初等数论练习题一

初等数论期末练习二一、单项选择题 1、（ ）.A B C D 02、如果，则=（ ）.A B C D 3、小于30的素数的个数（ ）.A 10 B 9 C 8 D 74、如果,是任意整数,则A B C D 5、不定方程（ ）.A 有解 B 无解 C 有正数解 D 有负数解 6、整数能被( )整除.A 3 B 3与9 C 9 D 3或97、如果，则( ).A B C D 8、公因数是最大公因数的（ ）.A 因数 B 倍数 C 相等 D不确定9、大于20且小于40的素数有（ ）.A 4个 B 5个 C 2个 D 3个10、模7的最小非负完全剩余系是( ).A -3，-2,-1,0,1,2，3 B -6，-5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5，6 D 0,1,2,3,4，5，611、因为( ),所以不定方程没有解.A 12，15不整除7 B （12，15）不整除7 C 7不整除（12，15） D 7不整除12，1512、同余式（ ）.A 有解 B 无解 C 无法确定 D 有无限个解二、填空题 1、有理数，能写成循环小数的条件是（ ）.2、同余式有解，而且解的个数为( ).3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( ).4、设是一正整数，Euler函数表示所有( )，而且与（ ）的正整数的个数.5、设整数，则（ ）=.6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（ ）数码的和能被3整除.7、（ ）.8、同余式有解,而且解的个数( ).9、在176与545之间有( )是17的倍数.10、如果,则=( ).11、的最小公倍数是它们公倍数的( ).12、如果,那么=( ).三、计算题 1、求24871与3468的最小公倍数? 2、求解不定方程.（8分）3、求,其中563是素数. （8分）4、解同余式.（8分）5、求525,231=?6、求解不定方程.7、判断同余式是否有解？8、求11的平方剩余与平方非剩余.四、证明题 1、任意一个位数与其按逆字码排列得到的数的差必是9的倍数.（11分）2、证明当是奇数时，有.（10分）3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积,仍然是两个平方数的和;两个能表成两个平方数和的数的乘积,也是一个两个平方数和的数.（11分）4、如果整数的个位数是5,则该数是5的倍数.5、如果是两个整数,则存在唯一的整数对,使得,其中.初等数论期末练习二答案一、单项选择题1、C 2、C 3、A 4、A 5、A 6、B 7、D 8、A 9、A 10、D 11、B 12、B二、填空题1、有理数，能写成循环小数的条件是（ ）.2、同余式有解，而且解的个数为( 3 ).3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( 41 ).4、设是一正整数，Euler函数表示所有( 不大于 )，而且与（ 互素 ）的正整数的个数.5、设整数，则（ ）=.6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（ 十进位 ）数码的和能被3整除.7、（ ）.8、同余式有解,而且解的个数( 3 ).9、在176与545之间有( 12 )是17的倍数.10、如果,则=( ).11、的最小公倍数是它们公倍数的( 因数 ).12、如果,那么=( 1 ).三、计算题1、求24871与3468的最小公倍数? 解：因为（24871,3468）=17 所以24871,3468= = 所以24871与3468的最小公倍数是。2、求解不定方程.（8分）解：因为（107，37）=1，所以有解； 考虑，有， 所以，原方程特解为=225，=-650， 所以通解为 3、求,其中563是素数. （8分）解 把看成Jacobi符号,我们有, 即429是563的平方剩余. 4、解同余式.（8分）解 因为(111,321)=375,所以同余式有3个解. 将同余式化简为等价的同余方程 . 我们再解不定方程, 得到一解(-8,3). 于是定理4.1中的. 因此同余式的3个解为, , . 5、求525,231=? 解：解：因为（525,231）=21 所以 525,231= =5775 6、求解不定方程.解：因为（6，11），所以有解； 考虑，有。 所以，特解为， 通解为。 7、判断同余式是否有解？（8分）解 我们容易知道1847是素数,所以只需求的值.如果其值是1,则所给的同余式有解,否则无解. 因为,所以.再,所以, 所以, =1. 于是所给的同余式有解. 8、求11的平方剩余与平方非剩余.解 因为,所以平方剩余与平方非剩余各有5个. 又因为 , 所以,1，3，4，5，9是素数11的5个平方剩余.其它的8个数，2，6，7，8，10是素数11的平方非剩余. 四、证明题1、任意一个位数与其按逆字码排列得到的数的差必是9的倍数.（11分）证明 因为 , =, 所以,-= 而上面等式右边的每一项均是9的倍数, 于是所证明的结论成立. 2、证明当是奇数时，有.（10分） 证明 因为,所以. 于是,当是奇数时,我们可以令.从而有, 即. 3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积,仍然是两个平方数的和;两个能表成两个平方数和的数的乘积,也是一个两个平方数和的数.（11分）证明 （1）设,则显然. （2）如果,那么=. 4、如果整数的个位数是5,则该数是5的倍数.(11分)证明 设是一正整数,并将写成10进位数的形式:=,. 因为100(mod5), 所以我们得到 所以整数的个位数是5,则该数是5的倍数. 5、如果是两个整数,则存在唯一的整