ANSYS结构分析的基本观念

第4章ANSYS结构分析的基本观念Basic Concepts for ANSYS Structural Analysis这一章要介绍关于ANSYS结构分析的基本观念，熟悉这些基本观念有助于让你很快地区分你的工程问题的类别，然后依此选择适当的ANSYS分析工具。在第1节中我们会对分析领域（analysis fields）做一个介绍，如结构分析、热传分析等。第2节则对分析类别（analysis types）作一介绍，如静力分析、模态分析、或是瞬时分析等。第3节解释何谓线性分析，何谓非线性分析。第4节要对结构材料模式（material models）作一个讨论并作有系统的分类。第5节讨论结构材料破坏准则。第6、7节分别举两个实例，一个是结构动力分析，一个是非线性分析来总合前面的讨论。这两个例子再加上第3章介绍过的静力分析例子，这三个例子可以说是用来做为正式介绍ANSYS命令（第5、6、7章）之前的准备工作。最后（第8节）我们以两个简单的练习题做本章的结束。第4.1节 学科领域与元素类型Disciplines and Element Types4.1.1 学科领域（Disciplines）我们之前提过，ANSYS提供了五大学科领域的分析能力：结傋分析、热传分析、流场分析、电场分析、磁场分析（电场分析及磁场分析可统称为电磁场分析），此外ANSYS也提供了耦合场分析（coupled-field analysis）的能力。为了能分析横跨多学科领域的耦合场，ANSYS提供了一些耦合场元素（coupled-field elements），但是这些元素还是无法涵盖所有耦合的可能性（举例来说，ANSYS并没有流场与结构的耦合场元素）。但是在ANSYS的操作环境下，再加上利用APDL Ref. 20，理论上可以进行各种耦合场分析（但是计算时间及收敛性常是问题所在）。下一小节将举几个例子来解说耦合场分析的含义，更详细的耦合场分析步骤你必须参阅Ref. 15。4.1.2 耦合场分析以下我们举三个例子来说明何谓耦合场分析。第一个例子是热应力的计算，这是最常会遇到的问题之一。当你进行热应力分析时，通常分成两个阶段：先做热传分析解出温度分布后，再以温度分布作为结构负载来进行结构分析，而解出应力值。在第一个阶段，热边界条件（thermal boundary conditions）是热传分析的负载，我们希望知道在此热边界条件之下，温度是怎么分布的。因为不均匀的温度分布会造成结构的翘曲变形，所以第二个阶段是希望知道在这些温度分布下结构的变形及应力。这是一个很典型的耦合场分析问题，因为结构怎么变形是依温度怎么分布而定，而温度如何分布则与结构如何变形（变形量很大时，几何形状会改变）有关，这种相依的关系就称为耦合（coupling）。严格来说，前述的分析程序（先做热传分析再做结构分析）观念上不是很正确的，较正确的做法应该是热传与结构分析必须同时进行，也就是说温度场及变位场必须同时满足热平衡及力平衡方程式（注意，热平衡方程式中含有几何条件，而力平衡方程式中含有温度分布条件，这些方程式是互相耦合的）。但是因为这类热应力分析的例子通常结构变形很小，结构的变形应该不至于影向温度分布。我们称此问题为单向的耦合（one-way coupling），即温度分布会影向结构的变形，但是结构变形不会影向温度分布（或是可以忽略）。这种情况下，可以先做热传分析解出温度分布后，再以温度作为结构负载来进行结构分析，所得到的解答应该是可以接受的。但是若结构变形很大，那么温度场和变位场就有很强的耦合性存在，我们称此问题为双向的耦合（two-way coupling），解答必须同时满足热平衡及力平衡方程式。第二个例子是结构和流体间的交互作用的问题，这是典型的双向耦合问题。想象一个大型结构体处在流体（譬如海岸或海中结构）之中，当结构受到地震侵袭时，结构震动的同时会压迫到流体，使得流体产生流场，此流场反过来又会作用到结构体，这样子就称为结构和流体间的交互作用。这显然是双向耦合的问题。我们举另外两个结构和流体间交互作用的例子。MEMS（微机电系统）中的一个固体组件在流场中，比如在micro pump中，利用薄膜结构来压迫流体使得流体流动。薄膜怎样变形当然会影向到流场的分布，同时流场当然也会影向到薄膜是如何变形的。另一个例子是想象在流体流过一片柔软的叶片，使得此叶片产生变形。叶片怎样变形当然会影向到流场的分布，同时流场当然也会影向到叶片是如何变形的。这些都是典型的双向耦合问题。第三个例子是1.1.4小节提到的thermal actuator。当此thermal actuator通过电流时会产生焦耳热，不均匀的温度分布使此悬臂梁往上翘曲。这种问题须先做静电场分析来求解电压的分布，及其产生的焦耳热。接着是热传分析，因为你知道有这么多的焦耳热以后，希望知道在稳态下（steady state）下这些热怎样分布在结构上的，也就是要去求得温度的分布。最后再做结构的分析。我们把它分成三个分析程序（静电场分析、热传分析、结构分析）。第二、三个分析程序可以视为单向耦合（所以你可以先做热传分析再做结构分析），可是在第一、二个分析程序时（即电、热分析），双向的耦合现象是蛮大的：温度的分布当然和焦耳热的产生有关系，而焦耳热会产生多少与温度的分布（譬如温度会影响电阻值）也很有关系。所以这种问题我们可以把它拆成两个阶段来分析，第一个分析阶段先进行电热耦合分析，所得到的结果是温度场，然后再去做结构的分析，求解变位场及应力场。4.1.3 元素类别ANSYS大概提供了二百多个元素类别（element types），为什么需要提供这么多的element types呢？我们先来看看这些element types的分类，也许就可以了解了。ANSYS elements的分类是这样子的：（一）依不同的学科领域有不一样的元素，如结构、热传、流场、电场、磁场、或耦合场等。（二）依是Dimensionality的不同而有不一样的元素，如3D、2D（平面）、甚至于1D（线性）的元素。（三）是根据几何形状而有不一样的元素。对2D来讲有三角形、四边形等，对3D来讲有四面体、六面体等。（四）根据element shape function的order 不同而有不一样的元素；ANSYS提供了linear和quadratic两种元素 Sec. 2.3.5，少数的元素还有提供了所谓p-element Ref. 11, Chapter 15. p-Method Structural Static Analysis。以这样来分类，其组合就可能有很多的元素类别了。举例来说，SOLID45，它是3D hexahedral linear structural element，PLANE82是2D quadralateral quadratic structural element，PLANE67是2D quadralateral linear coupled thermal-electric element。第4.2节 分析类别Analysis Types4.2.1 分析类别（Analysis Types）工程分析的问题可以依其解答是否随时间而变而区分成两大类别：其反应与时间无关的静态分析（static analysis，或称为稳态分析，steady-state analysis）及其反应随时间而变的动态分析（dynamic analysis）。对于结构分析而言，动态分析又可分成及瞬时分析（transient analysis）、模态分析（modal analysis）、和谐和反应分析（harmonic response analysis）三种（事实上还有其它类别的动态分析，但因较少用到，所以我们不打算介绍）。最后还有一种分析是结构分析专有的：稳定性分析（stability analysis）。我们知道一个结构若承受压力达某一程度时，虽然应力还未达破坏的程度，可是反应会开始呈现不稳定的现象，也就是说增加一点点的负载就会使得反应急速加大，这种现象又称为挫曲（buckling）。譬如承受轴向载重的柱子会挫曲、薄板会皱折等，都是buckling的现象 Sec. 7.1.1。结构分析通常我们可以分成上述五种分析类别：static、transient、modal、harmonic、buckling Ref. 5，ANTYPE Command。而其它的领域也可以分成几种类似的分析类别，如热传分析中，也有所谓静态分析（通常称为稳态分析，steady state analysis），及瞬时分析。但是热传问题中没有所谓模态分析或谐和反应分析。在电场的分析中则除了有静态分析（静电场分析）外、动态分析则有瞬时分析、模态分析、及谐和反应分析。以下几我们来说明这些分析类别的意义，我们采用数学的方式来讲说，因为这是最快、最简洁的解说方法（但不是最容易理解的方式）。4.2.2 瞬时动力分析在2.3.6小节我们介绍了结构的力平衡方程式（Eq. 2.17）。在这个力平衡方程式中，有两个力被故意忽略了（原因将在4.2.3小节说明），较完整的力平衡方程式其形式应该如下所示(4.1)上式中等号的右边代表作用在结构上的外力，这个外力 F 和等号的左边的三个力形成平衡的关系：惯性力（inertia force，M）、阻尼力（damping force，C）、及弹性力（elastic force，KD）。惯性力则是我们所熟悉的质量乘上加速度 M。阻尼力是结构物因为所有外部的摩擦（譬如结构与空气间）或内部的摩擦（结构材料内部本身）所引起的阻力。阻尼力通常被简化成与速度 成正比，而正比系数 C 称为阻尼系数。Eq. 4.1称为动力平衡方程式，它的解答是随着时间而变的，称为transient solution。Eq. 4.1代表瞬时分析的控制方程式，其中惯性力（M）与阻尼力（C）两项合称为动力效应（dynamic effect）。4.2.3 静态分析当Eq. 4.1中的阻尼力及惯性力可以忽略时，力平衡方程式变成Eq. 2.17的形式：(2.17)在什么情况下我们可以忽略阻尼力及惯性力呢？仔细观察Eq. 4.1，当变形速度 很小时我们可以忽略阻尼力 C；而当变形加速度 很小时我们可以忽略惯性力 M。所以通常是在变形速度及加速度很小时，Eq. 4.1可以简化成Eq. 2.17的形式，称为静力平衡方程式。Eq. 2.17代表静态分析的控制方程式。通常有两种情况符合变形速度及加速度很小的假设。第一个情况是所谓的稳态（steady-state）的情况。让我们想象下列情况，有一个弹簧上面挂在着重物，一开始挂上去时弹簧会上下上下的震动，但此震动会慢慢地减少（因为有阻尼力），最后会停在一个稳态的状态，此时弹簧是完全静止的（变形速度及加速度都是零）。所以如果我们关心稳态的反应（相对的，达到稳态之前的反应称为瞬时反应），可以直接去解Eq. 2.17就可以了。我们再强调这一点：所有的结构分析问题的本质都是动态的，可是当分析的目的是稳态的反应时，我们就只要进行静态分析（Eq. 2.17）就可以了。第二种情况纯粹是动态问题的近似解（approximation of dynamic solution），也就是虽是动态的问题，但是因为阻尼力及惯性力都足够小，所以把它们忽略掉。通常在变形速度很慢时，我们可以做这样的近似解，譬如以很慢的速度将外力作用于一个结构物时，结构的变形也必定很慢。注意，结构变形速度很慢时，并不表示变位很小。但是外力作用多慢才叫做够慢呢？以下是一个简单的准则。我们知道每一个结构都有它的基本共振周期（fundamental period，这个可以经由模态分析来求得），如果外力是反复作用时，如果这个反复的周期大于基本共振周期的3倍时，则阻尼力及惯性力常常可以被忽略掉 Ref. 3，Sec. 9.1。4.2.4 模态分析模态分析（modal analysis）是去求解结构在没有外力作用下的振动（称为自由振动，或自然振动）行为，包括自然频率（natural frequencies）及相对的振态（vibration modes）。想象一外力施于结构，使得结构开始振动，然后把此外力拿掉时，结构还是会继续振动，这就是没有外力下的自由振动。此时Eq. 4.1的右边 F 就变成 0，所以模态分析的控制方程式变成下列的样子(4.2)Eq. 4.2是一个特征值问题（eigenvalue problem）：你可以找到很多个解都能满足Eq. 4.2，而每一个解都相对一个特征值。这些特征值的物理意义与结构的自然振动频率（natural frequencies）有关，而其相对的解答就是其振态（vibration modes）。其中最低的自然频率又称为基本自然振动频率（fundamental frequencies）。有关特征值问题的细节，请参考线性代数（Linear Algebra）课本。我们为什么要知道自然频率呢？有时候，我们希望避开这些自然频率，避免结构产生共振破坏；譬如所有会旋转的零件，我们不希望其旋转频率和结构的自然振动频率太接近，以免产生共振现象。共振现象轻者会产生噪音，重者可能将结构振坏。相反的，有时候我们会利用共振现象来节省输入能量；譬如在以薄膜振动来压迫液体的micropump设计中，我们故意控制输入电流脉冲（electricity pulse）的频率与薄膜的自然振动频率一致，来节省输入能量。除此之外，基本自然频率可以给我们一个准则，可知道我们的结构变形是算快还是算慢（请参考4.2.3小节）。基本自然频率也可以代表结构整体的刚度：频率低表示结构的刚度很低（结构很柔软），相反的频率高表示结构的刚度很高（结构很坚硬）。结构的软硬程度视需求而有不同的设计，譬如刚性的高楼设计虽然比较不会摇动的太厉害，但是却不容易吸收地震能量；相反的柔性的高楼设计虽然会摇动比较大，但是往往可以吸收很大的地震能量，这有如竹子虽软却不易被风折断。振态（vibration modes）有何实用上的价值呢？从振态的形状（mode shapes）我们可以知道在某个自然共振频率下，结构的变形趋势。若要加强结构的刚性，你可以从这些较弱的部分来加强。比如说一个高楼的设计，如果经过模态分析后会发现，最低频的振态是在整个高楼的扭转方向（torsion），那表示这个方向的刚度是首先需加强的部分。4.2.5 谐和反应分析谐和反应分析（harmonic response analysis）可能是初学者较不容易了解的分析类别之一。每一个人都有荡秋千的经验，在秋千上适当的控制用力的时间点，秋千就能越荡越高；事实上你是利用了秋千（单摆）的自然振动频率。另外一个例子是在吊桥上时，一个人的力量就可以让很大的吊桥会摆动，你也是利用了吊桥的自然振动频率。事实上只要你顺着吊桥的自然振动频率同步地施与力量，一个人是可以把吊桥荡坏掉的。相同的现象也可以在很多机器或结构上。譬如一个会转动的机器（譬如马达、引擎等），而此机器架设在一个支撑结构（supporting structure）上面。当机器转动时，因为转动通常会有或多或少的偏心，这种偏心的转动会造成一个上下的反复力量作用在支撑结构上。如果这个转动的频率与支撑结构的自然频率很接近时，则这个支撑结构就会产生共振现象，其后果是噪音、很大的变形、甚至破坏。另一个例子是会转动的叶片（blade）本身的共振现象。叶片本身有自己的自然频率，如果叶片转动的频率和它自已本身的自然频率相近时，叶片就会开始振动，同样的，噪音、变形、破坏都有可能发生。以上的许多例子都是强调结构体本身产生共振现象，在共振发生时，理论上变形会被无限制地放大（所以必然破坏）；实际的情况是，因为有阻尼的效应，变形的放大是有限度的，但是有多大呢？谐和反应分析的目的就是在了解结构在周期性的外力作用下的结构反应。为何称为谐和（harmonic）？因为实务上周期性的外力通常可以用harmonic functions（即SINE或COSINE函数）来表示。所以harmonic response analysis的控制方程式亦可用Eq. 4.1来表示但是其中 F 包含harmonic functions，而且外力之间容许有一相差（phase difference）的存在。图4-1是一个结构在各种频率的周期性外力作用下的反应的例子 Ref. 11, Section 4.6. Sample Harmonic Response Analysis；横轴是外力的频率（由小至大），纵轴是某一特定点的变位量的振幅（也就是最大变位量）。注意，反应突然放大的地方代表共振现象。图4-1 Harmonic Response第4.3节 线性分析与非线性分析Linear Analysis and Nonlinear Analysis4.3.1 线性分析若结构的反应和负载是成线性的关系时，此结构就是线性结构，否则称为非线性结构；对一线性结构来做分析，就称为线性分析，对一非线性结构来做分析，就称为非线性分析。图4-2表示在线性分析中反应与负载的关系。以一个悬臂梁为例，负载可以是梁端的载重或沿着梁长度的载重，反应可以是梁端的变位，或是任何一点的变位、应力。LoadsResponses图4-2 Behavior of Linear Structures作者要强调一点：所有的结构严格来说都是非线性的，线性结构是一个理想化的假设。通常在什么样的条件下我们可以做这样一个理想化的假设呢？我们可以归纳成三个条件：（一）变形必须要很小；（二），应力应变关系必须是线性关系，也就是要符合虎克定律；（三），在整个变形过程中不可以有状态或topology的改变，也就是说本来是连在一起的，变形后不可以是分开的；或是反过来，本来是分开的部分，变形后不可以接触在一起的。这种问题最多的是接触（contact）的问题，另外破坏也是常遇到的状态的改变。基本上若符合以上三个假设，我们就可以认定结构是线性的。虽然这三个假设是蛮严格的，不过很多的时候，线性的假设都是可以接受的。尤其是当你只是要做一个结构行为上的探讨时，线性的假设能够很有效的去预测结构的各种行为，究竟它比一个非线性的分析要容易得多。4.3.2 非线性分析上一小节所讨论的线性结构三个条件中，只要有一个条件不能成立，我们就把它称为非线性结构。所以非线性结构可依此分类如下：（一）若是变形很大的情况时，则称为几何非线性（geometric nonlinearity）；（二）若是应力应变间不是线性的，则称为材料非线性（material nonliearility）；（三）若是有状态上的改变，则称为状态非线性（status nonlinearity）。很多实际的例子都是同时存在着一个以上的非线性特质，图4-3是一个方形空心断面承受轴向压力的变形图，因为上下对称所以只有显示上半部。此例子是三种非线性同时存在：一是此例为大变形（几何非线性）；二是通常在如此大变形情况下，应力应变关系常呈非线性关系，而且有部分变形是属于塑性的（材料非线性）；三是我们可以看到材料间有一部份已经接触在一起了（状态非线性）。图4-3 Nonlinear Structural Analysis第4.4节 材料模式Material Models4.4.1 材料模式在第2.2.4小节里我们提过6个应力与应变关系（如Eq. 2.11）是由适当的假设得到的。这6个描述材料特性的方程式称为材料的组构方程式（constitutive equation），方程式中的参数称为材料参数。Eq. 2.11（Hookes Law）所描述的是一个简单的应力应变关系，含有2个材料参数（E、G、n中任意两者）；这是最简单、最常用的材料模式，但是只是众多的材料模式（material models）之一而已。ANSYS提供了很多种的材料模式，去选用适当的材料模式是使用者的责任。要了解这些材料模式，我们必须先对一些名词做一些了解：什么叫elastic、plastic？什么是linear elastic、nonlinear elastic？什么是viscous、nonviscous？什么是homogenous、Heterogeneous？什么是isotropic、anisotropic？本节先解说这些名词后再有系统第介绍ANSYS所提供的各种材料模式。4.4.2 弹性与塑性材料通常材料模式都是以应力应变曲线（或是应力应变率曲线）来描述的。图4-4的是某一材料进行单轴拉伸试验所得到的应力应变曲线。当应力达到某一点而将应力解除之后，应力应变曲线会回到原点，亦即外力解除后会恢复到未变形前的几何形状，这种材料就称为为弹性材料（elastic material），如图4-4所示。图4-4a是应力解除后，应力应变曲线循着原来的路径回到原点，而图4-4b是应力解除后，应力应变曲线虽然回到原点但并不是循着原来的路径；这两种情形都称为弹性材料。注意图4-4b的应力应变曲线围绕的面积代表一部份的能量损失，这些能量损失通常是以热的方式储存在材料中或散播出去（想象高速行进中的橡胶轮胎的发热现象）；这个现象我们称为磁滞现象（hysterisis）。这种复杂的现象不在本书的讨论范围内，ANSYS也不支持这种材料模式。若弹性材料的应力应变曲线成直线，则称为线性弹性（譬如低碳钢在很小的应力下会呈现线性弹性，如图4-4c所示），否则称为非线性弹性（如图4-4a所示）。线性弹性材料通常以Eq. 2.11（Hookes Law）来描述。StressStrain(a)StressStrain(b)(c)StressStrain图4-4 Elastic Material:(a) Nonlinear Elastic, (b) Hysteresis Elastic, (c) Linear Elastic图4-5是另一种可能的材料行为：将应力解除后，曲线并没有回到原点，而是有一残留应变（residual strain，塑性应变或plastic strain），我们称此种材料为塑性材料（plastic material）。注意，应力解除后的曲线常呈现一直线；而在应力应变曲线图里所围成的区域也是代表了一种能量的损失，通常也是以热的方式储存在材料中或散播出去。塑性材料（想象碳钢在大变形下）如果经反复的施与应力，则一方面会产生热，另一方面会有塑性变形的累积，两者都可能对材料产生破坏。ANSYS提供了蛮多的塑性材料模式供你选择。StrainStress图4-5 Plastic Material4.4.3 黏滞性与非黏滞性材料一般的金属材料，反应和负载几乎是同步的；外力作用后，变形几乎是瞬间发生的，这种材料称为非黏滞性材料。图4-6代表非黏滞性材料的应力、应变、与时间的关系；我们将它们画成两个图，其横轴都是时间，纵轴则分别是应力及应变。当施与应力时，应变是与应力是同步发生的，也就是应力增加、变形跟着增加，应力减少、变形也跟着减少；这是大部分金属材料在固态时的特质之一。TimeStressTimeStrain图4-6 Non-viscous Material相对的，许多材料（会流动的材料，譬如金属在液态时、或是许多高分子材料），应力和应变的发生不是同步的，如图4-7所示：应力增加时，应变不会马上增加，而会有一个时间的延迟；相对的，应力减少时，应变也不会马上的减低下来，也是会延迟一段时间才减低下来。这种变形有时间延迟的效应，我们称之为黏滞性的效应，这种材料称为黏滞性材料（viscous material）。黏滞性的现象事实上是流动的现象，所以黏滞性材料是介于固体与流体间的材料，其材料模式通常非常复杂。实务上，这种材料模式常应用在下列情形：（一）是在高温下（约熔点的一半以上）的金属，（二）是高分子材料。TimeStressTimeStrain图4-7 Viscous Material为了更清楚地来描述黏滞效应，我们常用creep或stress relaxation两个现象来量化黏滞效应。Creep和stress relaxation是一体的两个面、是黏滞性材料的两个很重要的现象、也是黏滞性材料的标准化实验之一。图4-8是creep实验的示意图（creep的意义就是蠕动，或是很慢的流动）：在一个黏性材料施以固定的应力（上图），你会发现应变会随着时间慢慢增加（下图）。注意，图4-8中，当应力刚施加时，会有一段瞬间的初始应变，这是固体的特质之一，紧接着应变才慢慢增加，这个部分比较接近流体的特质。一个简单的creep的例子是受固定应力的橡皮筋，它会随着时间的增加而被越拉越长（实验可能需进行几天的时间）。塑料水桶装满水后（固定应力），一年后可能会变大一点（变形增加）。注意，甚至于埋在钢筋混泥土中的一条钢筋受应力后，在长温下几十年后也有可能变形增加，但是这么小的creep现象在工程上大部分是可忽略的。TimeStressTimeStrain图4-8 Creep图4-9是stress relaxation实验的示意图：这次我们维持固定的应变，一开始会有一个瞬间产生的应力，但这个应力会随时间慢慢的减少。以橡皮筋为例，当你让它保持固定的拉伸量时，你所需要施与的力量会越来越小。当你用塑料绳绑东西，几天后会松弛，所以你最好使用较大的预应力（绑紧一点）。TimeStrainTimeStress图4-9 Stress Relaxation4.4.4 均质与非均质材料均质（homogeneous）材料与非均质（heterogeneous）材料应该是比较容易了解的观念。当一个材料中每一点的材料性质（material properties）都一样时，即称为均质性材料，反之则称为非均质性材料。注意，当我们说每一点的材料性质都一样时，要看是在什么尺度下观察。在微粒子（质子、中子、电子）的尺度下，没有任何材料是均质性的。但是对有限元素分析而言，观察的尺度是远远大于这个尺度的，所以许多材料可以视为是均质的（譬如碳钢）。但是还是有很多的材料是非均质性的，比如说许多复合材料（譬如层板）。不过如果你关心的是结构的整体行为复合材料还是可以在某个尺度上视为均质性材料。ANSYS永远假设在单一的元素内部是均质的。这换句话说，如果你有两种材料合并在一起时，一个元素不可以横跨两种材料。通常我们可以指定不同的元素有不同的材料性质，用这样来处理非均质性材料。4.4.5 等向性、非等向性、与正交性材料等向性材料（isotropic material，iso是equal的意思，tropic是direction的意思，所以isotropic意思就是equal direction）就是对材料中的每一个特定点而言，其每一个方向的材料性质都一样。反之则称为非等向性（anisotropic）材料。注意，等向性与均质性是两个独立的名词，没有任何关系，所以均质的等向性材料、非均质的等向性材料、均质的非等向性材料、或非均质的非等向性材料都是可能的。在第二章时我们提到的虎克定律的公式（Eq. 2.11），事实上是等向性线性弹性材料的公式。非等向性线性弹性材料则可以用下列的关系是来描述：(4.3)其中 e 及 s 定义如Eq. 2.7及Eq. 2.4，因为它们都是6x1的向量，所以 D必然是6x6的矩阵，这个矩阵可以证明是对称的，所以一般的非等向性线性弹性材料含有21个材料参数。有很多非等向性材料呈现了正交性（orthotropic）：材料的对称面（material symmetry）互相正交。很多人造的的复合材料都呈现了正交性，譬如说层板（laminated plates）等。虎克定律（Eq. 2.11）可以直接延伸至正交性材料：(4.4)Eq. 4.4代表正交性线性弹性材料的应力应变关系，它含有12个材料参数：Ex、Ey、Ez、Gxy、Gyz、Gzx、nxy、nyz、nxz、nyx、nzy、nzx。其中Ex是x方向的Youngs modulus，Gxy是x-y平面上的shear modulus，而nxy代表因为y方向的拉伸所造成的x方向的Poissons effect，其它符号则依此类推。在ANSYS中， nxy、nyz、及nxz称为major Poissons ratios（以PRXY、PRYZ、及PRXZ输入），而nyx、nzy、及nzx称为minor Poissons ratios（以NUXY、NUYZ、及NUXZ输入）。广泛而言，nxy与nyx（nyz与nzy、nxz与nzx）可能不相等，但是它们之间有下列关系：(4.5)所以正交性线性弹性材料含有9个独立的材料参数。以上的介绍取材自Ref. 7, Sec. 2.1.1. Stress-Strain Relationships。正交性材料的例子并不少见，许多人造的复合材料为了发挥材料的最大效益，分别在不同方向设计成不同的刚度或强度，而且常常设计成正交性的。自然存在的非等向性材料（譬如结晶体）却不尽然具正交性，此时材料模式必须以Eq. 4.3来表示。目前应用最广的非等向性（非正交性）材料可能是单晶硅（monocrystalline silicon）了。4.4.6 ANSYS材料模式了解以上这些基本的名词以后，我们就可以对材料来做一个分类了。图4-10是材料模式的分类。我们先把材料分成黏滞性、非黏滞性；然后又分别可分为弹性和塑性；而弹性又可分成线性和非线性。有些超大变位的弹性材料，如橡胶或发泡材料，因为它还有其它特征所以另外有特殊的材料模式，叫做超弹性，表示在很大的变形范围之下，仍会回到原状。材料分类材料模式名称非黏滞性材料弹性线性线性弹性材料非线性非线性弹性材料超弹性材料塑性塑性材料黏滞性材料弹性线性线性黏弹材料非线性非线性黏弹材料塑性黏塑性材料图4-10 Classification of Material Models最后要强调的是：要选择什么材料模式是分析工程师（ANSYS使用者）的责任，他要考虑许多情况而定，譬如负载大小、变形速率、温度等等。举个例子来说，一个钢铁的材料在很小的负载、常温下，几乎都可以当成是线性材料。可是随着负载增加，材料的变形就增加，非线性行为就开始显现；在高温度之下，非线性行为就更明显，甚至也会有黏滞性行为出现。一般的金属材料，其温度高到约熔点的一半的时侯，就开始会有流动（黏滞性）的行为显现出来。举个例子来讲，锡球在常温之下可视为非黏滞性，但是在生产在线，锡球常常被加热到摄氏200以上，此时就会有些黏滞性的行为会有一些无法回复且会逐渐累积的永久变形。事实上，所有的材料，或多或少都有一些非线性、塑性、黏滞性的行为，但是常常可以适当地去忽略这些行为。很多材料以线性材料的模式来分析常常是可以接受的。第4.5节 材料的破坏准则Failure Criteria of Materials4.5.1 延展性与脆性材料有两个名词跟材料的破坏行为有关，一个是延展性（ductile），另一个是脆性（brittle）。当一材料在破坏之前有很大的变形能力，我们说这是延展性材料，如图4-11所示。相反的，在材料破坏之前没有很大变形能力的材料称为脆性材料，如图4-12所示。顺便一提的是韧性（toughness）常常和延展性（ductility）混淆：toughness是破坏前所吸收的总能量，亦即应力应变曲线下的面积；而ductility是指破坏时的应变量。StrainStress图4-11 Ductile MaterialStressStrain图4-12 Brittle Material为什么要知道一个材料是延展性还是脆性呢？因为这和材料的破坏行为有关系：一个脆性的材料，它的破坏通常是张力破坏，延展性材料则通常是剪力破坏。我们分析过一个结构后，我们最感兴趣的输出值之一是应力值，应力值通常会和某一标准值（critical value）来做比较，当应力值比这个标准值大时，我们就认为材料会破坏。那么这个应力值是指正应力还是剪应力？标准值又是指什么呢？以下我们分为脆性材料及延展性材料来讨论，这些内容可以在任何材料力学课本找到（譬如Ref. 24）。4.5.2 脆性材料的破坏准则脆性材料通常是张力破坏。这可以从材料的拉伸试验观察出来：其破坏情形通常是直接裂开。所以我们可以拿最大的主应力s1来和材料的抗张强度su做比较，若(4.6)则可以认定此点已破坏。这个准则叫做最大主应力准则（maximum principle stress criteria）。4.5.3 延展性材料的破坏准则一个延展性材料的破坏通常是剪力破坏。从拉伸试验中，我们可以看到其破坏常是以接近45度角的裂纹破坏，藉此我们可以验证延展性材料常是剪力破坏。既然是剪力破坏，我们可以来检视某一点的剪应力是不是大于材料本身的抗剪强度。由基本的材料力学知识（利用Mohr圆），我们知道剪应力可以计算如下：其中s1为最大主应力（maximum principal stress）而s3是最小主应力（minimum principlal stress）。同样的，我们可以计算抗剪强度ty（shear strength）如下其中sy是单轴拉伸试验中的降服应力（yield stress）。因此对延展性材料而言，若剪应力大于抗剪强度时，亦即或(4.7)则可以认定此点已破坏。这个准则叫做Tresca破坏准则。在ANSYS中，Eq. 4.7中的 s1 - s3 称为应力强度（stress intensity）。注意，stress intensity不要和stress intensity factor混淆，后者是破坏力学的专用名词 Ref. 11, Sec. 10.2.2.1. Stress Intensity Factors。另外有一个称为von Mises的破坏准则比Tresca破坏准则较不容易了解，但是却比较实用（意思是比较接近实际的情况），尤其是金属材料。von Mises准则的构想也是考虑剪力破坏，我们将它描述如下：对延展性材料而言，若或(4.8)则可以认定此点已破坏（或降服）。Eq. 4.8中的se有几个名称： von Mises stress、equivalent stress、或是effective stress，在ANSYS里喜欢称为equivalent stress。最后再总结一次：延展性材料通常用von Mises 破坏准则（Eq. 4.8），而脆性材料通常使用最大主应力准则（Eq. 4.6）。第4.6节 实例：动态分析Example: Dynamic Analysis4.6.1 问题描述本节的例子是动力分析的介绍。再次考虑3.3.1小节所描述的例子，这次假设所有负载都是突然作用到悬臂梁上的。这样的负载示意在图4-13中：在时间等于零之前，所有的负载都是零，然后突然有一集中载重P = 100N及分布载重Q = 1 MPa作用到悬臂梁上（固定端的变位在时间等于零之前是零，之前也是零，所以没有任何变化）。你可以想象在这样的冲击载重下，这根悬臂梁会开始振动，然后因为阻尼的效应（大部分是因为材料内部的模擦，少部分来自悬臂梁与周遭空气的摩擦）振幅会慢慢减小，最后静止。此静止的状态就是所谓稳态（steady-state），亦即3.3节中静力分析的结果（自由端保持0.17 mm的变位）。稳态之前的振动，称为瞬时（transient）。假设你在设计此承受冲击力的悬臂梁，如果只做静力分析，那么可能会低估了反应值。因为瞬时的反应通常比稳态要大，常常可以超过50%。因为动力分析往往非常耗时，所以设计实务上，常常用静力分析后，再将反应值乘上一个系数（譬如1.5），而省略了冗长的动力分析。这个系数称为冲击系数（impact coefficient）。本例的目的之一是要评估此冲击系数。TimeLoad0图4-13 Impact Loads4.6.2 ANSYS分析程序Procedure 4-1 悬臂梁结构动力分析0102030405060708091011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768697071727374757677787980FINISH/CLEAR L = 60 H = 10 B = 6 E = 200000 NU = 0.3 RO = 7.85E-6 DMP = 0.001 SIZE = 3 Q = 1 P = 100/PREP7 K, 1, 0, -H/2, -B/2 K, 2, 0, H/2, -B/2 K, 3, 0, H/2, B/2 K, 4, 0, -H/2, B/2 K, 5, L, -H/2, -B/2 K, 6, L, H/2, -B/2 K, 7, L, H/2, B/2 K, 8, L, -H/2, B/2 V, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 /VIEW, 1, 2, 3 VPLOT ET, 1, SOLID45 MP, EX, 1, E MP, NUXY, 1, NU MP, DENS, 1, RO MP, DAMP, 1, DMP TYPE, 1 MAT, 1 ESIZE, SIZE VMESH, ALL FINISH/SOLU NSEL, S, LOC, X, 0 D, ALL, ALL, 0 NSEL, S, LOC, Y, H/2 SF, ALL, PRES, Q NSEL, ALL N1 = NODE(L,-H/2,-B/2) N2 = NODE(L,-H/2,B/2) F, N1, FY, -P/2 F, N2, FY, -P/2 ANTYPE, TRANS TIME, 0.1 KBC, 1 DELTIM, 0.001 OUTRES, BASIC, ALL SOLVE FINISH/POST1 SET, LIST SET, LAST /VIEW, 0, 0, 1 PLNSOL, S, X FINISH/POST26 NSOL, 2, N1, U, Y, UY PLVAR, 2 PRVAR, 2 FINISH/POST1 SET, 0.008 PLNSOL, S, X材料性质 Procedure 4-1是完整的分析程序。从第1行到第52行，和Sec. 3.4.2的静力分析（Procedure 3-1）几乎是完全一样的，不一样的地方是我们加上了第9、10、33、34行。第9、33行中的RO代表质量密度（mass density，SI单位Kg/m3），第10、34行中的DMP 代表阻尼（damping，无单位），两者都是材料性质。在进行动力分析时（包括transient、modal、harmonic），质量密度是一定要输入的，因为计算惯性力就是根据这个材料性质的。至于阻尼则是可以不输入的，但是一个没有阻尼的结构物，震动会一直持续不停，如图4-14所示。从能量的观点来看，当一个结构系统被输入一定的能量时，部分能量会使结构产生变形，以应变能的方式储存在材料内，其它的能量因为摩擦而消耗掉了，而且以热、声音等形式消散掉，这就是阻尼的效应。在ANSYS中输入阻尼的方式是蛮复杂的，在这里我们只是把它当成材料性质输入（第34行）。但是阻尼的数值意义因为相当复杂我们暂时不予详细说明，而延迟到第15章才来讨论。本例中我们暂时估计DAMP = 0.001（第10行），意思是元素的阻尼矩阵是刚度矩阵的千分之一 Sec. 2.3.6，你可以改变这个值试试看，它会影响震动的行为（振幅及延续时间），但是影响不至于太大。图4-17则是含阻尼（假设DAMP = 0.001）的结果，纵轴是梁端的变位，横轴是时间。图4-14是将本实例完全忽略阻尼（DAMP = 0）的结果。图4-14 Tip Displacement vs. Time (without Damping)分析类别 到第52行为止已经完成了分析模型的建构。第59行（SOLVE）是去解这个分析模型，但是在此之前，我们有一些与解题有关的参数需要设定。第54行（ANTYPE）指定分析类别 Sec. 4.2 是瞬时分析 Sec. 4.2.2。ANTYPE的command default Sec. 3.3.6 是静态分析，这就是为什么我们在3.3节的例子中并没有去指定分析类别的原因。动力分析解题参数 一个瞬时的