计量经济模型与经济预测

计量经济模型与经济预测,（美）丹尼尔L等著,学习要求：一、参考著作及文献:1、计量经济学基础上册【美】达摩达尔N古扎拉蒂/著。2、经济计量分析【美】威廉H格林/著。3、计量经济学基础张晓峒/著。4、计量经济学方法和应用李子奈/著。5、计量经济学张寿等/著。6、经济研究、统计研究、数量经济技术及应用等杂志。二、课时40。三、考核方式：期末闭卷考试、完成学习要求（作业、论文撰写、读文献）。,表3、学生的平均成绩和家庭收入,例3.1学生平均成绩,平均成绩Y与家庭收入X之间的关系估计为：,学生平均成绩的计算,确定S2的计算如上表所示。在此例中，回归标准差s等于0.33，代表平均成绩均值的11%（s与因变量均值的比值越低，回归直线对数据拟合得就越好）。由于x2i=162,容易计算的标准差为,为了对学生平均成绩例题中斜率的参数估计进行检验，可以用例31最初讨论中的计算结果。先选择显著性水平如5%，然后找到自由度为6（共有8个观测值，2个被估计参数）、相对于概率为0.05的t分布的临界值，即tc2.447，则斜率参数估计的95%的置信区间为：,例3.1（接上例）学生平均成绩,我们发现0在的95%的置信区间之外，因此可以5%的显著性水平拒绝0的原假设。同样，计算出的t值（4.6）大于临界值2.45，因此也拒绝原假设。,希望建立一个一元线性模型来解释总消费支出C的值（单位：十亿美元，已经经过季节调整）。采用个人可支配总收入Y（单位：十亿美元，经过季节调整）作为解释变量。用1959年第一季度到1993年第二季度的季度数据用C对Y进行回归，有如下结论（括号中是标准差）,C27.530.93Y(4.45)(0.0018),例3.2消费支出,截距27.53在5%的水平上显著（t统计值为6.18（27.53/4.45）。可支配收入系数的t统计值为517（0.93/0.0018）,很明显要拒绝斜率为0的原假设，而选择斜率不为0的备择假设。对原假设的拒绝使我们可以接受至少是暂时接受一元线性回归模型。进一步研究也许会发现比上述模型更好的总消费支出模型。,研究汽车零售额（因变量）和收入总水平（自变量）之间的关系。认为较高的收入水平会引起汽车零售额的增长。下面是一个零售额对收入的回归，采用季度时间序列数据。估计方程为：SWS取1959年第1季度1995年第2季度的汽车零售额（单位：十亿美元），W是同时期的季度工资（以十亿美元为单位）。拟合回归直线如下式所列，括号中为t统计值。,例3.3汽车零售额,常数项为正，说明若某季度没有工资收入，人们仍然会购买汽车。工资变量的系数可解释为每增加十亿美元的工资会导致汽车销售额增长0.308亿美元。（这个模型可用于在已知未来工资水平下，预测汽车未来的销售水平）。注意，斜率系数经常被看作是自变量的微小变动所引起的因变量的变化量（实际上在线性模型中，适于所有的W）。,系数的估计不是无量纲的，它们的值直接与因变量S（以十亿美元为单位）和自变量W（以十亿美元为单位）的度量单位有关。在括号中写出t统计值而不是标准差的估计。用t统计量可在1%以及5%的显著性水平上分别拒绝截距与斜率为0的原假设。R2为0.91说明回归方程解释了因变量总变差的91%。F统计量为1378可以拒绝汽车零售额与工资没有关系的原假设（在1%的水平下）。,尽管t统计量使之拒绝了原假设，去掉显著的截距项降低了方程解释功能。还是采用带有截距项的回归方程。只有在有充分理由认为方程通过原点时，才能够让截距等于0。,尽管已经拒绝了截距为零的原假设，但是如果有充分的理由相信汽车零售额与工资的关系图应该通过原点，那么进行一次无截距的回归，用同样的样本回归结果如下：,例3.4学生平均成绩问题,统计量值：R20.78F1.621.57,家庭收入变量可以解释学生平均成绩变差的78%。用F统计量对学生平均成绩与家庭收入之间没有关系的原假设进行检验。以显著性水平为5%以及分子和分母自由度分别为1和6的F分布表来确定临界值（分子的自由度为1是因为模型只包含1个解释变量，而分母的自由度为6是因为有8个观测值和2个需要估计的参数），此例中，显著性水平为5%的F分布的临界值为5.99。计算出的F值为21.57，大于临界值，故以5%的显著性水平拒绝原假设。,前面描述的2个变量，分别是美国各州高等教育中每千人注册进入公立（PUBLIC）和私立（PRIVATE）学校人数的水平。私立学校注册人数高的州与注册人数低的州相比，其公共教育系统的发展不如后者快。下列截面回归可以说明这个关系，回归模型是50个州公立入学人数对私立入学人数的回归：,PUBLIC43.970.444PRIVATER20.20F12.04(25.80)(-3.47),例3.5公立和私立学校的入学人数,公立和私立注册人数之间有一个统计上显著的负相关关系。这个回归方程说明一个州的私立注册人数每增长1个单位（每千人）该公立注册人数就下降半个。单位。t统计值为3.47及F统计值为12.04都说明负的PRIVATE的系数与0在5%的显著性水平下有显著差别。为评价一元回归模型的有效性，下图画出了残差的直方图。由于最小二乘的残差和等于0，残差以0为中心是很自然的。但其他与残差的分布有关的属性也能说明很多信息。它们包括以下几项：,中位数0.63最小值15.4最大值19.6标准差7.31偏度0.21峰度2.79Jarque-Bera0.47,0,2,4,6,8,10,12,-10,0,10,20,每千人中公立学校注册人数的均值为39.3，从这个角度看，残差由15.419.6是相当高的，再加上比较高的标准差，因此R2值比较低，仅为20%。建立一个解释公立学校注册人数的模型还有很大的改进余地。误差服从正态分布这一假设是否合理？残差的形式提供了有用的信息。中位数0.63及偏度0.21说明分布的右侧尾端比较粗，比左侧尾端具有更多的观测值，峰度2.79稍低于3.00，说明分布的尾端比正态分布稍细。最后，Jarque-Bera统计量0.47大大小于自由度为2的2分布的临界值5.99因此我们不能拒绝残差为正态分布的原假设，从而可以下结论说，前面的t检验和F检验是有意义的。,例4.1汽车销售额,为了用单方程模型来预测各季度汽车销售额，可以用3个解释变量。一般认为销售额与可支配收入正相关，但与贷款购车的成本负相关，因此模型需要以下的数据：,S各季度个人新车消费，以十亿美元当前价值为单位YP各季度个人收入，以十亿美元当前价值为单位R3个月国债年利率CPI各季度消费价格指数（1983100）,销售额、收入和利率变量用CPI进行减值以反映真实情况（即SRS/CPI，YPRYP/CPI，RRR/CPI）。要估计的方程为SRt12YPRt3RRtt用从1975年1995年第二季度的数据，估计回归式为：,SRt0.600.0070YPRt1.366RRt,系数说明：在其他变量不变的情况下，实际可支配收入每增加10亿美元，将使实际汽车销售额增加700万美元。同样，利率上升一个百分点，在下一季度汽车销售额将下降13.66亿美元。,例4.1（接上例）汽车销售额,在前面汽车销售额的例子中，完整的回归结果如下：,变量数；3（包括常数项）；观测值个数82；自由度79；R20.42；F（2，79）F2，7928.1；回归标准差（s）0.118；误差平方和ESS1.105,由于t统计量的绝对值都大于或等于1.98，即所有系数的估计都在5%的水平上显著（利率变量接近显著）。因此，不应从回归模型中去掉任何变量。由于模型的自由度很大，可以想见，R2和的值很接近。自由度为2和79的F统计量高度显著，故拒绝解释变量的系数全为0的原假设。,例4.2利率,在这个例子中用最小二乘法估计一个模型，来解释1960年1月1995年8月间的月利率的变动。利率被认为是由流动资产的总需求和总供给决定的。回归模型中包含的变量如下：,R3月期美国国债利率，为年利率的某一百分比IP联邦储备委员会的工业生产指数（1987100）M2名义货币供给，以十亿美元为单位PW所有商品的生产价格指数（1982100）,工业生产指数是衡量流动资产需求的一个很有用的量；一般认为生产的增长将意味着需求的增长，需求的增长会引起利率的提高。货币供给很明显应放入模型，因为引起货币供给变化的联邦储备政策直接影响利率。同样的情况适用于价格的变化，因为通货膨胀率的上升将引起利率的上升。,用于回归模型的货币与价格变量是GM2t（M2tM2t1）/M2t1；GPWt（PWtPWt1）/PWt1；估计的方程是（括号中为t统计值）,（2.20）（8.79）（3.89）（6.00）,R20.22s2.481,和预想的一样，工业生产对利率有很强的显著的正的影响。具有一个月滞后期的通货膨胀变量也具有正的符号，而且也是显著的。但是，货币增长变量GM的正号地与我们的预期相反。更进一步的问题是相对较低的R2和相对较高的回归模型标准差。标准差2.481约为均值的40%，这个比例在这类宏观经济模型中是很高的。,例4.3消费函数,可以用三个方程来说明对简单总消费函数进行估计时出现的一些经济计量问题。这些方程包含个人消费（C），储蓄（S）和可支配个人收入（Y）。三个模型如下（采用1954年第1季度1995年第2季度的季度数据，按美元的当前值计算）：,Ct11Yt1tCt22Yt2Ct12tSt33Yt3tStYtCt,回归结果如下表所列：,模型是消费函数最简单的形式，其中消费量仅依赖于同时期可支配收入。可支配收入变量的系数度量了消费的边际倾向。在模型中增加了前期消费对当前消费的作用。引入前期消费项使当前消费依赖于近期的消费行为和收入。模型可支配收入项系数的解释与模型的不同。模型中可支配收入系数0.18表示，在前期消费保持不变的假设下，可支配收入变化一个单位所引起的当前消费的变化量。注意可支配收入对消费的总影响将随时间的推移发生作用，而且只能在消费长期不变的假设下通过计算长期边际消费倾向来衡量。解CtCt1，我们发现模型中隐含的长期边际消费偏好为：0.18/（10.18）0.95。,注意模型中的R2比模型中略高。由于模型中的R2已经很高了，所以人们或许会认为增加变量不大会增加的解释能力了。但是模型中滞后消费的t统计量显著，说明情况并非如此。模型是一个储蓄函数，不是消费函数。但是简单查看一下回归结果，可知两者密切相关。这并不奇怪，因为储蓄是可支配收入和消费的差。注意系数估计之间的关系十分密切。,模型和模型的截距仅是符号不同，而且斜率系数之和等于1。将模型中的St用YtCt替换，且与模型的结果相比较，就会发现结果为什么会如此。另外，两个模型的回归平方和、回归标准差以及残差均相等。一开始令人奇怪的是从模型到模型的R2减小很多。减小的原因可以从R21ESS/TSS看出。由于两个方程残差相等，残差平方和也相等。但是由于因变量的不同，总偏差平方和不同。所以，模型几乎在所有方面都一样，但R2有很大的不同。,例4.4黑市足球票价格,在1978到1979赛季亚拉巴马大学足球队正为争夺全国冠军而努力。平价的赛季球票已售完，黑市球票的市场慢慢活跃起来。亚拉巴马与许多其他州不同，重新出售体育比赛的票是合法的。这个时期每张球票的标价是10美元，但是根据没有赛季球票的人对球票的需求和有赛季球票的人重新出售球票的供给量的变化，实际价格波动很大。用两个赛季共22场比赛重新出售球票的平均价格对一些需求和供给变量进行回归。,黑市球票方程是：Pi12SECi3TVi4RANKi5LWINi6WINi7HOMEii,其中P黑市球票平均价格1；如果对手是亚拉巴马东南联合会的成员SEC0；如果不是1；如果电视台转播比赛TV0；如果不转播RANK亚拉巴马大学上周在全国足球排行榜的名次LWIN对手上一年的赢输比例WIN对手当年的赢输比例1；如果是主场比赛HOME0；如果不是,包括一般和标准化系数的回归结果列表如下：,第二列中系数表明了每个自变量一个单位的变化对因变量的影响。从自变量对确定黑市票价的重要性来看，第三列的标准化系数更适用于这个目的。确定黑市票价最重要的决定因素是对手在上一季的赢输比例（它的标准化系数在所有自变量中是最高的），即对手成绩越好，票价越高。其余变量也具有预期的符号。从重要性的顺序来看，亚拉巴马大学的排名越高，球票价格越贵（排名高意味着RANK变量的值低），电视转播降低了球票价格（因为观众可以在家观看比赛），东南联合会成员间的比赛比非成员比赛的票价贵，主场比赛比客场比赛的票价贵，对手当年的成绩越好，球票价格越贵。,例4.5耐用商品的销售额,用线性回归模型预测每月耐用商品的销售额，样本数据：从1967年7月1995年8月。1.因变量SD耐用商品的每月零售额（以百万美元为单位）2.自变量DI百货商店耐用商品的零售库存（以百万美元为单位）IS零售店所有耐用商品库存销售比例I头6个月商业报告中开放市场的比例（百分比）E工人的平均小时总收入（以美元为单位）P耐用商品的消费价格指数（1983100）,回归方程确认为：SDt12DIt-63ISt-14It-15Et-16Pt-1t,回归结果如下：,所有的自变量至少有一个时间段的滞后，这是因为反应需要一定的滞后，同时使预测容易一些。如果需要预测时刻t的耐用商品月零售额，只需用回归方程即可。,SDt226320.415DIt-612716ISt-1120.5It-11530Et-17.46Pt-1t,为了估计SD在时刻t1的值，只需代入6个月前的DI值，1个月前的IS值等等。如果自变量没有滞后，在预测因变量之前就需要用一些外推过程来对它们的值进行预测。这里t统计量绝对值最大的自变量系数具有最大的标准化系数和偏相关系数。滞后收入的标准化系数0.21意味着前期收入增加1个标准差将引起耐用商品的零售额增加0.21个标准差。收入变量的偏相关系数0.31意味着SD的方差中不能被其他自变量解释的部分中有9.4%（0.312）可以被滞后收入解释。弹性系数表明，耐用商品的零售额对工人总收入的变化很敏感，但对耐用商品的消费价格指数不敏感。如果收入增长1%，零售额的增长略多于0.3%。如果耐用商品的消费价格指数增长1%，零售额只下降约0.02%。,例5.1信贷行业的费用函数,了解信贷行业中的收益与业务规模之间关系对于法规制定者来说是十分重要的，因为他们需要决定并购或者接管是否合乎大众的利益，这一点对于需要对经营的有效规模作出内部决定的经理人也是十分重要的。无论是哪种情况，费用函数的经验估计都会是十分有用的。输出Q是每一信贷机构的总资产（百万美元）。平均年经营支出（百万美元）占总资产的百分比作为长期平均经营支出LAC。用86个信贷机构的数据得到以下回归关系：,LAC2380.615Q0.00054Q2,LAC的拟合函数呈U字形，并且在信贷机构的总资产达到5.69亿美元时达到最小值。由于大多数信贷机构的总资产都远远小于5.69亿美元，费用函数的分析说明信贷机构应当通过成长或并购得到发展。,例5.2葡萄酒价格预测,对新葡萄酒质量的评价过去一直是由葡萄酒品尝专家来完成的，而近来一系列关于葡萄酒价格的经济计量分析大大动摇了这一做法的传统地位。这些研究显示，任何一年葡萄酒的未来价格可以用天气情况来预测。一个非常有趣的研究是关于法国Bordeaux地区各葡萄种植园的葡萄酒价格的研究。用同一葡萄种植园但不同时间的葡萄酿造的葡萄酒的市场价格变化会非常大，这一点在葡萄酒行业中是大家都知道的常识。例如，用60年代各年Lafitte种植园的葡萄酿造的一打啤酒在19901991年伦敦拍卖会上的价格从1968年葡萄酒的最低价223美元到1961年的最高价4335美元之间变化。引起价格变化的原因有两,个，其一是葡萄酒在投入市场之前保存时间越长，就会要求越高的经济回报（价格越高），因为这样才能反映出保存期长的机会成本。原因之二是造酒所用的葡萄具有非常不同的质量，而葡萄的质量与天气有很密切的关系。OrleyAshenfelter和他的同事们在他们的一项计量经济学方面的研究中，研究了1952年1980年间10批用6个葡萄种植场的葡萄酿造的60种不同的葡萄酒的价格，其统计结论支持以上的两个说法。他们用12瓶（一打）葡萄酒价格的自然对数作为被解释变量（PRICE），并对常数项（没有明确写出）、葡萄酒年数（AGE）、葡萄生长期的平均气温（TEMP），8、9月份的降雨量（RAIN），以及葡萄生长期前一,年10月到第二年3月的降雨量（WRAINi）进行截面回归，得到以下结果（括号里是标准误差）：,PRICEi0.0240AGEi0.608TEMPi0.0038RAINi（0.0075）(0.116)(0.00095)0.00115WRINi(0.00051)R20.828s0.287,用显著性水平0.05对回归参数进行t检验，每一个自变量与其他自变量之间的相关程度都不高，因此不存在多重共线问题。年数AGE的系数是长期保存Boreaux葡萄酒回报的度量：每多保留一年，酒的价格便会增加2.4%。气温系数的符号正如葡萄酒专家所预,料的：在其他条件不变的情况下，气温越高收获的葡萄质量越好。气温变量TEMP还反映气温的另一个现象：收获季节前夕的温暖气温对于当年葡萄质量特别重要。最后，生长期前的降雨量对于葡萄质量也有显著的正面作用，而收获期前夕的降雨量对葡萄质量有很显著的反面作用。围绕酿酒厂使用回归分析预测葡萄酒价格有一些争议，因为酒的质量在葡萄收获之前就能够预测，因此，在被实际品尝之前，酒的质量就已经预测出来了。葡萄酒评论家罗伯特.帕克把这种评酒的方法称做“古人的评酒法”，他的说法并不奇怪。计量经济们都知道，任何不完全拟合的回归模型都会产生出许多高于或低于实际值的预测值。,例5.3工资差别,用美国统计局的“当前人口调查”中的截面数据研究男女工资有没有差别，用到的变量有：,W雇员的工资率（美元/小时）1；若；雇员为妇女SEX0；其他ED受教育的年数AGE雇员的年龄1；若雇员不是西班牙裔也不是白人NONWH0；其他1；若雇员西班牙裔HISP0；其他,对206名雇员的样本进行的回归结果为（括号内是t统计量的值）：,反映雇员性别的虚拟变量SEX在显著性水平5%下显著。因为工资率的总平均是W=9.60美元，该虚拟变量告诉我们，妇女的平均工资率=9.60-2.73=6.87美元，或比总平均低2.73美元。在模型中加入年龄AGE和受教育年数ED以及各族或民族，性别虚拟变量仍然是显著的：,尽管受教育年数和年龄对于工资率来说都是显著的决定因素：但是男女的差别在统计上也还是显著的。最后还注意到，在回归模型中考虑年龄AGE与工资率W之间非线性关系的可能性时，男女差别还是显著存在的。这一点可以由以一回归结果看出：,年龄AGE项告诉我们，在其他条件不变的情况下，雇员的工资率随着他们的年龄增长而增加（系数为0.62），但是增加的速度越来越慢（0.0063）。工资率在雇员的年龄为49.2岁时达到最大，之后逐年下降。只需令dW/dAGE=0即得AGE=49.2,例5.4定期存款,估计预测模型：以月计算的公众持有的可转让定期存款（CD）总量的方程。方程是一个需求关系，可以预想被解释变量依赖于全部个人财富、以及其中的部分财富用来以定期存款的形式投资所能获得的利息。因此，选择定期存款的基本利率（RCDP）作为一个解释变量。但是，定期存款肯定会和其他可以获得利息的资产相竞争，比如国库债券和企业债券，因此国库债券的利率（RTB）和企业债券的利率（RBaa）也是解释变量，当这些变量的值增加时，定期存款总量就会下降。将所有这些利率乘上个人收入（PI），其中个人收入用来代表个人财富。,企业债券利率与主要商业证券利率的差也是一个解释变量，其代表长期利率与短期利率的差异；当这个差异增加时，长期投资（如定期存款）就变得比较有吸引力。由于定期存款总量以及其他许多金融变量都肯定受季节因素的影响，为了尽量解释这种季节因素的影响，引进一组季节虚拟变量，这组季节变量（记为S3）采用月份虚拟变量乘以个人收入的形式。因为第一个季节虚拟变量在一月份取值1，在其他月份取值0，第一个季节变量在一月份取值为一月份的个人收入。模型中有12个这样季节变量，为了消除多重共线问题，模型中没有包含常数项。模型的最小二乘估计结果如下（括号中是t统计量的值）：,CDt0.72947CDt-1(0.00150RTBt)(PIt)(0.00225(14.61)(2.667)(6.903)RCDPt)(PIt)(0.00128RBaat)(PIt)(2.453)0.00154(RaaatRCPt)(PIt)S3t(2.929)R20.9995S3t季节系数PI,季节系数,所有的季节系数在5%显著性水平下全部显著，说明季节变化因素对定期存款总量的影响很重要。分析结果表明，从8月到1月是公众的定期存款量较高的月份，而2月到7月是公众定期存款量较少的月份。,例5.5住房需求,为了研究住房需求，用以下回归模型：logQ12logP3logY其中Q3120个家庭中的任何一个家庭每年所需要的住房面积平方英尺数P家庭所在地住房的单位价格Y家庭收入该回归模型的估计为（括号中是标准误差）：,logQ4.170.247logP0.96logYR20.371(0.11)(0.017)(0.026),结果说明需求有一个0.247的价格弹性系数，以及0.96的收入弹性系数。这两个弹性系数都显著地不为零，因为它们的t值的绝对值分别约为14和37。然而，值得研究的是收入弹性系数0.96是否显著地不为1。正确的检验统计量是,t分布在5%的显著性水平下的临界值为1.96，故不能拒绝需求的收入弹性是1的原假设。,现在，假设希望知道黑人对住房的需求是否与白人的住房需求有所不同。为此，把原模型推广一下，允许不同的斜率和截距。设D为一个虚拟变量，对于黑人家庭取值1，否则取值0。推广的模型为logQ11D2logP2DlogP3logY3DlogY对这个模型进行估计，得到以下结果,logQ4.170.221logP0.920logY0.006D(0.11)(0.02)(0.031)(0.042)0.114DlogP0.341DlogYR20.380(0.061)(0.120),对包括虚拟变量项在内的系数进行逐个t检验，表明第一个系数不显著,t=0.143（在5%的显著性水平下），第二个系数勉强不显著,t=-1.87。第三个显著，t=2.84。现检验所有虚拟变量的系数同时为零的原假设，即H。1230由于信息都包含在R2中，可应用以下公式,用上式中的记号，R2UR0.380，R2R0.371，N3120，k6，q3，相应的F统计量为,这个值超过了F分布在显著性水平为1%和5%的临界值，因此拒绝黑人和白人的住房需求完全一样的原假设。注意，对于充分大的样本数据集，R2的增加不需要太大就足以使我们拒绝子集中所有系数全相等的原假设。,例5.6住房需求,假设对例5.5中无条件模型进行了估计之后（R20.380），希望对黑人住房需求的收入弹性系数为1的原假设进行检验。在原假设为真的条件下，331。将313代入推广了的模型，并经过整理，得到如下的有条件模型：logQDlogY11D2logP2DlogP3（logYDlogY）这个（有一个限制条件的）有条件模型的R2为0.3785。由式（5-21），相应的F统计量的值为,因为F大于显著性水平为5%的临界值，故拒绝原假设,例5.7住房需求,假设认为住房需求模型最好由两个方程组成，一个描述黑人的住房需求，另一个描述白人的住房需求。这个模型可以写成：,现希望对黑人需求方程的系数等于白人需求方程的系数的原假设进行检验。这个原假设是联合假设：H。112233,对假设进行检验，首先对模型进行估计，将每个方程的误差平方和相加，得到ESSUR13640。现在，假设原假设为真，则模型为：logQ12logP3logY所有家庭对这个模型进行估计，得到它的误差平方和ESSR13838。由于限制条件个数R3，又R=K，故自由度NM2k312063114，因此相应的具有3个限制条件以及自由度为3114的F统计量的值为,F统计量的值大于显著性水平5%的F临界值，拒绝原假设。既假设系数全相等是不正确的。,例6.1住房支出,这个例子里，考虑对由四组家庭住房支出和年收入组成的截面数据的研究：,假设住房支出模型为：YiXi其中Yi是住房支出，Xi是收入。普通最小二乘回归估计法得出如下回归估计结果（括号内是t统计值）：,对数据图形的研究以及以前有关支出的研究结果都说明这个模型具有异方差现象。对住房支出模型进行异方差修正，然后进行估计。变换后的模型为：,其回归结果为：,注意，修改后关于收入的回归系数的估计值为0.249，比原来普通最小二乘估计有所增加。正如我们所预料的，t统计量和F统计量的正确使用仍能是使我们得出结论：在5%的显著性水平下所有回归系数都是显著的。注意到加权最小二乘估计法的R2比不加权的R2小。R2的减小不应被视为异方差修正不正确的理由，因为加权最小二乘法用的是变换后的因变量。,因此R2不能作为原模型拟合优度的度量。可以用原模型以及参数的有效估计计算出的回归残差,得到更好的度量。对于似合优度的度量，我们现在有两个选择。第一，我们可以用标准的R2公式计算1ESS/TSS。这个R2不一定总在0，1之间。为此我们建议采用第二种选择：用参数的有效估计来估计拟合值i0.75290.249Xi，然后采用Yi与i间的简单相关系数作为拟合优度的度量。在我们这个例子中，两种选择的似合优度度量都是0.92。,例6.2戈德菲尔德-昆茨检验,可以对前面住房支出例子采用戈德菲尔德-昆茨检验。将数据分成两个样本，第一个包含收入为5000美元和10000美元的家庭，第二人包含收入更高的家庭（15000和20000美元）。因为不省略任何中间观测数据也存在着一个自然的划分，就不省略任何中间的观测了。以下是两个回归方程的分析结果（括号内是t统计值，单位：美元）：,.低收入家庭：Yi0.6000.276XiR20.94ESS10.300(3.1)(11.3).高收入家庭：Yi1.540.20XiR20.55ESS22.024(1.4)(3.1)用来检验同方差假设的F统计值为ESS2/ESS16.7。在原假设为真的条件下，它服从分子、分母自由度均为8的F分布。查表得显著性水平为5%的F分布的临界值为3.44，故拒绝原假设，接受异方差存在的备择假设。,例6.3布莱驰-帕根检验和怀特检验,把布莱驰-帕根检验和怀特检验都应用于住房支出的例子（例6.1）。无论用哪种检验，我们都假设异方差的形式为2iXi为了应用布莱驰-帕根检验，用Y对X进行回归，并计算回归的残差。得将标准化残差对X进行回归，得,其回归平方和（可以用R2和误差平方和计算）等于13.732。检验的统计量为RSS/26.866,它服从自由度为1的2分布。由于在5%的显著性水平下，2分布的临界值是3.84，拒绝同方差的原假设，认为存在异方差。怀特检验：残差回归的R20.36。因此，检验的统计量为20（R2）7.20它服从自由度为1的2分布。（因为7.203.84），这里再次拒绝同方差的原假设。,注意：怀特检验（或布莱驰-帕根检验）能被应用于X的几乎任何形式。如果采用二次函数形式，计算关于X和X2回归的残差平方和，得到以下结果,这个回归方程的R2为0.4130，检验的统计值为20（R2）8.260它服从自由度为2的2分布。自由度为2的2分布的临界值为5.99。与前面的结论一样，（因为8.265.99）我们拒绝同方差的原假设。,例6.4异方差的修正,一般认为各年的能源消耗会随人口和收入的增加而增加，但是在其他条件不变的情况下，它会随着能源价格的增加而减少。采用1960年1985年的年度时间序列数据，用以下的变量进行OLS估计Q能源输出量夸脱（1015BTU）的对数YEAR1960年取值1，1985年取值26P1夸脱能源价格（按1975年美元价值计算）的对数INC家庭收入（按1975年美元价值计算）的对数,回归的结果为（括号内是t统计值）,所有的参数的正负号都符合经济学要求，回归方程的拟合程度也很高。然而，当能源消耗增加时，误差项方差有可能会随着时间而增加。现假设误差项的方差直接依赖于年份，并采用布莱驰-帕根检验法来检验是否存在着异方差。特别地，我们用残差的平方作为因变量（ESQ），得到下列拟合回归公式：,计算检验统计值为260.165=4.28，大于自由度为1的2分布在5%的显著性水平下的临界值（临界值为3.84），因此拒绝同方差的原假设。为了改进有效性，用加权最小二乘法重新进行回归。从上面的回归结果选择权重，既用回归估计值平方根的倒数为每一个观测值加权。加权最小二乘估计的结果如下：,这些结果与先前得到的非常类似，然而统计显著的系数个数比以前多了，最重要的是，用来计算系数是否显著的标准误差是正确的。最后，注意到R2比不加权时有所下降，这一点是可能发生的。,例6.5烟煤,假如用钢铁生产指数（FIS），电力生产指数（FEU），煤炭批发价格指数（PCOAL），以及天然气批发价格指数（PGAS）的函数来解释烟煤的需求量。烟煤的需求量经过了季节调整，然后用调整后的序列数据对上述解释变量做线性回归。这个时间序列是从1965年1月1972年12月的月度数据。最初的回归结果如下（括号内是t统计值）：,虽然所有的t统计值都很显著，但是DW值很小，表明在残差项中可能存在着正序列相关。为了对一阶正序列相关进行修正，采用Hildreth-Lu方法。即用不同的值进行一系列回归分析。下面的表格列出了网络搜索的过程：,最后选定的值为0.6，令0.6，进行自回归变换后的回归结果为：,其中COAL*COAL0.6COAL1FEU*FEU0.6FEU1FIS*FIS0.6FIS1PGAS*PGAS0.6PGAS1PCOAL*PCOAL0.6PCOAL1DW=2.07DW值比原回归估计中的DW值大了很多，并且在5%的显著性水平下，所有的回归参数仍然都是显著的。,例6.6利率,在这个例子中，重新考虑（见例4-2，P55）用工业生产（IPt），倾向供给量增长率（GM2t），以及通货膨胀率（GPWt）的函数来解释国债利率Rt的变化这样一个单方程模型的估计。方程的估计为（括号内是t统计值）：,0.18的DW值显示较强的正序列相关。从下图中也可以看出，回归残差高度序列相关。某一时期的残差若是正（负）的，则下一时期的残差有可能也是正（负）的。,为了改进模型，用Cochrane-Orcutt方法对利率方程重新进行估计，其结果如下：,这个方程的拟合程度比原方程强很多。T统计值有所下降，但是它们都是正确且有效的估计，最后注意到1.64的DW值比2还是小很多，表明残差间可能存在着形式更为复杂的相关关系。,例6.7总消费,前面曾经对一个简单的动态形式的总消费函数进行过估计，其中当前消费C是季度滞后消费C1和当前可支配收入YD的函数。（采用1959年第一季度1995年第三季度的数据）。最小二乘估计方程如下（括号内是标准误差）：Ct1.880.086YDt0.9114Ct1DW1.596(4.69)(0.028)(0.0304)R20.999,只能用Durbinh检验法检验序列相关性。由于滞后因变量系数的标准误差是0.0304，DW1.569，T147，计算得,因为2.79大于显著性水平为0.05的分布的临界值，故拒绝不存在序列相关的原假设。对动态函数序列相关性做修正与前面的方法一致。,例7.1货币需求量,在对货币长期需求和短期需求的研究中,GregoryChaw对下列需求方程进行了估计(括号内是标准误差,所有的数据都是季度数据):（0.148)(0.13897)(0.0540其中全部货币储备量的自然对数-永久性收入的自然对数-当前收入的自然对数-利率的自然对数因为Chaw估计的是货币长期需求的方程,他认为作为个人资产的长期限制条件,永久性收入比当前收入更重要(变量不显著,而变量却非常显著).不过,有人认为这个估计方程事实上是货币长期需求正确方程的一个错误确认.泰勒和纽豪斯认为正确的模型应当是:,其中是对、和的辅助回归方程的系数。如果变量无法得到，就得推测由此带来的确认偏差的程度.不过，在目前的这个例子中，可以得到。由于已知和高度相关，并且会比较大，换句话说，确认错误夸大了永久性收入的重要性。对正确确认的模型进行估计时，这一猜测得到了证实，其结果为(0.14284)(0.0940)(0.0597)(0.0669),的系数是正的，而且在5%的显著性水平下显著。而的系数也是正的，但在同样的显著性水平下不显著。因此，原来的结论应该改为在解释货币的长期需求时，当前收入比永久性收入更重要。,例7.2空气污染和犯罪率对房产价值的影响,在一项房地产价值的研究中，哈里森和鲁宾费尔德采用波士顿市506份调查表，研究各区域的生活质量和房地产价值之间的关系。线性回归模型将房主居住住房中间价值的对数(LMV)与若干变量(包括常数项共有14个变量)相联系,这些变量反映了该地区住房的质量,该地区到附近工作中心的便利程度,以及该区域的生活质量.在这个例子中，着重研究引入的两个变量：氧化氮含量的平方NOXSQ和人均犯罪率CRIM。,回归方程估计中有关的部分是（括号内是t统计值）：因为有506个观测，列出全部学生氏残差大于1.96或DFBETAS绝对值大于2/N0.5的观测需要很得篇幅，所以，在表7-1中列出了超过下列有说服力的分界值的28个调查表的回归诊断值：学生氏残差=2.5,(65.23),(-5.64)(-9.53),表7.1对挑选出的调查表的回归诊断见P119绝对值超过2.5的18个残差中，372和373两个调查表的最大，t值分别为4.51和4.16。有18/5063.55%，或大于3%的残差具有t值大于2.5的事实说明误差服从正态分布的假设可能不成立。如果误差是正态分布的，只有1.24%的误差与期望值差的绝对值会大于2.5。对DFBETAS，调查表381对变量CRIM的DFBETAS最高，从506个调查表中去掉第381个调查表会使CRIM的系数减小1.59个标准差。检查数据发现不存在在抄写错误错误，但是美国犯罪数据不准确较高，所以CRIM系数对一些特殊数据点敏感是不足为奇的。,但在最初的房地产价值研究中，感兴趣的是NOXSQ的系数。第381个调查表对于NOXSQ系数没有什么特别的影响，虽然有一些数据点的DFBETAS超过了分界值，最高的(-0.38，第413个调查表)也没有大到需要特别关注的地步。总之，上述回归诊断提示我们，误差可能不是正态分布的，因此有些系数的显著性很可能被夸大了。存在着若干具有特别影响力的数据点，以此过分依赖CRIM系数是很危险的。不过，NOXSQ的系数对单个数据点不那么敏感，因此是两个变量中比较可靠的一个。,例7.3检验公共开支模型中的测量误差,美国各州和地方开支(EXP)随州的地区的不同差异很大。与开支有关的重要解释变量有：联邦政府的拨款量(AID)，各州收入(INC)和各州的人口数量(POP)。采用50个州的调查数据(见表6-2)，用普通最小二乘法对以EXP为因变量，AID、INC和POP为自变量的模型进行估计，得到下面的结果（括号内是t统计值）：(-0.56)(13.64)(8.12)(-5.71),变量AID很可能存在测量误差，州拨款计划中的拨款量是固定的，即便在州政府和地方政府提出预算之前，州拨款计划中的拨款量就能很容易的测量，而其他计划就不是固定的了，州政府和地方政府实际得到的拨款量是实际政府支出量的函数。因此，变量AID的这一部分会有严重的测量误差。现用豪斯曼确认检验来检验测量误差是否存在。为此，用小学和中学的在校学生人数(PS)作为工具变量(学校占州政府和地方政府支出中最大的部分，并且许多学校的资助计划都不是固定的)。检验分两步，第一步是将AID对PS回归，并且计算残差变量如下,(-1.28)(18.02)第二步，将项加入原回归模型，从而修正测量误差，得到回归公式为(-1.41)(1.94)(7.55)(-1.29)(1.73)因为1.731.96，在5%的显著性水平下，双侧检验接受不存在测量误差的原假设。不过，如果采,用单侧检验，或在10%的显著性水平下采用双侧检验，我们认为测量误差还是存在。不管怎么说，对测量误差可能性的修正还是将AID变量的系数减少了不少，说明测量误差引起了AID对公共开支的影响被夸大了。,例8.1学生平均分数预测,我们用8个学生的截面数据估计了平均分数（Y）与家庭收入（X）之间的线性关系。我们现在要在给定家庭收入的条件下，对不在样本中的学生预测他们的平均分数。估计的回归直线i1.3750.12Xi估计的误差方差s20.109N8,假设已知一些不在原样本中的学生的家庭收入，我们希望对他们的平均分进行预测，并计算置信区间。,表平均分数预测计算,从表中第一列我们看到，家庭收入13500美元即原样本的平均家庭收入对应的预测误差最小。我们有充分的信心认为这个学生真正的平均分数在2.13.9之间。95%的置信区间即使在最小预测误差点上仍然很宽，说明该平均分数模型的预测能力有限。更复杂的（包含更多解释变量的）模型和更多的观测可能会得出较小的预测区间。还应当注意到，预测误差不随家庭收入与平均值之差呈线性增长。事实上，最后一个学生（家庭收入为27500美元）的预测区间不仅很大而且不现实，因为平均分数4.675不属于原样本范围。,95%的置信区间带,X,Y,0,图模型的预测区间带,例8.2利率预测,我们用一个简单的回归模型对三个月的国库债券的利率进行预测。我们用的是例4-2的模型，该模型将三个月国库债券的利率（R）与下列变量相联系：工业生产指数（IP），广义货币供给增长速度M2（GM2t（M2tM2t-1）/M2t-1），以及滞后的批发价格通货膨胀率GPW(PWtPWt-1)/PWt-1，其中PW是所有商品的生产者价格指数。我们在例4-2中用1960年1月1995年8月的月度数据对该模型进行了估计。普通最小二乘估计的结果为,（2.20）（8.79）（3.89）（6.00）,R20.22s2.481DW0.18,我们现在要在1995年1月1996年2月的时间范围内，用这个方程对国库债券利率进行预测（注意这个预测超出估计时间范围6个月）。下图显示的是利率的预测值（实线）和原始数据序列（虚线）。注意到回归方程在事个预测时间范围内严重地高估了国库债券利率。,4,5,6,7,8,9,94:07,94:10,95:01,95:04,95:07,95:10,96:01,实际,预测,3个月国库债券利率预测,我们还要计算平均预测误差平方和平方根，Theil不相等系数以及它的各个成分。这些有且于对预测作出评价的统计值如下表所示：,Theil不相等系数的偏误比例非常大（约为97%），表明存在着很严重的系统误差（如上图所示），因此该模型的预测不太可能是可靠的。,例8.3利率预测,例8.2中的预测表现比较差，介是较小的杜宾瓦特森统计值表明问题可能出在误差项的序列相关。在例6.6中，我们对例4.2中的利率模型进行了一阶序列相关修正，新的回归方程（回归区间为1960年1月1995年8月）为,注意，序列相关系数的估计值接近于1。货币供给增长率的系数现在是负的（更加符合经济理论）并且非常显著。回归标准误差现在小了很多，杜宾瓦特森统计值是1.64,用这个新的回归方程对1995年1月1996年2月的利率再次进行预测，下图显示的是预测序列和实际序列。可以看由，现在的预测序列更加接近于实际序列，而且不再存在高估或低估的系统误差。下表列出的平均误差预测平方和平方根以及Theil不相等系数的各成分也表明预测的效果有所改进：,例9.1消费函数,在总消费函数建模时，假设当前的消费为当前和过去个人可支配收入以及利率的函数似乎是有道理的。我们期望在其他条件不变的情况下，较高的利率对应着较高的储蓄和较少的支出。如果我们将对和进行回归，将得到的较小的DW统计值，说明存在着一阶序列相关。因此，我们决定用一阶差分和多项式分布滞后模型估计总消费函数。用1950年一季度到1995年一季度的数据，估计模型其中-个人季度支出（十亿美元）,-可支配个人季度收入（十亿美元）-国库债券3个月平均日利率先用五步滞后三阶多项式无端点限制条件对模型进行估计，得到下面的回归结果（括号内是t统计值）可以对滞后系数作如下解释：当前季度可支配收入每增加十亿美元将带来第一季度的消费增加3.29亿美元，第二季度的消费增加2.47亿美元，第三季度的消费增加1.81亿美元，等等。利率与消费变化相反，但是其系数不是显著的。如果认为个人可支配收入的变化消费变化的影响不会超过四个阶段，在时段t-5令边界滞后分布等于0就是合理的。为了说明问题，我们利用0边界限制条件重新估计模型。,下面的回归结果表明0边界限制条件的影响很小，因为附近的滞后权重已经很接近于0。这是多项式函数是连续函数这一事实的自然结果。最后，考虑当滞后分布的两端都假设为0时的回归结果：,分布滞后的0初始限制对滞后权重的形式有些影响。如果用图形显示，这些权重约呈反U字结构。0限制条件和多项式的连续性是滞后形式的关键性决定因素。,例9.2库存投资,在这个例子中，我们要构造一个含有多项式分布滞后的单方程回归模型。这个例子要估计的是耐用商品行业制造商的月库存变化IND（季度末的库存量）作为运货量SHD、未满足的订货量UNOD，以及批发价指数WHD的函数。采用1983年1月-1987年5月的月度数据，估计多项式分布滞后回归模型。估计结果如下，括号内是t统计值，图9-3显示的是耐用商品制造商库存变化的估计值和实际值：,三阶多项式滞后系数见149注意方程的最后形式将库存与运货量的关系表示为一个三阶多项式，这个三阶多项式定义了25个当前运货量和过去运货量的系数。方程包含库存的滞后量、月变化形式的批发价指数（两个月平均），以及月变化形式的未满足订货量（6个月的平均）。对滞后系数规律的研究显示，制造商库存对于耐用商品运货量的变化有一个滞后反应。库存一开始先下降，然后随时间逐渐增长，耐用商品运货量增加10个月后达到最高值。然后库旬在后面的14个月中连续