02 平面内三点共线的向量表示_第1页
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2. 平面内三点共线的向量表示 描述平面内三点共线方法有很多种，其中的向量表示，有以下两种，我们可以把它们作为结论来应用【结论1】点、共线的充要条件是存在实数，使得【结论2】设是平面内任意一点，点、共线的充要条件是存在实数、，使得 ，其中 【结论1】很容易理解，下面我们利用【结论1】来证明【结论2】 先证明充分性： 如果存在实数、，使得，其中，则，将这个式子变形后可得，即，所以、三点共线。 再来证明必要性： 如果、三点共线，则存在实数，使得在平面内任取一点，则有，即令，则存在实数、，使得，其中故结论2成立。【说明】（1）由于结论1和结论2中、三点地位平等，所以结论可以作相应的改变。（2）由结论2的证明可以理解，三点共线的这两种向量形式可以互化。下面我们通过一些例题谈一谈三点共线的这两种向量形式的应用。【例1】如图，已知，用，表示，则（ ） 【解析】本题根据结论2，不用计算，就能确定答案是 【例2】在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点，若点满足，且，则点的轨迹方程为（ ） 【解析】本题根据结论2，易知、三点共线，故点的轨迹是直线，选 【例3】如图，已知点是的重心，点是边的中点。（1） 求；（2） 若过的重心，且，求证： 【解析】（1）已知点是的重心，点是边的中点，（2） 本题既可以利用结论1解决，也可以利用结论2解决。解法1：，设，则，又、不共线，消去，得解法2：，由三点共线，可设，又、不共线，消去，得 【例4】如图所示，是圆上的三点，的延长线与线段的延长线交于圆外一点，若，则的取值范围是（ ） 【解析】设，由、三点共线，可设，所以根据题意， 选 【例5】如图所示，在中，和交于点，设，以、为基底表示【解析】， 故【练习】1、 已知数列为等差数列，为坐标原点，且点三点共线，则_.2、 如图所示，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，若则_3、 在中，的平分线交于，已知且，则的长为（ ） 1 3 【解析】易知，确定点的位置，选4、 在中，边，过作于，
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