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第 九 讲课题：7-10 向量内积的定义和基本性质知识目标1、了解平面向量内积的物理背景,理解内积的含义及其物理意义；2、体会平面向量的内积与向量投影的关系，理解掌握内积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的运算和判断；3、体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括和推理能力。能力目标用平面向量的内积的性质和运算律进行相关的运算和判断。重点难点1、重点：平面向量内积的含义，性质，运算律及其应用；2、难点：平面向量内积的概念及平面向量内积的具体应用。时量90分钟教学方式设计1、课前复习（10分钟） 2、向量内积的概念与性质（20分钟）；3、向量内积的坐标运算及运算律（25分钟）；4、坐标化的向量内积（25分钟）；5、课堂练习及布置作业（10分钟）。教学过程一、向量内积的概念与性质1、两向量的夹角已知两个非零向量和，作，则是向量与的夹角，记作。规定 B 注：与同向时， ； 与反向时， ； O A 时， 。 2、内积的定义注：的结果是一个实数，可以等于正数、负数、零；叫做在方向上射影的数量。3、内积的性质如果是单位向量，则；或； 二、向量内积的坐标运算及运算律1、内积的坐标运算 若，则2、内积的运算律； ； 注：一般地，。也就是说，向量内积没有“乘法的结合律”。三、坐标化的向量内积1、设，我们如何用表示呢？ 设和为任意两个向量，且两向量的夹角为 因为, 根据前面的定义， 所以，我們用 (各分量相乘相加)表示。结论：设（1）（2）若与皆不为0，则（向量与角度的关系）（3）若向量与不为0，（4）若，夹角。（向量与长度的关系）（5）由与可知内积与求角度、长度都有关系，这也是内积重要的地方。【例1】 已知，求【解】，且 【例2】已知，求【解】， ，且 “已知两向量的直角坐标，求夹角”，只需求出和，再用向量夹角公式即可。【例3】已知三点，求【分析】先求出向量、的坐标，再用向量内积的坐标公式即可解【例4】已知A（7，5），B（2，3），C（6，-7），求证ABC是直角三角形【分析】先可利用三点坐标分别求出向量、的坐标，然后验证其中两个内积为零，即说明两个向量垂直，从而，知ABC是直角三角形【例5】在ABC中，已知，求的大小。【分析】由可联想到“找向量、的关系”；已知式是向量的长度关系，可根据公式转化成向量之间的关系，从而找到突破口。【解】 即，故 教学小结 1. 向量内积的概念与性
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