2导数的概念经典例题

经典例题透析类型一：求函数的平均变化率例1、求在到之间的平均变化率，并求，时平均变化率的值.思路点拨: 求函数的平均变化率，要紧扣定义式进行操作.解析：当变量从变到时，函数的平均变化率为当，时，平均变化率的值为：.总结升华：解答本题的关键是熟练掌握平均变化率的概念，只要求出平均变化率的表达式，其他就迎刃而解.举一反三：【变式1】求函数y=5x2+6在区间2，2+内的平均变化率。【答案】，所以平均变化率为。【变式2】已知函数，分别计算在下列区间上的平均变化率： （1）1，3；（2）1，2；（3）1，1.1；（4）1，1.001. 【答案】（1）4；（2）3；（3）2.1；（4）2.001. 【变式3】自由落体运动的运动方程为，计算t从3s到3.1s，3.01s，3.001s各段内的平均速度（位移s的单位为m）。【答案】要求平均速度，就是求的值，为此需求出、。设在3，3.1内的平均速度为v1，则，。所以。同理。【变式4】过曲线上两点和作曲线的割线，求出当时割线的斜率.【答案】3.31当时类型二：利用定义求导数例2、用导数的定义，求函数在x=1处的导数。解析： 。总结升华：利用导数的定义求导数的步骤：第一步求函数的增量；第二步求平均变化率；第三步取极限得导数。举一反三：【变式1】已知函数（1）求函数在x=4处的导数.（2）求曲线上一点处的切线方程。【答案】（1） ，（2）由导数的几何意义知，曲线在点处的切线斜率为，所求切线的斜率为。所求切线方程为，整理得5x+16y+8=0。【变式2】利用导数的定义求下列函数的导数：（1）；（2）；（3）；（4）。【答案】（1），。（2），。（3），。（4），。例3、求曲线y=x3+2x在x=1处的切线方程.思路点拨：从函数在一点处的导数定义可求得函数y=x3+2x在x=1处的导数值，再由导数的几何意义，得所求切线的斜率，将x=1代入函数可得切点坐标，从而建立切线方程.解析：设.由f(1)=3，故切点为（1，3），切线方程为y3=5(x1)，即y=5x2.总结升华: 求函数图像上点处的切线方程的求解步骤： 求出导函数在处的导数（即过点的切线的斜率）， 用点斜式写出切线方程，再化简整理。举一反三：【变式】在曲线y=x2上过哪一点的切线：（1）平行于直线y=4x5；（2）垂直于直线2x6y+5=0；（3）与x轴成135的倾斜角。【答案】，设所求切点坐标为P（x0，y0），则切线斜率为k=2x0（1）因为切线与直线y=4x5平行，所以2x0=4，x0=2，y0=4，即P（2，4）。（2）因为切线与直线2x6y+5=0垂直，所以，得，即。（3）因为切线与x轴成135的倾斜角，所以其斜率为1。即2x0=1，得，即。例4已知函数可导，若，求解析： （） （令t=x2，x1，t1） 举一反三：【变式】已知函数可导，若，求【答案】 类型三：利用公式及运算法则求导数例5求下列函数的导数：（1）； （2） （3）； （4）y=2x33x2+5x4 解析：（1）.（2）.（3），.（4）总结升华：熟练掌握导数基本公式，仔细观察和分析各函数的结构规律，选择基本函数求导公式进行求导；不具备求导法则条件的，一般要遵循先化简，再求导的原则，适当进行恒等变形，步步为营，使解决问题水到渠成.举一反三：【变式】求下列函数的导数：（1）； （2）（3）y=6x34x2+9x6【答案】（1）.（2）.（3）例6求下列各函数的导函数（1）；（2）y=x2sinx; （）y=； （）y=解析：（1）法一：去掉括号后求导.法二：利用两个函数乘积的求导法则 =2x(2x3)+(x2+1)2=6x26x+2（2）y=（x2）sinxx2（sinx）=2xsinxx2cosx（）=（4）=举一反三：【变式1】函数在处的导数等于( )A1 B2 C3 D4【答案】D法一： .法二：.【变式2】下列函数的导数 （1）； （2）【答案】（1）法一： 法二： =+ （2）【变式3】求下列函数的导数.（1）； （2）；（3）.【答案】（1），.（2），.（3）， .类型四：复合函数的求导例7求下列函数导数.（1）； （2）；（3）； （4）.思路点拨:求复合函数的导数首先必须弄清函数是怎样复合而成的，然后再按复合函数的求导法则求导.解析：（1），. .（2）， （3），. （4）， .总结升华： 复合函数的求导，一定要抓住“中间变量”这一关键环节，然后应用法则，由外向里一层层求导，注意不要漏层。熟练以后，可以摆脱引入中间变量的字母，只要心中记住就行，这样可以使书写简单； 求复合函数的导数的方法步骤：（1）分清复合函数的复合关系，选好中间变量；（2）运用复合函数求导法则求复合函数的导数，注意分清每次是哪个变量对哪个变量求导数；（3）根据基本函数的导数公式及导数的运算法则求出各函数的导数，并把中间变量换成自变量的函数.举一反三：【变式1】求下列函数的导数： (1)； （2）（3）y=ln（x）； （4）【答案】(1)令,（2）令 （3）=（4） 类型五：求曲线的切线方程例8求曲线y=x3+2x在x=1处的切线方程.解析：，x=1时，y=3，切点为（1，3），切线斜率为5切线方程为y3=5(x1)，即y=5x2.总结升华: 求函数图像上点处的切线方程的求解步骤： 求出函数的导函数 求出导函数在处的导数（即过点的切线的斜率）， 用点斜式写出切线方程，再化简整理。举一反三：【变式1】求曲线在点处的切线的斜率，并写出切线方程.解析：切线的斜率.切线方程为，即.【变式2】已知，是曲线上的两点，则与直线平行的曲线的切线方程是_.【答案】的导数为.设切点，则.的斜率，又切线平行于，切点，切线方程为，即.【变式3】已知曲线.（1）求曲线上横坐标为1的点处的切线的方程；（2）第（1）小题中的切线与曲线是否还有其他的公共点？【答案】（1）将代入曲线的方程得，切点.，.过点的切线方程为，即.（2）由可得，解得或.从而求得公共点为，或.切线与曲线的公共点除了切点外，还有另外的点.例9已知直线为曲线在点（1，0）处的切线，为该曲线的另一条切线，且.（1）求直线的方程；（2）求由直线、和轴所围成的三角形的面积.解析：（1），直线的方程为.设直线过曲线上的点，则的方程为，即.因为，则有，.所以直线的方程为.（2）解方程组 得所以直线和的交点坐标为.、与轴交点的坐标分别为（1，0）、，所以所求三角形的面积为.举一反三：【变式1】如果曲线的某一切线与直线平行，求切点坐标与切线方程【答案】设切点坐标为切线在点的斜率为切线与直线平行， 斜率为4，或切点为（1，-8）或（-1，-12）切线方程为或即或【变式2】曲线在点（1，1）处的切线与轴、直线所围成的三