数学培优---压轴题3

.压轴题(3)班级 姓名 学号 1 已知数列的前设 （I）证明数列是等比数列； （II）数列若对一切恒成立，求实数m的取值范围.2已知函数 （I）若函数上为单调增函数，求a的取值范围； （II）设3已知点A（1，1）是椭圆上一点，教育博客F1，F2是椭圆的两焦点，且满足.（1）求椭圆的两焦点坐标；（2）设点B是椭圆上任意一点，教育博客如果|AB|最大时，教育博客求证A、B两点关于原点O不对称；（3）设点C、D是椭圆上两点，直线AC、AD的倾斜角互补，教育博客试判断直线CD的斜率是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由。4已知函数，其中为大于零的常数教育博客（1）若函数在上单调递增，求的取值范围；教育博客（2）求函数在区间上的最小值；（3）求证：对于任意的且时，都有成立5.顶点在坐标原点，开口向上的抛物线经过A0(1,1)，过A0作抛物线的切线交x轴于B1，过B1点作x轴的垂线交抛物线于A1，过A1作抛物线的切线交x轴于B2，过An(xn，yn)作抛物线的切线交x轴于Bn1(xn1,0)(1)求xn，yn的通项公式；(2)设an，数列an的前n项和为Tn.求证：Tn2n.(3)设bn1log2yn，若对任意正整数n，不等式(1)(1)(1)a成立，求正数a的取值范围.6.已知函数，设正项数列的首项，前n 项和满足（，且）。（1）求的表达式；（2）在平面直角坐标系内，直线的斜率为，且与曲线相切，又与y轴交于点，当时，记，若，设，求。压轴题(3)参考答案1（I）证明：由于当得所以因为故数列是首项为2，公比为2的等比数列. （II）由（I）可知=所以故当恒成立. 2解：（I）因为上为单调增函数，所以上恒成立.所以a的取值范围是 （II）不妨设即证只需证 由（I）知上是单调增函数，又，所以 3解：（I）由椭圆定义知：，把（1，1）代入得，则椭圆方程为，故两焦点坐标 为 教育博客 （II）用反证法：假设A、教育博客B两点关于原点O对称，教育博客则B点坐标为（，），此时取椭圆上一点，教育博客则从而此时|AB|不是最大，这与|AB|最大矛盾，教育博客所以命题成立。 （III）设AC方程为：联立 教育博客消去得 点A（1，1）在椭圆上 直线AC、AD倾斜角互补 AD的方程为同理 教育博客又，所以教育博客即直线CD的斜率为定值 4解： （1）由已知，得在上恒成立，即在上恒成立又当时，即的取值范围为 （2）当时，在（1，2）上恒成立，这时在1，2上为增函数，当，在（1，2）上恒成立，这时在1，2上为减函数, 当时，令，得又对于有，对于有， 综上，在1，2上的最小值为:当时，；当时，当时，. （3）由（1），知函数在上为增函数，当时，即，对于恒成立, 对于，且时，恒成立. 5.解：(1)由已知得抛物线方程为yx2，y2x，则设过点An(xn，yn)的切线为yx2xn(xxn).令y0，x，故xn1.又x01，xn，yn.(2)证明：由(1)知xn()n，所以an112().由得2()，从而Tna1a2an2()2()2()2n()()()2n()2n，即Tn2n.(3)由于yn，故bn2n1，对任意正整数n，不等式(1)(1)(1)a成立，a(1)(1)(1)恒成立.设f(n)(1)(1)(1)，f(n1)(1)(1)(1)(1)，(1)1，f(n1)f(n)，故f(n)为递增，f(n)minf(1)，0a.6解：（1）)由得：，所以数