线性代数教案

. 整理文本 线性代数线性代数 授 课 教 案 代数几何教研室 . 整理文本 第一章第一章 行列式行列式 本章说明与要求本章说明与要求: : 行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的，它在线性 代数以及其他数学分支上都有着广泛的应用在本章里我们主要讨论下面几个问 题： (1) 行列式的定义； (2) 行列式的基本性质及计算方法； (3) 利用行列式求解线性方程组(克莱姆法则) 本章的重点是行列式的计算，要求在理解n阶行列式的概念，掌握行列式性 质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶及简单的n阶行列式 计算行列式的基本思路是：按行(列)展开公式，通过降阶来计算但在展开 之前往往先利用行列式性质通过对行列式的恒等变形，使行列式中出现较多的零 和公因式，从而简化计算常用的行列式计算方法和技巧有：直接利用定义法， 化三角形法，降阶法，递推法，数学归纳法，利用已知行列式法 行列式在本章的应用是求解线性方程组(克莱姆法则)要掌握克莱姆法则并 注意克莱姆法则应用的条件 。本章的重点。本章的重点：行列式性质；行列式的计算。 。本章的难点。本章的难点：行列式性质；高阶行列式的计算；克莱姆法则。 1.11.1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式 行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公 式引出来的因此我们首先讨论解方程组的问题 设有二元线性方程组 (1) 2222121 1112111 bxaxa bxaxa 用加减消元法容易求出未知量x1，x2的值，当a11a22 a12a210 时，有 . 整理文本 (2) 21122211 211211 2 21122211 212221 1 aaaa abba x aaaa baab x 这就是一般二元线性方程组的公式解但这个公式很不好记忆，应用时不方 便，因此，我们引进新的符号来表示(2)这个结果，这就是行列式的起源我们称 4 个数组成的符号 21122211 2221 1211 aaaa aa aa 为二阶行列式它含有两行，两列横的叫行，纵的叫列行列式中的数叫做行 列式的元素从上式知，二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右 下角的对角线(又叫行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一个是从 右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号 根据定义，容易得知(2) 中的两个分子可分别写成 ， 222 121 212221 ab ab baab 221 111 211211 ba ba abba 如果记， 2221 1211 aa aa D 222 121 1 ab ab D 221 111 2 ba ba D 则当D0 时，方程组(1) 的解(2)可以表示成 ， ， (3) 2221 1211 222 121 1 1 aa aa ab ab D D x 2221 1211 221 111 2 2 aa aa ba ba D D x 象这样用行列式来表示解，形式简便整齐，便于记忆 首先(3) 中分母的行列式是从(1) 式中的系数按其原有的相对位置而排成 的分子中的行列式，x1的分子是把系数行列式中的第 1 列换成(1)的常数项得到 的，而x2的分子则是把系数行列式的第 2 列换成常数项而得到的 例例 1 1 用二阶行列式解线性方程组 . 整理文本 23 142 21 21 xx xx 解解：这时 ， 021432 31 42 D ， ，52431 32 41 1 D31122 21 12 2 D 因此，方程组的解是 ， 2 5 1 1 D D x 2 3 2 2 D D x 对于三元一次线性方程组 (4) 3333232131 2323222121 1313212111 bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 作类似的讨论，我们引入三阶行列式的概念我们称符号 (5) 312213332112322311 322113312312332211 333231 232221 131211 aaaaaaaaa aaaaaaaaa aaa aaa aaa 为三阶行列式，它有三行三列，是六项的代数和这六项的和也可用对角线法则 来记忆：从左上角到右下角三个元素的乘积取正号，从右上角到左下角三个元素 的乘积取负号 例例 2 2 532 134 212 106201224230 1325)4(123223)4(211532 令 333231 232221 131211 aaa aaa aaa D . 整理文本 ， 33323 23222 13121 1 aab aab aab D 33331 23221 13111 2 aba aba aba D 33231 22221 11211 3 baa baa baa D 当 D0 时，(4)的解可简单地表示成 ， (6) D D x 1 1 D D x 2 2 D D x 3 3 它的结构与前面二元一次方程组的解类似 例例 3 3 解线性方程组 423 1523 02 321 321 321 xxx xxx xxx 解解：， ， 28 231 523 112 D13 234 521 110 1 D ， 47 241 513 102 2 D21 431 123 012 3 D 所以， 28 13 1 1 D D x 28 47 2 2 D D x 4 3 28 21 3 3 D D x 例例 4 4 已知，问a，b应满足什么条件？(其中a，b均为实数)0 101 0 0 ab ba 解解：，若要a2+b2=0，则a与b须同时等于零因此，当 22 101 0 0 baab ba a=0 且b=0 时给定行列式等于零 为了得到更为一般的线性方程组的求解公式，我们需要引入n阶行列式的概 . 整理文本 念，为此，先介绍排列的有关知识 思考题：思考题： 当a、b为何值时，行列式 0 22 ba ba D 1.21.2 排列排列 在n阶行列式的定义中，要用到排列的某些知识，为此先介绍排列的一些基 本知识 定义定义 1 1 由数码 1，2，n组成一个有序数组称为一个n级排列 例如，1234 是一个 4 级排列，3412 也是一个 4 级排列，而 52341 是一个 5 级 排列由数码 1，2，3 组成的所有 3 级排列为：123，132，213，231，312，321 共有 3!=6 个 数字由小到大的n级排列 1234n 称为自然序排列 定义定义 2 2 在一个n级排列i1i2in中，如果有较大的数 it 排在较小的数 is 的 前面(isit)， 则称it与is构成一个逆序，一个n级排列中逆序的总数，称为这 个排列的逆序数，记作N (i1i2in) 例如， 在 4 级排列 3412 中， 31，32，41，42，各构成一个逆序数，所以， 排列 3412 的逆序数为N(3412)=4同样可计算排列 52341 的逆序数为N(52341) =7 容易看出， 自然序排列的逆序数为 0 定义定义 3 如果排列i1i2in 的逆序数N(i1i2in )是奇数，则称此排列为奇排 列，逆序数是偶数的排列则称为偶排列 例如，排列 3412 是偶排列排列 52341 是奇排列 自然排列 123n是偶排 列 定义定义 4 4 在一个n级排列i1isitin中， 如果其中某两个数is与it对调 位置，其余各数位置不变，就得到另一个新的n级排列i1itisin，这样的变 . 整理文本 换称为一个对换，记作(is，it) 如在排列 3412 中，将 4 与 2 对换， 得到新的排列 3214 并且我们看到： 偶排列 3412 经过 4 与 2 的对换后，变成了奇排列 3214 反之，也可以说奇排列 3214 经过 2 与 4 的对换后，变成了偶排列 3412 一般地，有以下定理： 定理定理 1 1 任一排列经过一次对换后，其奇偶性改变 证明证明：首先讨论对换相邻两个数的情况，该排列为： a1a2al i j b1b2bmc1c2cn 将相邻两个数i与j作一次对换，则排列变为 a1a2al j i b1 b2bmc1c2cn 显然对数a1，a2，al，b1，b2，bm和c1c2cn来说，并不改变它们的逆序 数但当ij时，经 过i与j的对换后，排列的逆序数减少 1 个所以对换相邻两数后，排列改变了 奇偶性 再讨论一般情况，设排列为 a1a2al i b1b2bmjc1c2cn 将i与j作一次对换，则排列变为 a1a2al j b1b2bmi c1 c2cn 这就是对换不相邻的两个数的情况但它可以看成是先将i与b1对换，再与b2对 换，最后与bm的对换，即i与它后面的数作m次相邻两数的对换变成排列 a1a2alb1b2bmi j c1cn 然后将数j与它前面的数i，bm，b1作m+1 次相邻两数的对换而成而对换不相 邻的数i与j(中间有m个数)，相当于作 2m+1 次相邻两数的对换由前面的证明 知，排列的奇偶性改变了 2m+1 次，而 2m+1 为奇数，因此，不相邻的两数i，j经 过对换后的排列与原排列的奇偶性不同 定理定理 2 2 在所有的n级排列中(n2)，奇排列与偶排列的个数相等，各为 个 2 ! n 证明证明：设在n!个n级排列中，奇排列共有p个，偶排列共有q个对这p个 奇排列施以同一个对换，如都对换(1，2)，则由定理 1 知p个奇排列全部变为偶 . 整理文本 排列，由于偶排列一共只有q个，所以pq；同理将全部的偶排列施以同一对换 (1，2)，则q个偶排列全部变为奇排列，于是又有qp，所以q = p，即奇排列 与偶排列的个数相等 又由于n级排列共有n!个，所以q + p = n!， 2 ! n pq 定理定理 3 3 任一n级排列i1i2in都可通过一系列对换与n级自然序排列 12n互变，且所作对换的次数与这个n级排列有相同的奇偶性 证明证明：对排列的级数用数学归纳法证之 对于 2 级排列，结论显然成立 假设对n1 级排列，结论成立，现在证明对于n级排列，结论也成立 若in=n，则根据归纳假设i1i2in1是n1 级排列，可经过一系列对换变成 12(n1)，于是这一系列对换就把i1i2in变成 12n若inn，则先施行in 与n的对换，使之变成i1i2in1n，这就归结成上面的情形相仿地， 12n也可经过一系列对换变成i1i2in，因此结论成立 因为 12n是偶排列，由定理 1 可知，当i1i2in是奇(偶)排列时，必须施 行奇(偶)数次对换方能变成偶排列，所以，所施行对换的次数与排列i1i2in具 有相同的奇偶性 思考题：思考题： 1决定i、j的值，使 (1) 1245i6j97 为奇排列； (2) 3972i15j4 为偶排列 2排列n (n1)(n2)321 经过多少次相邻两数对换变成自然顺序排列？ 1.31.3 n n阶行列式阶行列式 本节我们从观察二阶、三阶行列式的特征入手引出n阶行列式的定义 已知二阶与三阶行列式分别为 . 整理文本 21122211 2221 1211 aaaa aa aa 312213332112322311 322113312312332211 333231 232221 131211 aaaaaaaaa aaaaaaaaa aaa aaa aaa 其中元素aij的第一个下标i表示这个元素位于第i行，称为行标，第二个下标j 表示此元素位于第j列，称为列标 我们可以从中发现以下规律： (1) 二阶行列式是 2！项的代数和，三阶行列式是 3！项的代数和； (2) 二阶行列式中每一项是两个元素的乘积，它们分别取自不同的行和不同 的列，三阶行列式中的每一项是三个元素的乘积，它们也是取自不同的行和不同 的列； (3) 每一项的符号是：当这一项中元素的行标是按自然序排列时，如果元素 的列标为偶排列，则取正号；为奇排列，则取负号 作为二、三阶行列式的推广我们给出n阶行列式的定义 定义定义 1 1 由排成n行n列的n2个元素aij (i，j=1，2，n)组成的符号 nnnn n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 称为n阶行列式它是n!项的代数和，每一项是取自不同行和不同列的n个 元素的乘积，各项的符号是：每一项中各元素的行标排成自然序排列，如果列标 的排列为偶排列时，则取正号；为奇排列，则取负号于是得 (1) nnnn n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 n jjj 21 n n njjj jjjN aaa 21 21 21 )( ) 1( . 整理文本 其中表示对所有的n级排列j1j2jn求和 n jjj 21 (1)式称为n阶行列式按行标自然顺序排列的展开式 )( 21 ) 1( n jjjN 称为行列式的一般项 n njjj aaa 21 21 当n=2、3 时，这样定义的二阶、三阶行列式与上面1.1 中用对角线法则定 义的是一致的当n=1 时，一阶行列为|a11|= a11如 当n=4 时，4 阶行列式 44 34 24 14 434241 333231 232221 131211 a a a a aaa aaa aaa aaa 表示 4！=24 项的代数和，因为取自不同行、不同列 4 个元素的乘积恰为 4！ 项根据n阶行列式的定义，4 阶行列式为 44 34 24 14 434241 333231 232221 131211 a a a a aaa aaa aaa aaa jjj jjjj jjjjN aaaa 21 321 4321 321 )( ) 1( 例如a14a23a31a42行标排列为 1234，元素取自不同的行；列标排列为 4312，元 素取自不同的列，因为N(4312)=5，所以该项取负号，即a14a23a31a42是上述行列 式中的一项 为了熟悉n阶行列式的定义，我们来看下面几个问题 例例 1 1 在 5 阶行列式中，a12a23a35a41a54这一项应取什么符号？ 解解：这一项各元素的行标是按自然顺序排列的，而列标的排列为 23514 因 N(23514)=4 故这一项应取正号 例例 2 2 写出 4 阶行列式中，带负号且包含因子a11a23的项 解解：包含因子a11a23项的一般形式为 jj jjN aaaa 3 43 32311 )13( ) 1( 按定义，j3可取 2 或 4，j4可取 4 或 2，因此包含因子a11a23的项只能是 . 整理文本 a11a23a32a44或a11a23a34a42 但因 N(1324)=1 为奇数 N(1342)=2 为偶数 所以此项只能是 a11a23a32a44 例例 3 3 计算行列式 hgvu feyx dc ba 00 00 解解 这是一个四阶行列式，按行列式的定义，它应有 4!=24 项但只有以下 四项 adeh，adfg，bceh，bcfg 不为零与这四项相对应得列标的 4 级排列分别为 1234，1243，2134 和 2143， 而N(1234)=0，N(1243)=1，N(2134)=1 和N(2143)=2，所以第一项和第四项应取 正号，第二项和第三项应取负号，即 = adehadfgbceh+bcfg hgvu feyx dc ba 00 00 例例 4 4 计算上三角形行列式 nn n n a a a a aa D 2 1 22 1211 00 0 其中aii (i=1， 2， n) 解解：由n阶行列式的定义，应有n!项，其一般项为 n njjj aaa 21 21 但由于D中有许多元素为零，只需求出上述一切项中不为零的项即可在D中， . 整理文本 第n行元素除ann外，其余均为所以jn=n；在第n1 行中，除an1n1和an 1n外，其余元素都是零，因而jn1只取n1、n这两个可能，又由于ann、an1n 位于同一列，而jn=n所以只有jn1 = n1这样逐步往上推，不难看出，在展 开式中只有a11a22ann一项不等于零而这项的列标所组成的排列的逆序数是 N(12n)=0 故取正号因此，由行列式的定义有 =a11a22ann nn n n a a a a aa D 2 1 22 1211 00 0 即上三角形行列式的值等于主对角线上各元素的乘积 同理可求得下三角形行列式 =a11a22ann nnnn aaa aa a 0 0 0 21 2221 11 特别地，对角形行列式 =a11a22ann nn a a a 0 0 00 0 0 22 11 上(下)三角形行列式及对角形行列式的值，均等于主对角线上元素的乘积 例例 5 5 计算行列式 000 000 000 1 12 1 n n n a a a 解解 这个行列式除了a1na2n1an1这一项外，其余项均为零，现在来看这一 项的符号，列标的n级排列为n(n1)21，N(n(n1)21)= (n1)+ (n2) . 整理文本 +2+1=，所以 2 ) 1( nn = 000 000 000 1 12 1 n n n a a a 1121 2 )1( ) 1( nnn nn aaa 同理可计算出 = 000 0 1 122221 11211 n n n a aaa aaa nnnnn nn n aaa aa a 11 212 1 0 00 1121 2 )1( ) 1( nnn nn aaa 由行列式的定义，行列式中的每一项都是取自不同的行不同的列的n个元素 的乘积，所以可得出：如果行列式有一行(列)的元素全为 0，则该行列式等于 0 在n阶行列式中，为了决定每一项的正负号，我们把n个元素的行标排成自 然序排列，即事实上，数的乘法是满足交换律的，因而这n个元 n njjj aaa 21 21 素的次序是可以任意写的，一般地，n阶行列式的项可以写成 (2) nnj ijiji aaa 2211 其中i1i2in，j1 j2jn是两个n阶排列，它的符号由下面的定理来决定 定理定理 1 1 n阶行列式的一般项可以写成 (3) nn nn jijiji jjjNii iN aaa 2211 2121 )()( ) 1( 其中i1i2in，j1j2jn都是n级排列 证明证明：若根据n阶行列式的定义来决定(2)的符号，就要把这n个元素重新排 一下，使得它们的行标成自然顺序，也就是排成 (4) 21 21n njjj aaa 于是它的符号是 ) ( 21 )1( n jjjN 现在来证明(1)与(3)是一致的我们知道从(2)变到(4)可经过一系列元素的 对换来实现每作一次对换，元素的行标与列标所组成的排列i1i2in，j1j2jn 就同时作一次对换，也就是N(i1i2in)与N(j1j2jn)同时改变奇偶性，因而它的 . 整理文本 和 N(i1i2in)+N(j1j2jn) 的奇偶性不改变这就是说，对(2)作一次元素的对换不改变(3)的值，因此在一 系列对换之后有 ) () ()12()()( 21212121 ) 1() 1() 1( nnnn jjjNjjjNnNjjjNiiiN 这就证明了(1)与(3)是一致的 例如，a21a32a14a43是 4 阶行列式中一项，它和符号应为(1)N(2314)+N(1243)= (1)2+1= 1如按行标排成自然顺序，就是a14a21a32a43，因而它的符号是(1) N(4123)=(1)3= 1 同样，由数的乘法的交换律，我们也可以把行列式的一般项中元素 n njjj aaa 21 21 的列标排成自然顺序 123n，而此时相应的行标的n级排列为i1i2in，则行列 式定义又可叙述为 n n n iii niii iiiN nnnn n n aaa aaa aaa aaa 21 21 21 21 )( 21 22221 11211 ) 1( 思考题：思考题： 1如果n阶行列式所有元素变号，问行列式的值如何变化？ 2由行列式的定义计算 f(x)= x x x xx 111 123 111 212 中x4与x3的系数，并说明理由 1.41.4 行列式的性质行列式的性质 当行列式的阶数较高时，直接根据定义计算n阶行列式的值是困难的，本节 . 整理文本 将介绍行列式的性质，以便用这些性质把复杂的行列式转化为较简单的行列式(如 上三角形行列式等)来计算 将行列式D的行列互换后得到的行列式称为行列式D的转置行列式，记作 DT，即若 ， 则 nnnn n n aaa aaa aaa D 21 22221 11211 nnnn n n T aaa aaa aaa D 21 22212 12111 反之，行列式D也是行列式DT的转置行列式，即行列式D与行列式DT互为转置行 列式 性质性质 行列式D与它的转置行列式DT的值相等 证：证：行列式D中的元素aij(i， j=1， 2， ，n)在DT中位于第j行第i列 上，也就是说它的行标是j， 列标是i，因此，将行列式DT按列自然序排列展开， 得 n n n jjj njjj jjjNT aaaD 21 21 21 21 )( ) 1( 这正是行列式D按行自然序排列的展开式所以D=DT 这一性质表明，行列式中的行、列的地位是对称的，即对于“行”成立的性 质，对“列”也同样成立，反之亦然 性质性质 交换行列式的两行(列)，行列式变号 证：证：设行列式 )( )( 21 21 21 11211 行 行 s i aaa aaa aaa aaa D nnnn snss inii n 将第i行与第s行(1isn)互换后，得到行列式 . 整理文本 )( )( 21 21 21 11211 1 行 行 s i aaa aaa aaa aaa D nnnn inii snss n 显然，乘积在行列式D和D1中，都是取自不同行、不同列 nsi njsjijj aaaa 1 1 的n个元素的乘积，根据3 定理，对于行列式D，这一项的符号由 )()1( 1 ) 1( nsi jjjjNnsiN 决定；而对行列式D1，这一项的符号由 )()1( 1 ) 1( nsi jjjjNnisN 决定而排列 1isn与排列 1sin的奇偶性相反，所以 = )()1( 1 ) 1( nsi jjjjNnsiN )()1( 1 ) 1( nsi jjjjNnisN 即D1中的每一项都是D中的对应项的相反数，所以D= D1 例例 计算行列式 05307 04008 00005 17536 03924 D 解解：将第一、二行互换，第三、五行互换，得 00005 04008 05307 03924 17536 ) 1( 2 D 将第一、五列互换，得 . 整理文本 120! 554321 50000 84000 75300 43920 67531 ) 1( 3 D 推论推论 若行列式有两行(列)的对应元素相同，则此行列式的值等于零 证证：将行列式D 中对应元素相同的两行互换，结果仍是D，但由性质有 D= D， 所以D=0 性质性质 行列式某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面即 nnnn inii n nnnn inii n aaa aaa aaa k aaa kakaka aaa 21 11 11211 21 11 11211 证证：由行列式的定义有 左端 n ni n jjj njijj jjjN akaa 21 1 21 )() 1( 1 )( n ni n jjj njijj jjjN aaak 21 1 21 1 )( ) 1( 右端 此性质也可表述为：用数k乘行列式的某一行(列)的所有元素，等于用数k 乘此行列式 推论：推论：如果行列式中有两行(列)的对应元素成比例，则此行列式的值等于 零 证证：由性质和性质的推论即可得到 性质性质 如果行列式的某一行 (列)的各元素都是两个数的和，则此行列式等 于两个相应的行列式的和，即 . 整理文本 nnnn inii n nnnn inii n nnnn ininiiii n aaa ccc aaa aaa bbb aaa aaa cbcbcb aaa 21 21 11211 21 21 11211 21 2211 11211 证证：左端 n nii n jjj njijijjj jjjN acbaa 21 21 21 )() 1( 21 )( n ni n jjj njijjj jjjN abaa 21 21 21 21 )( ) 1( n ni n jjj njijjj jjjN acaa 21 21 21 21 )( ) 1( nnnn inii n nnnn inii n aaa ccc aaa aaa bbb aaa 21 21 11211 21 21 11211 右端 性质性质 5 5 把行列式的某一行 (列)的所有元素乘以数k加到另一行(列)的相应 元素上，行列式的值不变即 nnnn snss inii n aaa aaa aaa aaa D 21 21 21 11211 . 整理文本 nnnn sninsisi inii n aaa akaakaaka aaa aaa 21 2211 21 11211 证证：由性质 右端=+=k nnnn inii inii n aaa kakaka aaa aaa 21 21 21 11211 nnnn snss inii n aaa aaa aaa aaa 21 21 21 11211 +=左端 nnnn snss inii n aaa aaa aaa aaa 21 21 21 11211 作为行列式性质的应用，我们来看下面几个例子 例例 2 2 计算行列式 3111 1311 1131 1113 D i 行k 加 到第 s 行 . 整理文本 解解：这个行列式的特点是各行个数的和都是，我们把第、各列 同时加到第列，把公因子提出，然后把第行(1)加到第、行上就 成为三角形行列式具体计算如下： 4826 2000 0200 0020 1111 6 3111 1311 1131 1111 6 3116 1316 1136 1116 3 D 例例 3 3 计算行列式 0112 0121 2011 2110 D 解解： 31 4130 2110 2110 2011)2(1 0112 0121 2110 2011 0112 0121 2011 2110 D 4)2()2() 1(1 2000 4200 2110 2011 ) 1( 2200 4200 2110 2011 例例 4 4 试证明： 0 1 1 cbad badc dacb dcba D 证证：把、列同时加到第列上去，则得 . 整理文本 0 1 11 11 1 )( 1 1 ad dc cb ba dcba dcbaad bcbadc dcbacb dcbaba D 例例 5 5 计算n+1 阶行列式 xaaa axaa aaxa aaax D n n n 321 21 21 21 解解：将D的第列、第列、第n+1 列全加到第列上，然后从第列 提取公因子得 n i i ax 1 xaa axa aax aaa axD n n n n i i 32 2 2 21 1 1 1 1 1 )( = n n i i axaaaa axaa ax ax 2312 212 1 1 1 01 001 0001 )( (a1) (a2) (an) . 整理文本 =)()()( 21 1 n n i i axaxaxax 例例 6 6 解方程 0 ) 1(1111 1)2(111 11211 11111 11111 xn xn x x 解法一： ) 1( ) 1(1111 1)2(111 11211 11111 11111 xn xn x x ) 2() 3()1)( ) 2(0000 0) 3(000 00100 00000 11111 xnxnxx xn xn x x 所以方程的解为x1=0， x2=1， ， xn2=n3， xn1=n2 解法二：解法二：根据性质的推论，若行列式有两行的元素相同，行列式等于 零而所给行列式的第行的元素全是，第行，第行，第n行的元素只 有对角线上的元素不是，其余均为因此令对角线上的某个元素为，则行 列式必等于零于是得到 . 整理文本 1x=1 2x=1 (n2)x=1 (n1)x=1 有一成立时原行列式的值为零所以方程的解为x1=0， x2，=1， xn2=n 3， xn1=n2 例例 7 7 计算n阶行列式 ), 2 , 1( 321 21 31 32 niax xaaa axaa aaxa aaax D in n n 解解：将第 1 行乘以(1)分别加到第、n行上得 n n axxa axxa axxa aaax D 00 00 00 1 31 21 32 从第一列提出xa1，从第二提出xa2，从第n列提出xan，便得到 1001 0101 0011 )()( 3 3 2 2 1 21 n n n ax a ax a ax a ax x axaxaxD 由并把第、第、第n列都加于第 1 列，有,1 1 1 1 ax a ax x . 整理文本 1000 0100 0010 1 )()( 3 3 2 2 1 21 n n n i i i n ax a ax a ax a ax a axaxaxD )1)()( 1 21 n i i i n ax a axaxax 例例 8 8 试证明奇数阶反对称行列式 0 0 0 0 21 212 112 nn n n aa aa aa D 证证：D的转置行列式为 0 0 0 21 212 112 nn n n T aa aa aa D 从DT中每一行提出一个公因子(1)，于是有 ，但由性质 1 知道DT=DD aa aa aa D n nn n n nT ) 1( 0 0 0 ) 1( 21 212 112 D=(1)nD 又由n为奇数，所以有D= D， 即 2D=0， 因此 D=0 思考题：思考题： . 整理文本 1证明下列各题： 2 2 2 3 3 3 1 1 1 )( 1 1 1 cc bb aa cba cc bb aa 2计算下列n阶行列式： ； 11111 000 000 000 22 11 nn aa aa aa 1.51.5 行列式按一行行列式按一行( (列列) )展开展开 本节我们要研究如何把较高阶的行列式转化为较低阶行列式的问题，从而得 到计算行列式的另一种基本方法降阶法为此，先介绍代数余子式的概念 定义定义 在n阶行列式中，划去元素aij所在的第i行和第j列后，余下的元素 按原来的位置构成一个n1 阶行列式，称为元素aij的余子式，记作ij元素 aij的余子式ij前面添上符号(1)i+j称为元素aij的代数余子式，记作Aij即 Aij(1)i+jMij 例如：在四阶行列式 中a23的余子式是M23= 44434241 34333231 24232221 14131211 aaaa aaaa aaaa aaaa D 444241 343231 141211 aaa aaa aaa 而 A23=(1)2+3M23= 是a23的代数余子式 444241 343231 141211 aaa aaa aaa 定理定理 n阶行列式D等于它的任意一行(列)的元素与其对应的代数余子式的 . 整理文本 乘积之和，即 D=ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin (i=1，2，n) 或 D=a1jA1j+a2jA2j+anjAnj (j=1，2，n) 证明证明：只需证明按行展开的情形，按列展开的情形同理可证 1先证按第一行展开的情形根据性质有 nnnn n n nnnn n n aaa aaa aaa aaa aaa aaa D 21 22221 11211 21 22221 11211 0000000 nnnn n n nnnn n nnnn n aaa aaa a aaa aaa a aaa aaa a 21 22221 1 21 22221 12 21 22221 11 000000 按行列式的定义 n n n jjj njjj jjjN nnnn n aaa aaa aaa a 21 21 21 21 )( 21 22221 11 ) 1( 00 111111112 )( 11 21 2 21 ) 1(AaMaaaa n n n jjj njj jjjN 同理 12121212 12 22122 12 21 22221 12 ) 1( 00 ) 1( 00 AaMa aaa aaa a aaa aaa a nnnn n nnnn n . 整理文本 nnnn n nnnnn nn n n nnnn n n AaMa aaa aaa a aaa aaa a 1111 1 11 12212 1 1 21 22221 1 ) 1( 00 ) 1( 00 所以 D=a11A11+a12A12+a1nA1n 2再证按第i行展开的情形 将第i行分别与第i1 行、第i2 行、第行进行交换，把第i行换 到第行，然后再按的情形，即有 2 21 2 1 1 11 1 1 21 11211 21 1 ) 1() 1() 1() 1() 1( ii i ii i nnnn n inii i MaMa aaa aaa aaa D ininiiii in n in i AaAaAa Ma 2211 11 ) 1() 1( 定理定理 n阶行列式D中某一行(列)的各元素与另一行(列)对应元素的代数余 子式的乘积之和等于零，即： ai1As1+ai2As2+ainAsn=0 (is) 或 a1jA1t+a2jA2t+anjAnt =0 (jt) 证证：只证行的情形，列的情形同理可证考虑辅助行列式 . 整理文本 )( )( 21 21 21 11211 1 行 行 s i aaa aaa aaa aaa D nnnn inii inii n 这个行列式的第i行与第s列的对应元素相同，它的值应等于零，由定理 1 将D1 按第s行展开，有D1= ai1As1+ai2As2+ainAsn=0 (is) 定理和定理可以合并写成 ai1As1+ai2As2+ainAsn= )(0 )( si siD 或 a1jA1t+a2jA2t+ajnAnt = )(0 )( tj tjD 定理 1 表明，n阶行列式可以用n1 阶行列式来表示，因此该定理又称行列 式的降阶展开定理利用它并结合行列式的性质，可以大大简化行列式的计 算计算行列式时，一般利用性质将某一行(列)化简为仅有一个非零元素，再按 定理 1 展开，变为低一阶行列式，如此继续下去，直到将行列式化为三阶或二 阶这在行列式的计算中是一种常用的方法 例例 计算行列式 5101 2421 7013 1312 D 解解：D的第四行已有一个元素是零，利用性质，有 . 整理文本 ) 5( 1 )2() 1( 332 831 1111 ) 1( 0001 3321 8313 11112 5101 2421 7013 1312 14 D 85 255 34 ) 1( 2550 340 1111 11 例例 计算n阶行列式 ab ba a ba ba D 000 000 0000 000 000 解解：按第一列展开得 nnnnnn n babbaa ba b ba b b a ba a ba aD 1111 111 ) 1() 1( 00 000 00 000 ) 1( 000 00 000 00 ) 1( 例例 计算，其中 xy y y x x D 1111 1111 1111 1111 解解：根据定理 1，把行列式适当地加一行一列，然后利用性质，有 . 整理文本 y y x x y y x x D 0001 0001 0001 0001 11111) 1( 11110 11110 11110 11110 11111 第 2 列提出因子x，第 3 列提出x，第 4 列提出y，第 5 列提出y，得 1 1 1 1 10000 01000 00100 00010 1111 1 10001 01001 00101 00011 1111 1 )()( 2222 yx yyxx yx yyxx yyxxD 例例 试证 (1) nij ji n n nnn n n aa aaaa aaaa aaaa 1 11 3 1 2 1 1 22 3 2 2 2 1 321 )( 111