）0，h（x）0，则函数h（x）在区间 上单调递减，在区间（1，+）上单调递增，而：，据此可得：实数k的取值范围为 故选：A10函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x1）为偶函数，当x0，1时，若函数g（x）=f（x）xb恰有一个零点，则实数b的取值集合是（）ABCD【解答】解：f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x1）为偶函数，f（x1）=f（x1）=f（x+1），即f（x）=f（x+2），则f（x+4）=f（x+2）=f（x），即函数f（x）的周期是4，f（x1）为偶函数，f（x1）关于x=0对称，则f（x）关于x=1对称，同时也关于x=1对称，若x1，0，则x0，1，此时f（x）=f（x），则f（x）=，x1，0，若x2，1，x+20，1，则f（x）=f（x+2）=，x2，1，若x1，2，x21，0，则f（x）=f（x2）=，x1，2，作出函数f（x）的图象如图：由数g（x）=f（x）xb=0得f（x）=x+b，由图象知当x1，0时，由=x+b，平方得x2+（2b+1）x+b2=0，由判别式=（2b+1）24b2=0得4b+1=0，得b=，此时f（x）=x+b有两个交点，当x4，5，x40，1，则f（x）=f（x4）=，由=x+b，平方得x2+（2b1）x+4+b2=0，由判别式=（2b1）2164b2=0得4b=15，得b=，此时f（x）=x+b有两个交点，则要使此时f（x）=x+b有一个交点，则在0，4内，b满足b，即实数b的取值集合是4nb4n，即4（n1）+b4（n1）+，令k=n1，则4k+b4k+，故选：D11如图，F1，F2为双曲线C的左右焦点，且|F1F2|=2若双曲线C的右支上存在点P，使得PF1PF2设直线PF2与y轴交于点A，且APF1的内切圆半径为，则双曲线C的离心率为（）A2B4CD2【解答】解：由PF1PF2，APF1的内切圆半径为，由圆的切线和勾股定理可得：圆外一点引圆的切线所得切线长相等，可得|PF1|+|PA|AF1|=2r=1，由双曲线的定义可得|PF2|+2a+|PA|AF1|=1，可得|AF2|AF1|=12a，由图形的对称性知：|AF2|=|AF1|，即有a=又|F1F2|=2，可得c=1，则e=2故选：A12已知f（x）=x+xlnx，若k（x2）f（x）对任意x2恒成立，则整数k的最大值是（）A3B4C5D6【解答】解：x2，k（x2）f（x）可化为k=；令F（x）=，则F（x）=；令g（x）=x2lnx4，则g（x）=10，故g（x）在（2，+）上是增函数，且g（8）=82ln84=2（2ln8）0，g（9）=92ln94=52ln90；故存在x0（8，9），使g（x0）=0，即2lnx0=x04；故F（x）在（2，x0）上是减函数，在（x0，+）上是增函数；故Fmin（x）=F（x0）=；故k；故k的最大值是4；故选：B13若函数y=2sinx（0）在区间（，）上只有一个极值点，则的取值范围是（）A1B3C34D【解答】解：函数y=2sinx（0）则y=2cosxx（，）上，x（，）在区间（，）上只有一个极值点，则，且，解得：，即3故选：B14下列说法正确的是（）A若aR，则“1”是“a1”的必要不充分条件B“pq为真命题”是“pq为真命题”的必要不充分条件C若命题p：“xR，sinx+cosx”，则p是真命题D命题“x0R，使得x02+2x0+30”的否定是“xR，x2+2x+30”【解答】解：若“1”成立，则“a1”或“a0”，故“1”是“a1”的不充分条件，若“a1”成立，则“1”成立，故“1”是“a1”的必要条件，综上所述，“1”是“a1”的必要不充分条件，故A正确；若“pq为真命题”，则“p，q均为真命题”，则“pq为真命题”成立，若“pq为真命题”则“p，q存在至少一个真命题”，则“pq为真命题”不一定成立，综上所述，“pq为真命题”是“pq为真命题”的充分不必要条件，故B错误；命题p：“xR，sinx+cosx=sin（x+）”为真命题，则p是假命题，故C错误；命题“x0R，使得x02+2x0+30”的否定是“xR，x2+2x+30”，故D错误；故选：A15已知ABC的外接圆半径为1，圆心为O，且3，则ABC的面积为（）ABCD【解答】解：如图，；由得：，；两边平方得：；OAOB；同理两边分别平方得：，；SABC=SAOB+SBOC+SAOC=故选：C16已知R，函数g（x）=x24x+1+4，若关于x的方程f（g（x）=有6个解，则的取值范围为（）ABCD【解答】解：令g（x）=t，则方程f（t）=的解有3个，由图象可得，01且三个解分别为t1=1，t2=1+，t3=10，则x24x+1+4=1，x24x+1+4=1+，x24x+1+4=10，均有两个不相等的实根，则10，且20，且30，即164（2+5）0且164（2+3）0，解得0，当0时，3=164（1+410）0即34+100恒成立，故的取值范围为（0，）故选：D二填空题（共12小题）17如图，圆锥的高PO=，底面O的直径AB=2，C是圆上一点，且CAB=30，D为AC的中点，则直线OC和平面PAC所成角的余弦值为【解答】解：设点O到平面PAC的距离为d，设直线OC和平面PAC所成角为，则由等体积法有：VOPAC=VPOAC，即SPACd=POSOAC，在AOC中，求得AC=，在POD中，求得PD=，d=，sin =，于是cos =，故答案为18设函数f（x）=，数列an是公比大于0的等比数列，且a5a6a7=1，若f（a1）+f（a2）+f（a10）=a1，则a1=e【解答】解：若x1，则01； 则f（x）=xln x，=xln x，故f（x）+f（）=0对任意x0成立又an是公比大于0的等比数列，且a5a6a7=1，所以a6=1故a2a10=a3a9=a4a8=a5a7=a6=1；故f（a2）+f（a3）+f（a10）=f（a2）+f（a10）+f（a3）+f（a9）+f（a5）+f（a7）+f（a6）=0，所以f（a1）+f（a2）+f（a10）=f（a1）=a1，若a11，则a1ln a1=a1，则a1=e；若0a11，则0，无解；故答案为：e19已知四面体ABCD的每个顶点都在球O的表面上，AB=AC=5，BC=8，AD底面ABC，G为ABC的重心，且直线DG与底面ABC所成角的正切值为，则球O的表面积为【解答】解：由题意，AG=2，AD=1，cosBAC=，sinBAC=，ABC外接圆的直径为2r=，设球O的半径为R，R=球O的表面积为，故答案为20如图，一块均匀的正三角形面的钢板的质量为10kg，在它的顶点处分别受力F1，F2，F3，每个力同它相邻的三角形的两边之间的角都是60，且|F1|=|F2|=|F3|要提起这块钢板，|F1|，|F2|，|F3|均要大于xkg，则x的最小值为【解答】解：由题意可得：3xsin6010，解得x（kg），故答案为：21在数列an中，首项不为零，且an=an1（nN*，n2），Sn为an的前n项和，令Tn=，nN*，则Tn的最大值为2+2【解答】解：数列an中，首项不为零，且an=an1（nN*，n2），数列an为等比数列，首项为a1，公比为，Sn=，S2n=，Tn=2（），当且仅当n=2时取等号Tn的最大值为2+2故答案为：2+222已知球的直径SC=2，A，B是该球球面上的两点，若AB=2，ASC=BSC=45，则棱锥SABC的表面积为16【解答】解：BSC=ASC=45，且SC为直径，ASC与BSC均为等腰直角三角形，BOSC，AOSC；又AOBO=O，SC面ABO；SAB中，SA=AB=，AB=2，SSAB=2=3，同理SABC=3，SBSC=SASC=2=5，棱锥SABC的表面积为16故答案为：1623已知数列an的通项为an=，若an的最小值为，则实数a的取值范围是，+）【解答】解：由题可知当n5时结合函数y=x+（x0），可知ana4=4+=，又因为an的最小值为，所以当n5时y=alnn，即alnn8，又因为lnnln50，所以当n5时a恒成立，所以，故答案为：，+）24如图所示，已知点O为ABC的重心，OAOB，AB=6，则的值为72【解答】解：连接CO延长交AB于M，则由O为重心，则M为中点，且=2=2（+）=（+），由OAOB，AB=6，则=0，+=36则=（）（）=（2+）（2+）=5+2（+）=0+236=72故答案为：7225已知函数f（x）=，g（x）=kx+1，若方程f（x）g（x）=0有两个不同实根，则实数k的取值范围为（，1）（1，e1；【解答】解：g（x）=kx+1，方程f（x）g（x）=0有两个不同实根等价为方程f（x）=g（x）有两个不同实根，即f（x）=kx+1，则等价为函数f（x）与函数y=kx+1有两个不同的交点，当1x2，则0x11，则f（x）=f（x1）=ex1，当2x3，则1x12，则f（x）=f（x1）=ex2，当3x4，则2x13，则f（x）=f（x1）=ex3，当x1时，f（x）=f（x1），周期性变化；函数y=kx+1的图象恒过点（0，1）；作函数f（x）与函数y=kx+1的图象如下，C（0，1），B（2，e），A（1，e）；故kAC=e1，kBC=；在点C处的切线的斜率k=e0=1；结合图象可得，当k（1，e一1时，k取中间值，交点在f（x）=ex上两点，定点（0，1），另一点在第一象限A点下方当k（，1）时，任取k为中间值，则交点过C，另一点在笫二象限，点c的左下方当k（0，交点有3点以上，与f（x）、f（x一1）都有交点当k（一，e一1）时，与f（x）只交于点C综上要使两个函数有两个交点，则实数k的取值范围为（，1）（1，e1；故答案为：（，1）（1，e1；26如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的外接球体积【解答】解：由三视图知几何体是三棱锥ABCD，是棱长为4的正方体一部分，直观图如图所示：由正方体的性质可得，AB=AD=BD=4，AC=BC=2，CD=6，设三棱锥CABD的外接球球心是O，设半径是R，取AB的中点E，连接CE、DE，如图所示：设OA=OB=OC=OD=R，ABD是等边三角形，O在底面ABD的射影是ABD中心F，DEBE，BE=2，DE=2，同理可得，CE=2，则满足CE2+DE2=CD2，即CEDE；在RtCED中，设OF=x，F是等边ABD的中心，DF=DE=，EF=DE=，则，解得x=，代入其中一个方程得，R=，该四面体的外接球体积是=故答案为：27定义maxa，b表示实数a，b中的较大的数已知数列an满足a1=a（a0），a2=1，an+2=（nN），若a2015=4a，记数列an的前n项和为Sn，则S2015的值为7254【解答】解：当0a2时，a1=a（a0），a2=1，an+2=（nN），a3=2max1，2=2，a4=2max，2=，a5=2max，2=4，a6=2max4，2=a，a7=2maxa，2=1，a8=2max1，2=，数列an是以5为周期的周期数列，2015=4035，a2015=a5=4=4a，解得a=1，S2015=403（a+1+）=403（1+1+4+8+4）=7254；当a2时，a1=a（a0），a2=1，an+2=（nN），a3=2max1，2=2，a4=2max，2=4，a5=2max4，2=2a4，a6=2max2a，2=a2