中央电大《经济数学基础》课件

导数的计算,经济数学基础,1.4.1 函数连续性的概念,相应的函数的改变量（增量）:函数的终值 与初值 之差 称为自变量的改变量，记为,1.改变量（增量）：,函数的连续性,当自变量由初值 变化到终值 时，终值与初值之差 称为自变量的改变量，记为,定义1： 设函数 在点 的某邻域内有定义，当自变量在点 处有增量 时，相应的函数有增量 ,如果当自变量的增量 趋于零时，函数的增量 也趋于零，即则称函数 在点 处连续，点 称为函数的连续点,2.连续,若记 ，则 ，且当 时，,故定义1又可叙述为,注：,定义2：设函数y = f (x)在点 的某邻域内有定义，若有 ,则称函数y = f (x) 在点 处连续.,（1）定义1与定义2是等价的, 即,由左右极限定义可定义左右连续定义,（2）由定义2可知若函数 在点 处连续，则函数 在点 处的极限一定存在，反之不一定连续,（3）当函数 在点 处连续时，求 时，只需求出 即可,定义3：若函数 满足 ，则称函 数 在点处左连续。 同理可以定义右连续,3、左右连续,4、区间连续,定义4：若函数 在（a , b）内每一点都连续 ，则称函数 在（a , b）内连续。,由定理3可知：函数 在点 处连续既左连续又右连续即,证明 y = sin x在 内连续,例1,证,对任意,有,因为,所以,故 在 内连续,定义5 若函数y = f(x)在（a , b）内每一点都连续，且在左端点a 处右连续，在右端点b处左连续，则称函数y = f (x)在a , b上连续。,1.4.2 函数的间断点及其分类,则一定满足以下条件,如果f(x)在点不能满足以上任何一个条件，则点 是函数 的间断点。,1.可去间断点：,如果函数在点 的极限存在，但不等于 ，即,则称 为 的可去间断点。,例2,解,所以x =1为可去间断点重新定义新的函数：,则x=1成为函数的连续点,2.跳跃间断点：,例3,所以 x =1为跳跃间断点,左右极限存在不相等,当 时，函数值不断地在两点之间跳动，左右极限均不存在,3.无穷间断点,f(x)在点 的左、右极限至少有一个是无穷大，则称 为f(x)的无穷间断点,例4 x=0为无穷间断点,4.振荡间断点,例5,x=0是其振荡间断点,间断点的类型：,第一类间断点: 我们把左右极限都存在的间断点称为第一 类间断点.,第二类间断点: 除第一类以外的间断点,即左右极限至少有 一个不存在的间断点称为第二类间断点.,例6,解,函数在x= -1 , x = 0 , x = 1处没有定义,所以x= -1 , x = 0 , x = 1是函数的间断点,所以x = -1是函数的无穷间断点,所以x= 0是函数的跳跃间断点,(),(),所以x= 1是函数的可去间断点,解,分界点为 x =1,x =2,（i）当 x=1时,所以 x= 1 是函数的跳跃间断点,(),例7,（ii）讨论 x=2,而f(2)=5,所以x= 2是函数的连续的点,因此,分段函数的分界点是可能间断点,设函数y = f(u)在点 处连续,u= f (x)在点 处连续,且 ,则复合函数 在点 处连续.,1.4.3 初等函数的连续性,定理1,单调连续函数的反函数在其对应区间上也是单调连续函数。,设f(x),g(x)均在点 处连续,则 也在处连续,因此,基本初等函数在其定义域内连续.,定理2,定理3,即：,因此,一切初等函数在其定义区间内连续.,2.1.1 引出导数概念的实例,例1 平面曲线的切线斜率 曲线 的图像如图所示,在曲线上任取两点 和 ，作割线 ，割线的斜率为,2.1 导数的概念,这里 为割线MN的倾角，设 是切线MT的倾角，当 时，点N沿曲线趋于点M。若上式的极限存在，记为k，则此极限值k就是所求切线MT的斜率，即,当 趋向于0时，如果极限,设某产品的总成本C是产量Q的函数，即C=C(Q )，当产量Q 从 变到 时，总成本相应地改变量为 当产量从 变到 时，总成本的平均变化率,存在，则称此极限是产量为 时总成本的变化率。,例2 产品总成本的变化率,定义 设y=f(x)在点x0的某邻域内有定义， 属于该邻域，记 若存在，则称其极限值为y = f (x)在点x0 处的导数，记为,或,2.1.2 导数的概念,三、导数的几何意义,当自变量 从变化到 时，曲线y=f(x)上的点由 变到,此时 为割线两端点M0，M的横坐标之差，而 则为M0，M 的纵坐标之差，所以 即为过M0，M两点的割线的斜率.,曲线y = f (x)在点M0处的切线即为割线M0M当M沿曲线y=f(x)无限接近 时的极限位置M0P，因而当 时，割线斜率的极限值就是切线的斜率.即：,所以，导数 的几何意义是曲线y = f (x) 在点M0(x0,f(x0)处的切线斜率.,M0,M,设函数y=f(x)在点处可导，则曲线y=f(x)在点处的切线方程为： 而当 时,曲线 在 的切线方程为,(即法线平行y轴).,当 时,曲线 在 的法线方程为,而当 时,曲线 在 的法线方程为,例3 求函数 的导数解: (1)求增量: (2)算比值: (3)取极限: 同理可得:特别地, .,例4 求曲线 在点 处的切线与法线方程.解:因为 ,由导数几何意义,曲线 在点 的切线与法线的斜率分别为: 于是所求的切线方程为:即法线方程为:,即,2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则,2.2 导数的运算,特别地,如果,可得公式,注：法则（1）（2）均可推广到有限多个可导函数的情形,例：设u=u(x),v=v(x),w=w(x)在点x处均可导，则,解：,例2 设,解：,例1,解：,即,类似可得,例3 求y = tanx 的导数,解：,即,类似可得,例4 求 y = secx 的导数,基本导数公式表,2.2.2 基本初等函数的导数,例5,例7,解：,解：,例6,解一,例11,两边对x求导，由链导法有,解二称为对数求导法，可用来求幂指函数和多个因子连乘积函数、开方及其它适用于对数化简的函数的求导,注：,解二,记作,或,二阶导数：,如果函数f(x)的导函数,仍是x的可导,函数，就称,的导数为f(x)的二阶导数，,n阶导数：,二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数,2.2.6 高阶导数,2,2,),(,dx,x,f,d,解：,特别地,例15,解：,即,同理,例14,2.3.1 微分的概念,2.3 微分,所以上式可写成,于是,（2.3.1)式可写成,记为,于是函数,，称自变量的微分，,上式两端同除以自变量的微分，得,因此导数也称为微商,可微函数：如果函数在区间(a , b)内每一点都可微， 则称该函数在(a , b)内可微。,f (x)在点x0 处的微分又可写成,f(x) 在(a,b)内任一点x处的微分记为,解：,于是,面积的微分为,解：面积的增量,2.3.2 微分的几何意义,2.3.3 微分的运算法则,1. 微分的基本公式：,续前表,解：,解：对方程两边求导，得,即导数为,微分为,例4,2.3