高观点下的几何学练习题及参考答案(东师)

高观点下的几何学练习题参考答案一一、填空题。1公理法的三个基本问题是（ 相容性问题 ）、（ 独立性问题 ）和（ 完备性问题）。 2公理法的结构是（原始概念的列举）、（定义的叙述 ）、（ 公理的叙述）和（定理的叙述和证明）。3仿射变换把矩形变成 平行四边形 4仿射变换把平行线变成 平行线 5仿射变换把正三角形变成 三角形 二、简答题。1试给一个罗氏几何的数学模型。答：罗氏几何的（Cayley-F.kLein）模型在欧氏平面上任取一个圆，把圆内部的点所构成的集合看成是罗氏“平面”。罗氏平面几何的原始概念解释成：罗氏点：圆内的点；罗氏直线：圆内的开弦（两个端点除外，它们可称为无穷远点）。结合关系：圆内原来的点和线的结合关系；介于关系：圆内弦上三点的介于关系；运动关系：欧氏平面上，将圆K变成自身的射影变换。罗氏平行公理（在罗氏平面上） 通过直线外一点至少存在两直线与已知直线不相交。2试给一个黎曼几何的数学模型答：黎曼几何的（F.KLein）模型黎曼几何的原始概念解释成：黎氏点：欧氏球面上的点，但把每对对径点看成一点；黎氏直线：球面上的大圆；黎氏平面：改造后的球面。黎氏点与黎氏直线的基本关系：(1)通过任意两个黎氏点存在一条黎氏直线；(2)通过任意两个黎氏点至多存在一条黎氏直线；(3)每条黎氏直线上至少有两个黎氏点；至少存在三个黎氏点不在同一条黎氏直线上。黎曼几何平行公理：黎氏平面上任意两条直线相交。3简述公理法的基本思想。 答：若干个原始概念（包括元素和关系）、定义和公理一起叫做一个公理体系，构成了一种几何的基础。全部元素的集合构成了这种几何的空间。在这个公理体系的基础上，每个概念都必须给出定义，每个命题都必须给出证明，原始概念、定义、公理和定理按照逻辑关系有次序地排列而构成命题系统逻辑结构，这就是公理法思想。4简述公理系统的独立性答：如果一个公理系统中的某条公理不能由其余公理证明，即不时其余公理的推论，则称这跳公理在公理系统中是独立的。如果一个公理系统中的没一条工理都是独立的，则称这个公理系统是独立的。5试着陈述非欧几何是怎样产生的？答：众所周知，欧几里得几何原本是演绎体系的里程碑，虽然它不尽完善，但它确实是建立科学演绎体系的最早的代表作，它一经问世，就引起了学术界的广泛关注，欧几里得之后的数学家们在对几何原本的研究过程发现，它的第五公设的内容不象前四条公设叙述的那么简单，同时它又是在第二十九条命题之后才出现的，于是这些数学家很自然提出这样一个问题：是否底五公设它不是一条公理，而是一条命题呢？与是他们试图去论证第五公设的独立性，在这种论证过程中，罗巴切夫斯基与黎曼分别建立了新的无矛盾的科学演绎体系，即罗氏及何与黎曼几何，这两种几何与欧氏几何有共同的绝对几何公理体系，只是平行公理不同。6简述公理系统的完备性。答：如果公理系统的所有模型都是同构的，则称这个公理系统是完备的，或称其具有完备性。7简述公理系统的相容性。答：公理系公理系统的相容性是指这个系统的所有构成要素是无矛盾的。任何一个公理系统都要满足无矛盾性。证明公理系统的相容性常用的方法是模型法。三、选择题。1三角形内角和等于180度与（ A ） 欧氏平行公理等价 罗氏平行公理等价 椭圆几何平行公设等价 不可判定2欧氏几何与非欧几何的本质区别为（ A ） 平行公设不同 结合公理相同 绝对公设不同 结合公理不同3设点共线，且在仿射变换下分别变成，则三点（ A ）A共线 B三角形顶点 C可能不共线 D可能重合4正方形在仿射变换下变成（ B ）A正方形 B平行四边形 C菱形 D矩形5正方形的下列性质中哪些是仿射的( 1，4 )（1）对边平行； （2）四角相等；（3）四边相等；（4）对角线互相平分；（5）对角线互相垂直；（6）角被对角线平分；（7）对角线相等；（8）面积6在仿射对应下，哪些量不变？（ C，D ） A长度 B角度 C单比 D交比四、计算与证明题。1求出将点变成点的绕原点的旋转变换，再将所得的变换用于抛物线上。解：设所求的旋转变换为则 于是所求的旋转变换为 即将此变换用于所给的抛物线得。2 试确定仿射变换，使轴、轴的象分别为直线和，且点 的象为原点。解：所求变换的公式为 其中 则变成直线但由题设变成可知，与表示同一直线。所以 因此 同理 此处是参数。又因为点（1，1）的象为原点，于是，所以，所求变换的逆式为由此得出所求的仿射变换为3求出将点变成点的平移变换，在这个平移变换下，抛物线变成什么曲线？解：设所求的平移变换为将已知对应点的坐标代入上式得于是 所以所求的平移变换为 即 将此变换用于所给的抛物线上即4求仿射变换的二重直线。 解： 设所求的不变直线为 （不同时为0）即在所给的变换下，对应因为 所以 消去得展开化简得解得由于当时，因此不对应不变直线，分别将代入（1），（2），（3）得 和 所以不变直线为 和 5证明，直线将两点与的连线段分成的比是。6求证：相交于影消线的二直线必射影成两平行线。 证明： 设二直线和交于点，点在影消线上，和经射影对应，对应直线为和，则点对应无穷远点。由于射影对应保持结合性不变，所以的对应点是和的交点，即无穷远点，也就是。二一、填空题。1设共线三点，则 2 2如果两个向量线性相关，则它们的位置关系是（ 共线或平行 ），夹角为（ ）。3空间中三个向量线性相关当且仅当它们（ 共面 ），空间中的四个向量一定（ 线性相关 ）4设与是两个非零向量，若与线性相关，则。 5已知向量，则与之间的内积。二、选择题。1下列性质或量中哪些是仿射的( 1，3，4，8 )（1）线段的中点； （2）角的平分线；（3）交比； （4）点偶的调和共轭性（5）角度 （6）三角形的面积（7）两相交线段的比（8）两平行线段的比（9）对称轴 （10）对称中心2设与是两个非零向量，若，则（ B ）。与平行 与垂直 与线性相关 与的夹角为3设与是两个非零向量，则下列结论正确的是（ A ）。 4下列说法错误的是（ B，C ）A平面上两个向量线性无关当且仅当它们不共线；B平面上两个向量线性无关当且仅当它们垂直C平面上两个向量线性无关当且仅当它们平行 D平面上的三个向量一定线性相关5设与是两个非零向量，若，则（A，C ）与平行 与交角为锐角。与线性相关 与的夹角为三、计算与证明题。1设平面上的点变换和分别由和表示，求 ； 。解：（）即（）若求，只需从中求出x,y即可。所以（），即（）若求，只需从中求出即可，所以2求线坐标所表示的直线方程。解：表示直线或3求线坐标所表示的直线方程。解：表示直线或4求线坐标所表示的直线方程。解： 表示直线或5求线坐标所表示的直线方程。解：表示直线或6试用向量法证明：等腰三角形的中线垂直于底边。 证明：设为等腰三角形，记，则，并设中线，见图上式两端同做内积，得，根据已知条件，即，所以，即。7证明：使向量内积不变的仿射变换是正交变换。证明：设在使二向量内积不变的仿射变换下，点变成点，点变成点，则所以（表示两点间的距离）。由于这个变换保持两点间的距离不变，因此它是正交变换8试用向量法证明：半圆的圆周角是直角。证明：设为半圆的圆心，为直径，为半圆上任意一点，见图，要证明，取，则，设，由于都是圆的半径，所以，由图有所以，即9若存在，求下列各点的非齐次坐标 。解：存在，设，则这个点的非齐次坐标为。不存在，因为无穷远点没有非齐次坐标。10若存在，求下列各点的非齐次坐标， 。解：