例谈构造法解题---成长博客CERSP-BLOG教师博客学生博客

例谈构造法解题广东省云浮市郁南县蔡朝焜纪念中学 石荣洪邮政编码: 联系电话:内容摘要构造法是一种重要的数学解题方法，在解题中被广泛应用。构造法是一种极其富有技巧性和创造性的解题方法，体现了数学中发现、类比、化归的思想，渗透着猜想、探索、特殊化等重要的数学方法。运用构造法解数学题可从中激发学生的发散思维，使学生思维和解题能力得到培养，对培养学生的多元化思维和创新精神大有裨益。本文从构造对偶式、方程、不等式、函数、图形、特例、模型这些常见构造出发，例谈了构造法在初中数学解题中的运用。关键词：构造 数学解题 创新构造法是根据题设的特点，用已知条件中的元素作为“元件”，用已知的关系式为“支架”，通过观察、联想，采用新的设计，构造出一种新的问题形式，从而绕过解题障碍，使问题得到解决的一种方法。构造法的核心是构造，要善于将数与形结合，将式与方程、函数、图形等建立联系，构造出新的数学形式，如方程、函数、图形、模型等，在数学表达的几种形式之间找出相互关系。构造法能使数学解题打破常规，、另辟路径，使问题巧妙地获得解决。运用构造法解题，需要有独到的见解，灵活的思维，广博的数学知识，丰富的联想能力，敏锐的直觉能力。运用构造法解题，可以使代数、几何等知识相互渗透，有利于加强学生数学基础知识的灵活运用，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的思维能力和创新能力。下面就以初中数学常用的构造法解题举例说明：一、构造对偶式 有些涉及到非对称式问题，有时构造出这些非对称式的对偶式，可以使问题得到解决。【例1】 已知、是方程的两根，且，不解方程，求的值。思考与分析：本题要求“不解方程”去求非对称式的值，很明显考虑用韦达定理去求解，但不是对称式，则需构造一个与相应的对偶式。解：设A=，B=、是方程的两根 =7，=8 =AB= AB= 由、两式得A=【例2】 对任意自然数n，求证：(1+1)(1+)(1+) 思考与分析：设a = (1+1)(1+)(1+) = 构造其对偶式：b = ，c= 很明显a b，a c，故a =abc，因此命题可证。解：设a = (1+1)(1+)(1+) = 构造其对偶式：b = ，c= ，即a b，a c a=abca 即：(1+1)(1+)(1+) 二、构造方程或方程组根据题设条件，利用方程的根的定义、根的判别式、韦达定理等相关知识构造出方程或方程组，然后利用方程或方程组的有关知识，使问题得以解决。【例3】 已知实数a、b、c满足a=6b，c=ab9，求证：a=b。思考与分析：本题的解决当然可以用消去c的方法求解，把它变成一个关于a、b的一元二次方程，从而证明a=b，但由于题目条件中有ab和ab，使我们很自然地联想到韦达定理，因而可以构造一元二次方程求解。解：因为ab=6，ab=c9所以构造方程x6x(c9)=0,其中a、b是该方程的两个根。x6x(c9)= (x3) c=0故必有x=3且c=0即方程有两个相等的实数根3a=b=3【例4】 已知实数x、y、z满足xy=5，z=xyy9，求x2y3z的值。思考与分析：根据本题的题设可能使我们联想到韦达定理，但仍需进行合理的变形，才能构造出方程组去求解。解：由已知可得：以x1、y为两实数根，构造方程t6tz9=0方程有实数根=（6）4（z9）=4z0由此得到z=0,且=0方程t6t9=0有两个相等的实数根t=t=3于是x1=y=3 x=3，y=3，z=0x2y3z=2230=8三、构造不等式或不等式组许多涉及不等量关系的应用题，通常可构造不等式或不等式组，使问题得以解决。【例5】 把18根火柴首尾相接，围成一个等腰三角形，试问最多能围成多少种不同的等腰三角形？思考与分析：本题可根据等腰三角形的性质和三角形的三边关系构造不等式组去解决。解：如图1，设每根火柴长度为1，且腰长为x（x0），根据题意得：解得：9x能取正整数值5、6、7、8，即最多能围成4种不同的等腰三角形四、构造函数有些问题，可以构造函数，通过对函数的图象与性质的研究，使问题得到解决。将一些抽象的数量关系通过函数图象直观地反映出来,这是一种重要的数与形的结合思想的运用,给我们带来“耳目一新”的感受。【例6】 3名教师带领若干名学生去旅游（旅费统一支付），联系了标价相同的两家旅游公司，经洽谈，甲公司给的优惠条件是：教师全额付费，学生按7折付费；乙公司给的优惠条件是：全部师生按8折付费，问选择哪家公司较省钱？思考与分析：根据两公司的优惠条件，以学生人数为自变量，构造出相应的函数，然后比较付费总额即可解决。解：设每人旅费标价为1，参加旅游学生人数为x人，那么甲公司优惠后需付费总额为：y=370x；乙公司优惠后需付费总额为：y=80（3x）。 令370x80（3x） x6，此时yy；同理：x6时yy；x=6时y=y。答：学生人数不超6人时，选择乙公司较省钱；学生人数是6人时，选择甲或乙公司旅费一样；学生人数超过6人时，选择甲公司较省钱。【例7】 实数a、b、c满足（ac）(abc) 0，求证：（bc）4a(abc)。思考与分析：本题的已知条件与求证结论没有直接的联系,故难以直接证明。但观察所要证明的结论，可由（bc）4a(abc) 0变形得到，因此考虑应用韦达定理等知识，并构造一元二次方程或二次函数来求解。证明：当a=0时,若b=c，则（ac）(abc)= c(bc)=c2c=2c0，与题设相矛盾，故a=0时，bc，那么结论显然成立。 当a0时，构造二次函数如下： y=ax(bc)x(abc)于是，当x=0时,y=abc； 当x=1时，y=2(ac)又由题设（ac）(abc) 0知y 与y异号，从而二次函数的图象必与x轴相交， 于是，说明一元二次方程ax(bc)x(abc)=0有两相异实根，从而方程根的判别式大于零，即有（bc）4a(abc) 0。（bc）4a(abc)。五、构造图形通过联想,构造一个与题设条件有密切联系的图形,使题设条件和数量关系直接在图形中得到体现，然后在构造的图形中去寻求所需结论，从而使问题得到解决。【例8】 如图2：RtABC中,直角C的平分线CE与斜边的中垂线线DE交于E。求证：CDDE。思考与分析：由已知条件和图形联想到AB是RtABC的外接圆D的直径，只需作D，证明点E在圆上即可。证明：作RtABC的外接圆D，则AB为直径，D为圆心。DE垂直平分ABDE通过弧AB的中点CE是ACB的平分线CE也通过弧AB的中点DE、CE的交点必为弧AB的中心即点E在D上，DECD【例9】 已知a、b、c为ABC的三边长，且满足a=bbc,求证：A=2B。思考与分析：可以将题设条件a=bbc改写为a=b（bc）和aa=bbb c这样的两种形式，这两种形式的结构特征使我们分别联想到相应的定理，从而构造出相应的图形。根据ABC的三边a、b、c具有a=b（bc）的结构形式，“切割线定理”便像火花似地从你的思维中迸发出来，如图3，CB是切线，CD是割线，这里CB=a，CA=b，AD=c。证明：如图3，将ABC的CA边延长到D点，使得AD=AB=c，则CD=bc。作ABD的外接圆O，因为a=b（bc）即CB=CACD，根据切割线定理的逆定理得CB切圆O于B。ABD中，AB=AD，所以ADB=ABD=；又AB为O的弦，CB为O的切线，于是ABC=ADB=，故CAB=ABC，即A=2B。说明：本例也可根据ABC的三边a、b、c具有aa=bbb c的结构形式，通过作ABC的外接圆，运用托洛密定理来证明。六、构造特例、反例 在解题中，我们可以考虑问题中的特殊情形、极端情况、特例、反例，这也是我们解决问题的一种方法，特别对于一些假命题的证明，经常通过构造一个符合命题条件但结论不成立的例子来证明即可。 【例10】 已知四个命题：若两实数的和与积都是奇数，则这两数都是奇数。若两实数的和与积都是偶数，则这两数都是偶数。若两实数的和与积都是有理数，则这两数都是有理数。若两实数的和与积都是无理数，则这两数都是无理数。其中正确命题的个数是（ ）（A）0； （B）1； （C）2； （D）3。思考与分析：要想说明一个命题是错误的，只须构造一个反例即可，所构造的例子要符合命题的条件，但不满足命题的结论。解：对于，设x=，y=，则xy=5，xy=3,但x,y均非奇数；对于，设x=，y=，则xy=10，xy=22,但x,y均非偶数；对于，利用上面的例子也可否定之；对于，设x=1，y=，则xy=1，xy=,而x,y不都是无理数。 故、均属于假命题，应选A。 【例11】 证明以下命题为假命题：若两个三角形的三个内角和三条边六个元素中有五个元素分别相等，则这两个三角形全等。思考与分析：只要构造的一个符合命题的条件，但不满足命题的结论的例子即可。证明：如图4，ABC和DEF中，使BC=DE=12，AC=EF=18，AB=8，DF=27。ABCDEFA=D B=E C=F即ABC和DEF满足五个元素分别相等，但它们不全等。故该命题是假命题。七、构造模型数学和其它学科一样，要学以致用，“建模”思想就把数学这门高度抽象的基础学科与实际生活紧密地联系在一起，在实际中渗透数学思想和方法，把数学中的理论运用到问题的解决中去，因而许多问题可通过构造模型来处理。如著名的哥尼斯堡七桥问题：18世纪在东普鲁士首府，布勒尔河穿城而过，河中间有两个小岛，在小河上建有7座小桥，如图5。当地的居民常到这散步，“如何能不重复地一次走遍这七座桥而返回出发地呢？”许多人均未成功，这便产生了数学史上著名的“七桥问题”。1735年 欧拉对该问题进行抽象，构造出图论中的“一笔画”模型（如图6）才知该问题无解，这一模型的构造充分展示出欧拉超人的智慧。【例12】 有17位科学家，其中每一人和其他所有人通信，他们通信中只讨论三个题目，且每两个科学家之间只讨论一个问题。求证：至少有三个科学家之间讨论同一题目构造模型 思考与分析：将原题转化为：空间17个点两两连线，用红、蓝、白三色染其边，每边一色。求证：必存在同色三角形。 证明：由A点引出的16条线段颜色，至少6条同色。不妨设其同红，另一端点分别为A2、A3A7，再考虑这6个点两两连线的颜色1有一条为红色，则存在红色三角形2.无红色，则6色只能是蓝、白色，不妨考虑由A2点引出的5条线段颜色，至少有在同色，不妨设与A3、A4、A5连线同色。(A)A3、A4、A5中任一条与它们同色，则存在同色三角形(B)A3、A4、A5中任一条不与它们同色，则三角形A3A4A5同色，存在同色三角形。综合1、2必存在同色三角形。故命题得证。从以上各例不难看出，构造法解题有着你意想不到的功效，问题很快便可解决。构造法解题重在“构造”,它可以构造方程、不等式、函数、图形等，因此，在解题时，若能启发学生从多角度，多渠道进行广泛的联想，就会得到许多构思巧妙，新颖独特，简捷有效的解题方法，而且还能加强学生对