北京市东城区2019届高三上学期期末教学统一检测数学文试题

1 北京市东城区北京市东城区 20192019 届高三上学期期末教学统一检测数学文试题届高三上学期期末教学统一检测数学文试题 学校学校_班级班级_姓名姓名_考号考号_ 本试卷分第卷和第卷两部分，第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 5 页，共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一 并交回。 第第卷卷（选择题 共 40 分） 一、本大题共一、本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的 一项。一项。 （1）设集合，则等于1,2,3,4,5U 1,2,3A 2,3,4B () U AB (A) (B) (C) (D) 2,31,4,54,51,5 （2）复数等于 2 1 i （A） (B) ( C) ( D) 1 i 1 i 1 i1 i （3）已知为等差数列，其前项和为，若，则公差 n an n S 3 6a 3 12S 等于d （A） （B） （C） （D）1 5 3 23 （4）执行如图所示的程序框图，输出的k的值为 （A）（B） （C）（D）4567 （5） “成立”是“成立”的 2 230 xx3x （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 （6）已知，满足不等式组 则目标函数的最大值为xy 28, 28, 0, 0, xy xy x y 3zxy (A) (B) (C) (D) 3 32 12824 （7）已知抛物线 2 2ypx的焦点F到其准线的距离是，抛物线的准线与x轴的交点为K，点8 A在抛物线上且|2 |AKAF，则AFK的面积为 （A）32 （B）16 （C）8 （D）4 2 （8）给出下列命题：在区间上，函数, 中有三个是增(0,) 1 yx 1 2 yx 2 (1)yx 3 yx 函数；若，则；若函数是奇函数，则的图象log 3log 30 mn 01nm( )f x(1)f x 关于点对称；若函数，则方程有个实数根，其中正确(1,0)A( )323 x f xx( )0f x 2 命题的个数为 （A） （B） （C） （D）1234 第第卷卷（共 110 分） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分。分。 （9）若向量，满足，且，的夹角为，则 ，ab1a2bab 3 a b = ab （10）若，且,则 3 sin 5 tan0cos （11）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （12）已知圆：，则圆心的坐标为 ；若直线与圆相切，且切C 22 680 xyxCykxC 点在第四象限，则 k （13）某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价,第二次提价；方案%p%q 乙：每次都提价，若，则提价多的方案是 .% 2 pq 0pq （14）定义映射，其中，已知对所有的有序正整数对:fAB( , ),Am n m nRB R 满足下述条件:( , )m n ，若，；( ,1)1f mnm( , )0f m n (1, ) ( , )( ,1)f mnn f m nf m n 则 ； . (2,2)f( ,2)f n 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 8080 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15） （本小题共 13 分） 已知函数 2 ( )3sin coscosf xxxx （）求的最小正周期；( )f x 3 （）求在区间上的最大值和最小值( )f x, 6 3 （16） （本小题共 13 分） 已知为等比数列，其前项和为，且. n an n S2n n Sa * ()nN （）求的值及数列的通项公式；a n a （）若，求数列的前项和. nn bna n bn n T （17） （本小题共 13 分） 如图，在菱形中， 平面，且四边形是平行四边形ABCDMAABCDADNM （）求证：；ACBN （）当点在的什么位置时，使得平面，并加以证明.EAB/ANMEC （18） （本小题共 13 分） AB C D E N M 4 已知函数，.13 3 1 ( 223 xmmxxxf）mR （）当时，求曲线在点处的切线方程；1m)(xfy )2(, 2(f （）若在区间上是减函数，求的取值范围.)(xf( 2,3)m （19） （本小题共 14 分） 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上且过点，离心率是Cx 1 ( 3, ) 2 P 3 2 （）求椭圆的标准方程；C （）直线 过点且与椭圆交于，两点，若，求直线 的方程.l( 1,0)E CAB2EAEBl 5 （20） （本小题共 14 分） 已知实数组成的数组满足条件： 123 ( ,) n x x xx ； . 1 0 n i i x 1 1 n i i x () 当时，求，的值；2n 1 x 2 x （）当时，求证：；3n 123 321xxx （）设,且， 123n aaaa 1n aa(2)n 求证：. 1 1 1 () 2 n iin i a xaa 东城区东城区 20192019 学年度第一学期期末教学统一检测学年度第一学期期末教学统一检测 高三数学参考答案及评分标准高三数学参考答案及评分标准 （文科）（文科） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分）分） 6 （1）B （2）D （3）C （4）A （5）B （6）B （7）A （8）C 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分）分） （9） （10） （11）17 4 5 54 （12） （13）乙 （14） (3,0) 2 4 222 n 注：两个空的填空题第一个空填对得 3 分，第二个空填对得 2 分 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 8080 分）分） （15） （共 13 分） 解：（） 31 cos2 ( )sin2 22 x f xx .4 分 1 sin(2) 62 x 所以6 分T （）因为， 63 x 所以 5 2 666 x 所以10 分 1 sin(2)1 26 x 当时，函数的最小值是， 6 x ( )f x0 当时，函数的最大值是13 分 6 x ( )f x 3 2 （16） （共 13 分） 解：（）当时，.1 分1n 11 20Saa 当时，.3 分2n 1 1 2n nnn aSS 因为是等比数列， n a 所以，即.5 分 1 1 1 221aa 1 1a 1a 所以数列的通项公式为.6 分 n a 1 2n n a * ()nN （）由（）得，设数列的前项和为. 1 2n nn bnan n bn n T 7 则. 231 1 12 23 24 22n n Tn . 231 21 22 23 2(1) 22 nn n Tnn -得 9 分 21 1 1 1 2 1 21 22 nn n Tn 21 1 (222)2 nn n 11 分 1 1 2(1 2)2 nn n .12 分(1) 21 n n 所以.13 分(1) 21 n n Tn （17） （共 13 分） 解：（）连结，则.BDACBD 由已知平面，DN ABCD 因为 ，DNDBD 所以平面.AC NDB 又因为 平面，BN NDB 所以 . 6 分ACBN （）当为的中点时，有平面.7 分EAB/ANMEC 与交于，连结.CMBNFEF 由已知可得四边形是平行四边形，BCNM 是的中点，FBN 因为是的中点，EAB 所以.10 分/ANEF 又平面，EF MEC 平面，AN MEC 所以平面.13 分/ANMEC （18） （共 13 分） 解：（）当时，1m 32 1 ( )31 3 f xxxx 又，所以. 2 ( )23fxxx(2)5f 又， 5 (2) 3 f 所以所求切线方程为 ，即. 5 5(2) 3 yx153250 xy 所以曲线在点处的切线方程为.6 分)(xfy )2(, 2(f025315 yx AB C D E N M F 8 （）因为， 22 32( mmxxxf） 令，得或.8 分(0fx ）3xm xm 当时，恒成立，不符合题意. 9 分0m 2 (0fxx） 当时，的单调递减区间是，若在区间上是减函数，0m ( )f x( 3 ,)m m( )f x( 2,3) 则解得.11 分 32, 3. m m 3m 当时，的单调递减区间是，若在区间上是减函数，0m ( )f x( , 3 )mm( )f x( 2,3) 则，解得. 2, 33. m m 2m 综上所述，实数的取值范围是或. 13 分m3m 2m （19） （共 14 分） 解：（）设椭圆的方程为.C 22 22 1 xy ab (0)ab 由已知可得3 分 22 222 3 , 2 31 1 4 . c a ab abc ， 解得，. 2 4a 2 1b 故椭圆的方程为6 分C 2 2 1 4 x y （）由已知，若直线 的斜率不存在，则过点的直线 的方程为 ， l( 1,0)E l1x 此时 ，显然 不成立7 分 33 ( 1)( 1) 22 AB，-2EAEB 若直线 的斜率存在，则设直线 的方程为ll(1)yk x 9 则 2 2 1 4 (1). x y yk x ， 整理得9 分 2222 (41)8440kxk xk 由 2222 (8)4(41)(44)kkk 2 48160k 设 1122 ()()A xyB xy， 故， 10 分 2 12 2 8 41 k xx k 2 12 2 44 41 k x x k 因为，即2EAEB 12 23xx 联立解得 13 分 15 6 k 所以直线 的方程为和14 分l156150 xy156150 xy （20） （共 14 分） ()解： 12 12 0,(1) 1.(2) xx xx 由（1）得，再由（2）知，且. 21 xx 1 0 x 2 0 x 当时，.得，所以2 分 1 0 x 2 0 x 1 21x 1 2 1 , 2 1 . 2 x x 当时，同理得4 分 1 0 x 1 2 1 , 2 1 . 2 x x （）证明：当时，3n 10 由已知,. 123 0 xxx 123 =1xxx 所以 12311233 322()xxxxxxxx 13 xx .9 分 13 1xx （）证明：因为，且. 1in aaa 1n aa(1,2,3, )in 所以