2016年中考专题训练：证明一条直线是圆的切线的方法

2016年中考专题训练：证明一条直线是圆的切线的方法一、条件：已知直线与圆有交点。证明思路：1、把已知点与圆心相连。 2、证明这条半径与已知直线垂直。 3、则这条直线是圆的切线。【例1】如图1，已知AB为O的直径，点D在AB的延长线上，BDOB，点C在圆上，CAB30求证：DC是O的切线图1OABCD证明：连接OC，BCAB为O的直径，ACB90CAB30，BCABOB（练习1图）AOBDClMEBDOB，BCODOCD90DC是O的切线练习1：如图，为的直径，点为上一点，若，过点作直线垂直于射线AM，垂足为点D（1）试判断与的位置关系，并说明理由；（2）若直线与的延长线相交于点，的半径为3，并且.求的长 OABCD图22341【例2】如图2，已知AB为O的直径，过点B作O的切线BC，连接OC，弦ADOC求证：CD是O的切线证明：连接ODOCAD，13，24OAOD，1234又OBOD，OCOC，OBCODC练习2图OBCODCBC是O的切线，OBC90ODC90DC是O的切线练习2：已知：在O中，AB是直径，AC是弦，OEAC于点E，过点C作直线FC，使FCAAOE，交AB的延长线于点D.（1）求证：FD是O的切线；（2）设OC与BE相交于点G，若OG2，求O半径的长；（3）在（2）的条件下，当OE3时，求图中阴影部分的面积.【例3】 如图2，已知是ABC的外接圆，AB是的直径，D是AB的延长线上的一点，AEDC交DC的延长线于点E，且AC平分EAB求证：DE是O的切线证明：连接OC，则OA=OC， CAO=ACO，AC平分EAB，EAC=CAO=AC，AECO，又AEDE，CODE，DE是O的切线练习3图练习3：如图，以RtABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E是BC边上的中点，连结DE. （1） DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由；（2） 若AD、AB的长是方程x210x+24=0的两个根，求直角边BC的长。【例4】如图，AD是BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.求证：PA与O相切.证明：连接AO并延长与O相交于点E，连结EC.AD是BAC的平分线， DAB=DAC. PA=PD， 2=1+DAC.2=B+DAB， 1=B.又B=E， 1=E AE是O的直径， ACEC，E+EAC=900. 1+EAC=900. 即OAPA. PA与O相切.练习4图练习4：如图，点C是O的直径AB延长线上的一点，且有BO=BD=BC（1）求证：CD是O的切线；（2）若半径OB=2，求AD的长二、条件：已知直线与圆没有交点。证明思路：1、过圆心作已知直线的垂线段。 2、证明这条垂线段的长等于圆的半径。 3、则这条直线是圆的切线。【例1】 如图3，AB=AC，OB=OC，O与AB边相切于点D求证：O与AC 边相切。证明:连接OD，作OEAC，垂足为EAB=AC,OB=OCAO为BAC角平分线，DAO=EAOO与AB相切于点D，BDO=CEO=90AO=AOADOAEO，OE=ODOD是O的半径，CDBA练习1图OE是O的半径O与AC 边相切练习1：在RtABC中,B=90,A的平分线交BC于D,以D为圆心,DB长为半径作D.证明:AC是D的切线.【例2】 如图，AB=AC，D为BC中点，D与AB切于E点.求证：AC与D相切.证明一：连结DE，作DFAC，F是垂足. AB是D的切线， DEAB. DFAC， DEB=DFC=900. AB=AC， B=C.CAOBMDEN练习2图 又BD=CD， BDECDF（AAS） DF=DE. F在D上. AC是D的切线练习2：如图，OC平分，点A在射线OC上，以点A为圆心，半径为2的A与OM相切于点B，连接BA并延长交A于点D，交ON于点E。（1）求证：ON是A的切线；（2）若=60，求图中阴影部分的面积。（结果保留）【例3】 已知：如图，AC，BD与O切于A、B，且ACBD，若COD=900.求证：CD是O的切线.证明：连结OA，OB，作OECD于E，延长DO交CA延长线于F.AC，BD与O相切，ACOA，BDOB.ACBD，F=BDO.又OA=OB，AOFBOD（AAS）OF=OD.AOECPB练习3图COD=900，CF=CD，1=2.又OAAC，OECD，OE=OA.E点在O上.CD是O的切线.练习3：如图，点O在APB的平分线上，O与PA相切于点C (1) 求证：直线PB与O相切；(2) PO的延长线与O交于点E若O的半径为3，PC=4求弦CE的长附加题：1、如图10，半圆O为ABC的外接半圆，AC为直径，D为上的一动点（1）问添加一个什么条件后，能使得？请说明理由；（2）若ABOD，点D所在的位置应满足什么条件？请说明理由；（3）如图11，在 （1）和（2）的条件下，四边形AODB是什么特殊的四边形？证明你的结论DBAOCE图10DBAOCE图112、如图10，在O中，AB为O的直径，AC是弦，（1）求AOC的度数；（2）在图10中，P为直径BA延长线上的一点，当CP与O相切时，求PO的长；（3） 如图11，一动点M从A点出发，在O上按逆时针方向运动，当时，求动点M所经过的弧长图11MOBACACOPB图10证明：（1）连接OC（如图），OA=OC，1=AOEAC，A+AOE=901+AOE=90又FCA=AOE，1+FCA=90即OCF=90.FD