2013-2014学年高中数学人教a版必修四同步辅导与检测：111任意角

三 角 函 数,1.1任意角和弧度制1.1.1 任意角,1理解任意角的概念，特别是象限角、区间角、终边相同的角的概念及其表示法2了解正角、负角、零角的概念3体会并注意数形结合思想的应用,基础梳理,一、任意角1任意角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形射线的起始位置是角的_，射线的终止位置是角的_，射线的端点是角的_练习1：下列说法正确的是()A最大角是180 B最大角是360C角不可以是负的 D角可以任意大小,始边,终边,顶点,解析：由角的定义，角可以是任意大小的故选D.答案：D,2正角、零角、负角概念：按旋转方向，角可以分为以下三类：(1)_按_方向旋转所形成的角；(2)零角射线_作任何旋转形成的角；(3)_按_方向旋转所形成的角练习2：时钟的分针经过15分钟旋转的角为()A15B90C15D90,2(1)正角逆时针(2)没有 (3)负角顺时针练习2：解析：时针的分针是按顺时针旋转形成的角，所以为负角故选D答案：D,思考应用,1定义了任意角后，角的范围是怎样的？,解析：由角的定义，角的大小可以是任意的，角的范围不再限于0，360,二、象限角和轴线角1象限角：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合时，角的终边在第几象限，就把这个角叫做_的角练习3：下列哪个角是第三象限角()A15 B105C215 D315解析：21518035，215是第三象限的角，故选C.答案：C2轴线角：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合时，如果角的终边落在_上，就把这个角叫做轴线角,第几象限,坐标轴,思考应用,2直角坐标系中角的分类与初中学习的锐角，直角，钝角，平角，周角的分类有何不同？,解析：直角坐标系中角的分类是根据角在坐标系内终边的位置而定义的，而初中学习的角的分类是根据角的范围而定义的，通过定义比较我们可以知道锐角是第一象限的角，钝角是第二象限的角，直角，平角，周角都是轴线角但要注意反之则不然，也就是说第一象限的角不都是锐角,三、终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合为_ 即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和练习4：与角30终边相同的一个角是()A150 B30C390 D300,解析：39036030，390与30终边相同，故选C.答案：C,思考应用,3终边相同的角相等吗？,解析：由终边相同的角的定义可知，相等的角，终边一定相同；终边相同的角不一定相等终边相同的角有无数多个，它们相差360的整数倍,自测自评,1下列哪个角是第四象限角()A15 B105C215 D3152下列各角中与60角终边相同的角是()A150 B30 C390 D300,D,D,3若是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是()A90 B90C360 D180,解析： 是第一象限角，k3600k36090，kZ，k36090k3600，kZ，k360270360k360360，kZ，360是第四象限角，答案选C.答案：C,4下列命题：一个角的终边在第几限，就说这个角是第几象限的角；1400的角是第四象限的角；300的角与160的角的终边相同；相等的角的终边一定相同；终边相同的角一定相等其中正确命题的序号是_,解析1400的角与320的角的终边相同，而32036040是第四象限的角，1400的角是第四象限的角对30036060，300的角与60的角的终边相同错又由相关定义知正确，不正确故答案应填.答案：,角的有关计算,钟表经过30分钟，时针转了多少度？分针转了多少度？解析： 钟表经过30分钟，时针按顺时针方向转了30 15，表示15；分针也按顺时针方向转了30 180，表示180.,跟踪训练,1若将钟表拨慢30分钟，则时针转了多少度？分针转了多少度？,解析： 钟表拨慢30分钟，时针按逆时针方向转了30 15，表示15；分针也按逆时针方向转了30 180，表示180.,象限角的确定,已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，在0360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角(1)150；(2)730；(3)795；(4)95018.解析： (1)150360210，在0360在范围内，终边与150相同的角是210，它是第三象限角；(2)730236010，在0360在范围内，终边与730相同的角是10，它是第一象限角；,(3)7953360285，在0360范围内，终边与795相同的角是285，它是第四象限角；(4)95018236023018，在0360范围内，终边与95018相同的角是23018，它是第三象限角；点评：象限角的判定有两种方法：一是根据图象，二是将角转化到0360范围内利用图象判断时，依据的还是终边相同角的思想为什么转化到0360范围内就可以判定呢？那是因为0360范围内的角与坐标系中的射线可以建立一一对应关系，也就是说在直角坐标系内，在0360范围内没有两个角终边是相同的,跟踪训练,2指出下列各角是哪个象限的角？(1)420；(2)75；(3)855；(4)510.,解析：(1)42036060，420与60终边相同，故为第一象限角(2)75显然为第四象限角(3)8552360135，855与135终边相同，855为第二象限角(4)5102360210，510为第三象限角答案：(1)第一象限角；(2)第四象限角；(3)第二象限角；(4)第三象限角,终边相同的角的表示,分别写出终边落在以下直线上的角的集合：(1)终边落在x轴上；(2)终边落在直线yx上解析：(1)在0360范围内，终边落在x轴上的角有0和180，与0角终边相同的角的集合为S1|k360，kZ，与180角终边相同的角的集合为S2|180k360，kZ故终边在x轴上的角的集合为：,SS1S2|k360，kZ|180k360，kZ|2k180，kZ|(2k1)180，kZ|k180，kZ(2)在0360范围内，终边落在直线yx上的角有45和225，与45角终边相同的角的集合为：S3 ，与225角终边相同的角的集合为：S4 ，,故终边在直线yx上的角的集合为：SS3S4|45k360，kZ|225k360，kZ|452k180，kZ|45(2k1)180，kZ|45k180，kZ点评：终边相同的角具有重要意义，其核心是周期现象那么如何探求终边相同的角呢？将角转化到0360范围内是有效的就本题而言，还必须熟练地进行集合的合并,跟踪训练,解析：4572360263，457与263是终边相同的角，选C.答案：C,4分别写出终边落在以下直线上的角的集合：(1)终边落在y轴上；(2)终边落在直线yx上；(3)终边落在坐标轴上,解析：(1)在0360范围内，终边落在y轴上的角有90和270，与90角终边相同的角的集合为：S1 ，与270角终边相同的角的集合为：S2|270k360，kZ，故终边在y轴上的角的集合为：SS1S2|90k360，kZ|270k360，kZ|902k180，kZ|90(2k1)180，kZ .,(2)在0360范围内，终边落在直线yx上的角有135和315，与135角终边相同的角的集合为：S3 ，与315角终边相同的角的集合为：S4|315k360，kZ，故终边在直线yx上的角的集合为：SS3S4|135k360，kZ|315k360，kZ|1352k180，kZ|135(2k1)180，kZ|135k180，kZ,(3)在0360范围内，终边落在坐标轴上的角有0，90，180和270.与0角终边相同的角的集合为S5与90角终边相同的角的集合为S6|90k360，kZ|(4k1)90，kZ，与180角终边相同的角的集合为S7|180k360，kZ|(4k2)90，kZ，与270角终边相同的角的集合为S8|270k360，kZ|(4k3)90，kZ，故终边在坐标轴上的角的集合为：SS5S6S7S8 .,区间角的表示,已知集合A|k18030k18090，kZ，集合B|k36045k36045，kZ，求AB.解析：A|k18030k18090，kZ，当k2n，nZ时，A|n36030n36090，kZ，当k2n1，nZ时，A|n360210n360270，kZ，,角为第一或第三象限角，而角为第一或第四象限角或终边在x轴正半轴上，AB|k36030k36045，kZ点评：探求角的范围的问题，可运用终边相同角的概念，再通过不等式运算进行集合的合并还可以利用数形结合思想，先确定终边为“边界”的角的集合，最后再合成，要注意虚线与实线的差别,跟踪训练,5(1)分别写出第一、三象限角的集合；(2)写出第一、三象限角的集合,解析：(1)设角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，终边落在第一象限内，则角的集合为A|k3600k36090，kZ；同理，设角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，终边落在第三象限内，则角的集合为B|k360180k360270，kZ(2)由(1)知，终边落在第一或第三象限角的集合为AB|2n1802n18090B|(2n1)180(2n1)18090，nZa|k180k18090，kZ,等分角的表示,已知角是第二象限角，试问： 是第几象限角？解析：解法一：是第二象限角，k36090k360180，kZ，k18045 k18090，kZ，当k2n，nZ时，n36045 n36090，nZ，此时， 是第一象限角；当k2n1，nZ时，,解法二：如图所示，先将各象限分成二等分，再从x轴正向的上方依次将各区域标上、，则标有的区域即为 的终边所在的区域故 是第一、三象限角 点评：对象限角进行和、差、倍、分运算时，要注意运用不等式的性质，结果是哪个象限的角，要分类讨论还可以通过画图象的方法进行直观的判断,n360225 n360270，nZ，此时， 是第三象限角 是第一或第三象限角,跟踪训练,6已知角是第二象限角，试问：2是第几象限角？,解析：是第二象限角，k36090k360180，kZ，2k36018022k360360，kZ，2是第三或第四象限角或终边在y轴的非正半轴上,一级训练1判断正误： (1)锐角是第一象限角()(2)第一象限角一定是锐角()(3)直角是终边在y轴非负半轴上的角()(4)终边在y轴非负半轴上的角是直角()(5)钝角是第二象限角()(6)第二象限角是钝角(),答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6),2设M小于90的角，N第一象限的角，则MN()A锐角 B小于90的角C第一象限