余弦函数的图像与性质-教学设计

余弦函数的图像与性质【教学目标】1.能利用单位圆中的余弦线画出余弦函数的图像.2.能类比正弦函数图像与性质得出余弦函数的性质.3.能理解余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义.4.会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间.【知识梳理】问题1:余弦函数的图像的作法(1)平移法:余弦函数y=cos x的图像可以通过将正弦曲线y=sin x的图像向 平移 个单位长度得到(如图).(2)五点法:余弦曲线在0,2上起作用的五个关键点分别为 .问题2:余弦函数的定义域、值域和单调区间(1)定义域为 ;(2)值域为 ;(3)单调增区间为 ,减区间为 .问题3:余弦函数的周期、奇偶性、对称轴和对称中心(1)周期T= ;(2)偶函数;(3)对称轴为 (4)对称中心为 .问题4:余弦函数的复合函数f(x)=Acos(x+)(A0,0)的对称轴、对称中心和单调区间(1)当x+=+k时,即 为对称中心;(2)当x+=k时,即 为对称轴;(3)当x+-+2k,2k时,求得x属于的区间为 区间;当x+2k,+2k时,求得x属于的区间为 区间.(注:以上kZ)【典型例题】要点一余弦函数的图像及应用例1画出ycos x(xR)的简图，并根据图像写出：(1)y时x的集合；(2)y时x的集合解：用“五点法”作出ycos x的简图(1)过点作x轴的平行线，从图像中看出：在，区间与余弦曲线交于，点，在，区间内，y时，x的集合为.当xR时，若y，则x的集合为(2)过，点分别作x轴的平行线，从图像中看出它们分别与余弦曲线交于，kZ，kZ点和，kZ，)，kZ点，那么曲线上夹在对应两直线之间的点的横坐标的集合即为所求，即当y时x的集合为：.规律方法：利用三角函数的图像或三角函数线，可解简单的三角函数不等式，但需注意解的完整性跟踪演练1求函数f(x)lg cos x的定义域解由题意，x满足不等式组，即，作出ycos x的图像结合图像可得：x.要点二：余弦函数单调性的应用例2求函数ylog (cos 2x)的增区间解：由题意得cos 2x0且ycos 2x递减x只须满足：2k2x2k，kZ.kx1391360，cos 139cos 221.(2)coscoscoscos，coscoscoscos.0，且ycos x在0，上递减，coscos，即cos0，又因为1cosx1，显然3cosx0，所以xR.二、填空题7函数ycosx在区间，a上为增函数，则a的取值范围是_答案(，0解析ycosx在，0上是增函数，在0，上是减函数，只有解析coscoscos，coscoscos，由ycosx在0，上是单调递减的，所以coscos.三、解答题9若函数f(x)absinx的最大值为，最小值为，求函数y1acosbx的最值和周期解析(1)当b0时，若sinx1，f(x)max；若sinx1，f(x)min，即解得此时b10符合题意，所以y1cosx.(2)当b0时，f(x)a，这与f(x)有最大值，最小值矛盾，故b0不成立(3)当b0时，显然有解得符合题意所以y1cos(x)1cosx.综上可知，函数y1cosx的最大值为，最小值为，周期为2.一、选择题1将下列各式按大小顺序排列，其中正确的是()Acos0coscos1cos30cosBcos0coscoscos30coscos1cos30cosDcos0coscos30cos1cos答案D解析在0，上，0coscoscos10.又coscoscoscos1cos.2函数f(x)xcosx的部分图像是()答案D解析由f(x)xcosx是奇函数，可排除A，C.令x，则f()cos0.故答案选D.二、填空题3若cosx，且xR，则m的取值范围是_答案(，3解析|cosx|1，|2m1|3m2|.(2m1)2(3m2)2.m3，或m.m(，3.4设f(x)的定义域为R，最小正周期为.若f(x)则f_.答案解析T，kTk(kZ)都是yf(x)的周期，fffsinsin.三、解答题5利用余弦函数的单调性，比较cos()与cos()的大小分析利用诱导公式化为0，上的余弦值，再比较大小解析cos()coscos，cos()coscos.因为0cos，即cos()0，xR.y的定义域为R.(2)要使函数有意义，只要即由下图可得cosx的解集为x|2kx2k，kZsinx的解集为x|2kx2k，kZ它们的交集为x|2kx2k，kZ，即为函数的定义域7函数f(x)acosxcos2x(0x)的最大值为2，求实数a的值解析令tcosx，由0x，知0cosx1，即t0,1所以原函数可以转化为yt2at2，t0,1(