北京中考数学--几何、二次函数综合题压轴题解析汇总

北京中考数学-几何、二次函数综合题压轴题解析汇总25、（2007北京）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；（2）如图，在ABC中，点D，E分别在AB，AC上，设CD，BE相交于点O，若A=60，DCB=EBC=A请你写出图中一个与A相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；（3）在ABC中，如果A是不等于60的锐角，点D，E分别在AB，AC上，且DCB=EBC=A探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论考点：等腰梯形的性质。专题：压轴题。分析：（1）本题理解等对边四边形的图形的定义，平行四边形，等腰梯形就是（2）与A相等的角是BOD（或COE），四边形DBCE是等对边四边形；（3）作CGBE于G点，作BFCD交CD延长线于F点易证BCFCBG，进而证明BDFCEG，所以BD=CE所以四边形DBCE是等边四边形解答：解：（1）回答正确的给（1分）（如：平行四边形、等腰梯形等）（2）答：与A相等的角是BOD（或COE），BOD=OBC+OCB=30+30=60，A=BOD，四边形DBCE是等对边四边形；（3）答：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE证法一：如图，作CGBE于G点，作BFCD交CD延长线于F点因为DCB=EBC=A，BC为公共边，所以BCFCBG，所以BF=CG，因为BDF=ABE+EBC+DCB，BEC=ABE+A，所以BDF=BEC，可证BDFCEG，所以BD=CE所以四边形DBCE是等对边四边形证法二：如图，以C为顶点作FCB=DBC，CF交BE于F点因为DCB=EBC=A，BC为公共边，所以BDCCFB，所以BD=CF，BDC=CFB，所以ADC=CFE，因为ADC=DCB+EBC+ABE，FEC=A+ABE，所以ADC=FEC，所以FEC=CFE，所以CF=CE，所以BD=CE，所以四边形DBCE是等对边四边形说明：当AB=AC时，BD=CE仍成立只有次证法，只给（1分）点评：解决本题的关键是理解等对边四边形的定义，把证明BD=CE的问题转化为证明三角形全等的问题25、（2008北京）请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DE的中点，连接PG，PC若ABC=BEF=60，探究PG与PC的位置关系及的值小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及的值；（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；（3）若图1中ABC=BEF=2（090），将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含的式子表示）考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义。专题：压轴题。分析：（1）根据题意可知小聪的思路为，通过判定三角形DHP和PGF为全等三角形来得出证明三角形HCG为等腰三角形且P为底边中点的条件；（2）思路同上，延长GP交AD于点H，连接CH，CG，本题中除了如（1）中证明GFPHDP（得到P是HG中点）外还需证明HDCGBC（得出三角形CHG是等腰三角形）（3）ABC=BEF=2（090），那么PCG=90，由（1）可知：PG：PC=tan（90）解答：解：（1）CDGF，PDH=PFG，DHP=PGF，DP=PF，DPHFGP，PH=PG，DH=GF，CD=BC，GF=GB=DH，CH=CG，CPHG，ABC=60，DCG=120，PCG=60，PG：PC=tan60=，线段PG与PC的位置关系是PGPC，=；（2）猜想：（1）中的结论没有发生变化证明：如图，延长GP交AD于点H，连接CH，CGP是线段DF的中点，FP=DP，ADFG，GFP=HDP，GPF=HPD，GFPHDP，GP=HP，GF=HD，四边形ABCD是菱形，CD=CB，HDC=ABC=60，ABC=BEF=60，菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，GBC=60，HDC=GBC，四边形BEFG是菱形，GF=GB，HD=GB，HDCGBC，CH=CG，DCH=BCG，DCH+HCB=BCG+HCB=120，HCG=120，CH=CG，PH=PG，PGPC，GCP=HCP=60，；（3）ABC=BEF=2（090），PCG=90，由（1）可知：PG：PC=tan（90），=tan（90）点评：本题是一道探究性的几何综合题，主要考查菱形的性质，全等三角形的判定及三角函数的综合运用24、（2009北京）在平行四边形ABCD中，过点C作CECD交AD于点E，将线段EC绕点E逆时针旋转90得到线段EF（如图1）（1）在图1中画图探究：当P为射线CD上任意一点（P1不与C重合）时，连接EP1；绕点E逆时针旋转90得到线段EG1判断直线FG1与直线CD的位置关系，并加以证明；当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连接EP2，将线段EP2绕点E逆时针旋转90得到线段EC2判断直线C1C2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论（2）若AD=6，tanB=，AE=1，在的条件下，设CP1=x，SP1FC1=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围考点：二次函数综合题。专题：探究型。分析：（1）说明P1EC按要求旋转后得到的G1EF全等，再结合P1CE=G1FE=90去说明；按照要求画出图形，由图形即可得出答案；（2）当点P1在线段CH的延长线上时，结合已知说明CE=4，且由四边形FEGH是正方形，得CH=CE=4，再根据题设可得G1F=xP1H=x4，进而可得y与x之间的函数关系式；当点P1在线段CH上时，同理可得FG1=x，P1H=4x，进而可得y与x之间的函数关系式；当点P1与点H重合时，说明P1FG1不存在，再作综合说明即可本题第二问较难学生不明确点P1的几种位置情况，因而不能讨论本题考查图形变换和动点问题，而且代数和几何结合，有一定难度注意的问题：一是函数关系式不止一种，二是自变量的取值范围要正确画出（1）观察图形可知重叠三角形ABC是边长为2的等边三角形，则这个三角形底边上的高为，所以重叠三角形ABC的面积=；（2）由折叠的性质和已知可知：AD=AD=m，BD=BD=8m，所以AB=BC=82m，AB边上的高=（4m），所以重叠三角形ABC的面积=（82m）（4m）=（4m）2；当D为AB边中点时“重叠三角形”不存在，故m4而当D在AB的点处，即AD=时，点B和点C恰在矩形DEFG边上，符合题意；当AD时，点B和点C就在矩形DEFG外了，这与已知不符，故m，因此m的取值范围为m4解答：解：（1）直线FG1与直线CD的位置关系为互相垂直证明：如图1，设直线FG1与直线CD的交点为H线段EC、EP1分别绕点E逆时针旋转90依次得到线段EF、EG1，P1EG1=CEF=90，EG1=EP1，EF=ECG1EF=90P1EF，P1EC=90P1EF，G1EF=P1ECG1EFP1ECG1FE=P1CEECCD，P1CE=90，G1FE=90度EFH=90度FHC=90度FG1CD按题目要求所画图形见图1，直线G1G2与直线CD的位置关系为互相垂直（2）四边形ABCD是平行四边形，B=ADCAD=6，AE=1，tanB=，DE=5，tanEBC=tanB=可得CE=4由（1）可得四边形EFCH为正方形CH=CE=4如图2，当P1点在线段CH的延长线上时，FG1=CP1=x，P1H=x4，SP1FG1=FG1P1H=y=x22x（x4）如图3，当P1点在线段CH上（不与C、H两点重合）时，FG1=CP1=x，P1H=4x，SP1FG1=FG1P1H=y=x2+2x（0x4）当P1点与H点重合时，即x=4时，P1FG1不存在综上所述，y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围是y=x22x（x4）或y=x2+2x（0x4）点评：本题着重考查了二次函数解、图形旋转变换、三角形全等、探究垂直的构成情况等重要知识点，综合性强，能力要求较高考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法25、（2010北京）问题：已知ABC中，BAC=2ACB，点D是ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA探究DBC与ABC度数的比值请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明（1）当BAC=90时，依问题中的条件补全右图；观察图形，AB与AC的数量关系为 ；当推出DAC=15时，可进一步推出DBC的度数为 ；可得到DBC与ABC度数的比值为 ；（2）当BAC90时，请你画出图形，研究DBC与ABC度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明考点：等腰梯形的性质；三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质。专题：压轴题。分析：（1）利用题中的已知条件，计算出ACB=ABC，所以AB=AC（等角对等边）；由等腰三角形的性质知BAD=BDA=75，再根据三角形内角和是180，找出图中角的等量关系，解答即可；（2）根据旋转的性质，作KCA=BAC，过B点作BKAC交CK于点K，连接DK，构建四边形ABKC是是等腰梯形，根据已知条件证明KCDBAD（SAS），再证明DKB是正三角形，最后根据是等腰梯形与正三角形的性质，求得ABC与DBC的度数并求出比值解答：解：（1）当BAC=90时，BAC=2ACB，ACB=45，在ABC中，ABC=180ACBBAC=45，ACB=ABC，AB=AC（等角对等边）；当DAC=15时，DAB=9015=75，BD=BA，BAD=BDA=75，DBA=1807575=30，DBC=4530=15，即DBC=15，DBC的度数为15；DBC=15，ABC=45，DBC=15：ABC=45=1：3，DBC与ABC度数的比值为1：3（2）猜想：DBC与ABC度数的比值与（1）中结论相同证明：如图2，作KCA=BAC，过B点作BKAC交CK于点K，连接DK四边形ABKC是等腰梯形，CK=AB，DC=DA，DCA=DAC，KCA=BAC，KCD=3，KCDBAD，2=4，KD=BD，KD=BD=BA=KCBKAC，ACB=6，KCA=2ACB，5=ACB，5=6，KC=KB，KD=BD=KB，KBD=60，ACB=6=601，BAC=2ACB=12021，1+（601）+（12021）+2=180，2=21，DBC与ABC度数的比值为1：3点评：本题综合考查了是等腰梯形的判定与性质、正三角形的性质、全等三角形的判定以及三角形的内角和湖北省荆州市2011年8月3日 22:102010北京卷最后一题的最后一问的正确解答是：作KCA=BAC，过B点作BKAC交CK于点K，连接DKBAC90四边形ABKC是等腰梯形 CK=ABKCA=BACDC=AD（已知）DCA=DACKCD=BAD，KCDBADKD=BD，2=4KD=BD=AB=KC，KCA=BAC=2ACB5=ACB，BKAC6=ACB，6=5KC=KBKB=KD=BDKBD是正三角形KBD=60ACB=60-1，BAC=2ACB=120-211+2+(60-1)+(120-21)=1802=21DBC与ABC度数的比值为1：324、（2011北京）在ABCD中，BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F（1）在图1中证明CE=CF；（2）若ABC=90，G是EF的中点（如图2），直接写出BDG的度数；（3）若ABC=120，FGCE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求BDG的度数考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质。专题：计算题；证明题。分析：（1）根据AF平分BAD，可得BAF=DAF，利用四边形ABCD是平行四边形，求证CEF=F即可（2）根据ABC=90，G是EF的中点可直接求得（3）分别连接GB、GC，求证四边形CEGF是平行四边形，再求证ECG是等边三角形由ADBC及AF平分BAD可得BAE=AEB，求证BEGDCG，然后即可求得答案解答：解：（1）如图1，AF平分BAD，BAF=DAF，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABCD，DAF=CEF，BAF=F，CEF=FCE=CF（2）BDG=45（3）解：连接GC、BG 注释: 菁优网解析有错，现已改正。四边形ABCD为平行四边形，ABC=120AF平分BADDAF=DFA=30 AD=BC=DF FGCE , FG=CE, CE=CF 四边形EGFC为菱形EG=CG BEG=DCG=120BE=BC-EC=AD-EC=DF-EC=DF-CF=DCBEGDCGBG=DGBGD=BGE+EGD=DGC+EGD=60BDG=60解法二： 如图，延长AB、FG，交于H, 连接HD易证四边形AHFD为平行四边形ABC=120, AF平分BADDAF=30, ADC=120, DFA=30DAF为等腰三角形AD=DF平行四边形AHFD为菱形ADH, DHF为全等的等边三角形DH=DF BHD=GFD=60 FG=CE , CE=CF，CF=BH BH=GF BHD 与GFD全等BDH=GDFBDG=BDH+HDG=GDF+HDG=60ABDCEGFH点评：此题主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法（2008海淀一模）23、已知：如图，AC是O的直径，AB是弦，MN是过点A的直线，AB等于半径长（1）若BAC=2BAN，求证：MN是O的切线（2）在（1）成立的条件下，当点E是的中点时，在AN上截取AD=AB，连接BD、BE、DE，求证：BED是等边三角形考点：切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定。专题：证明题。分析：（1）连接OB由AC是O的直径，AB是弦且等于半径长，易证AOB为等边三角形，得到BAC=2BAN=60，得BAN=30，所以CAN=BAC+BAN=90；（2）连接AE，由E是弧AB的中点，根据弧相等所对的圆心角相等和弧的度数与它所对圆心角的度数的关系得到BAE=ABE=15，则DAE=15，易证ABEADE则BE=DE，EDA=ABE=15，得到BDE=EBD=（1803030）2=60，即可判断BED是等边三角形解答：证明：（1）连接OB如图，AC是O的直径，AB是弦且等于半径长，OA=OB=AB，AOB为等边三角形，OAB=60，BAC=2BAN=60，BAN=30，CAN=BAC+BAN=90，即ACMN，所以MN是O的切线；（2）连接AE，OE，如图，E是弧AB的中点，BAE=ABE=15，DAE=15，易证ABEADEBE=DE，EDA=ABE=15BDE=EBD=（1803030）2=60BDE是等边三角形点评：本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；圆的切线垂直于过切点的半径也考查了圆周角定理的推论以及三角形全等的判定与性质（2008海淀一模）25、已知：如图，一块三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的AB边上，并且使一条直角边经过点C，三角板的另一条直角边与AD交于点Q（1）请你写出此时图形中成立的一个结论（任选一个）（2）当点P满足什么条件时，有AQ+BC=CQ？请证明你的结论（3）当点Q在AD的什么位置时，可证得PC=3PQ？并写出论证的过程考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质。分析：（1）根据正方形的性质，以及直角三角形的性质即可判断；（2）连接CQ，延长QP，交CB的延长线于点E可证APQBPE即可证得：CQ=CE，据此即可证得；（3）首先证得：APQBCP，然后对三角形的对应边，分两种情况讨论即可求解解答：解：（1）APQBCP（答案不唯一）（2）当P为AB中点时，有AQ+BC=CQ证明：连接CQ，延长QP，交CB的延长线于点E可证APQBPE则AQ=BE，PQ=PE又因为CPQE，可得CQ=CE，所以AQ+BC=CQ（3）当时，有PC=3PQ证明：在正方形ABCD中，A=B=90，AD=BC=AB又因为直角三角板的顶点P在边AB上，所以1+2=180QPC=90因为RtCBP中，3+2=90，所以1=3所以APQBCP所以因为，所以所以，或（不合题意，舍去）所以所以PC=3PQ点评：本题主要考查了正方形的性质，以及相似三角形的判定与性质，正确进行讨论是关键（2008海淀二模）23、已知：ABC（1）如果AB=AC，D、E是AB、AC上的点，若AD=AE，请你写出此图中的另一组相等的线段；（2）如果ABAC，D、E是AB、AC上的点，若BD=CE，请你确定DE与BC的数量关系，并证明你的结论考点：全等三角形的判定与性质；三角形三边关系；平行四边形的判定与性质。分析：（1）根据等式的性质，则DB=EC；（2）过E点作EFAB，且EF=DB，连接BF作CEF的平分线EN交BC于N，连接NF根据SAS可以证明ENFENC，所以NF=NC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得四边形BDEF是平行四边形故DE=BF再根据三角形的三边关系即可判断解答：解：（1）DB=EC；（2）结论：DEBC过E点作EFAB，且EF=DB，连接BF（3分）作CEF的平分线EN交BC于N，连接NF（4分）因DB=EF，又因DB=EC，则EF=EC因EN平分CEF，所以FEN=CEN在ENF和ENC中，所以ENFENC，所以NF=NC，因DBEF，DB=EF，所以四边形BDEF是平行四边形故DE=BF在BFN中，因BN+FNBF，所以BN+FNDE所以DEBC点评：此题综合运用了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、三角形的三边关系能够巧妙构造全等三角形是解决此题的关键（2008海淀二模）25、根据所给的图形解答下列问题：（1）如图1，ABC中，AB=AC，BAC=90，ADBC于D，把ABD绕点A旋转，并拼接成一个与ABC面积相等的正方形，请你在图中完成这个作图；（2）如图2，ABC中，AB=AC，BAC=90，请你设计一种与（1）不同的方法，将这个三角形拆分并拼接成一个与其面积相等的正方形，画出利用这个三角形得到的正方形；（3）设计一种方法把图3中的矩形ABCD拆分并拼接为一个与其面积相等的正方形，请你依据此矩形画出正方形，并根据你所画的图形，证明正方形面积等于矩形ABCD的面积的结论考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；作图应用与设计作图。专题：探究型。分析：（1）、（2）根据图形旋转的性质及图形拼接前后面积不变画出图形即可；（3）根据题意画出图形，先证出四边形EFGC是矩形，AHBGBC，由矩形的性质及相似三角形的性质可得出四边形EFGC是正方形，再由BHCE，HEBC，BH=CE可得EFGC是正方形，RtBAHRtCDE，SBAH=SCDE，根据EFCGEHCB可得出SEFH=SCGB，进而可得出结论解答：解：（1）如图1；（2）如图2，M、N分别是HE、GF的中点；（3）如图4，设AB=aBC=b以点B为圆心，以BH=为半径画弧，交AD于H；过C点作CEBH交AD的延长线于E，过点C作CGBH于点G；过E点作EFCE于E，交BH的延长线于F，则正方形EFGC为所求证明：易证四边形EFGC是矩形，可证AHBGBC，=，=，CG=四边形EFGC是正方形BHCE，HEBC，四边形BCEH是平行四边形BH=CEEFGC是正方形易证RtBAHRtCDESBAH=SCDEEFCGEHCB，FEH=GCB又EFH=CGB=90，EF=CG，EFHCGBSEFH=SCGBS正方形EFGC=S矩形ABCD四边形EFCG为所求点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，涉及到全等三角形的判定与性质、正方形的性质及作图应用与设计作图，熟知以上知识是解答此题的关键（2009海淀一模）24、在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东、小明交流原问题：如图1，已知ABC，ACB=90，ABC=45，分别以AB、BC为边向外作ABD与BCE，且DA=DB，EB=EC，ADB=BEC=90，连接DE交AB于点F探究线段DF与EF的数量关系小慧同学的思路是：过点D作DGAB于G，构造全等三角形，通过推理使问题得解小东同学说：我做过一道类似的题目，不同的是ABC=30，ADB=BEC=60度小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：（1）写出原问题中DF与EF的数量关系；（2）如图2，若ABC=30，ADB=BEC=60，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；（3）如图3，若ADB=BEC=2ABC，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明考点：全等三角形的判定与性质。专题：阅读型。分析：本题的解题思路是通过构建全等三角形来求解先根据直角三角形的性质，等边三角形的性质得到一些隐含的条件，然后根据所得的条件来证明所构建的三角形的全等；再根据全等三角形的对应边相等得出DF=EF的猜想解答：解：（1）DF=EF（2）猜想：DF=FE证明：过点D作DGAB于G，则DGB=90度DA=DB，ADB=60度AG=BG，DBA是等边三角形DB=BAACB=90，ABC=30，AC=AB=BGDBGBACDG=BCBE=EC，BEC=60，EBC是等边三角形BC=BE，CBE=60度DG=BE，ABE=ABC+CBE=90DFG=EFB，DGF=EBF，DFGEFBDF=EF（3）猜想：DF=FE证法一：过点D作DHAB于H，连接HC，HE，HE交CB于K，则DHB=90度DA=DB，AH=BH，1=HDBACB=90，HC=HBEB=EC，HE=HE，HBEHCE2=3，4=BEHHKBCBKE=90ADB=BEC=2ABC，HDB=BEH=ABCDBC=DBH+ABC=DBH+HDB=90，EBH=EBK+ABC=EBK+BEK=90DBHE，DHBE四边形DHEB是平行四边形DF=EF证法二：分别过点D、E作DHAB于H，EKBC于K，连接HK，则DHB=EKB=90度ACB=90，EKACDA=DB，EB=EC，AH=BH，1=HDB，CK=BK，2=BEKHKAC点H、K、E在同一条直线上下同证法一点评：此题考查了全等三角形的判定和性质；等边三角形的性质的性质及直角三角形的性质等知识点，在做题时要注意隐含条件的运用（2009海淀二模）25、已知：在四边形ABCD中，ADBC，BAC=D，点E、F分别在BC、CD上，且AEF=ACD，试探究AE与EF之间的数量关系（1）如图1，若AB=BC=AC，则AE与EF之间的数量关系是什么；（2）如图2，若AB=BC，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出猜想，并加以证明；（3）如图3，若AB=kBC，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出猜想不用证明考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。专题：探究型。分析：（1）中所给的是最特殊的一种情况，但对整个题来说，要从（1）中找到基本的解题思路，此题难的是构造全等三角形，从而证明线段相等虽然（1）中没有要求步骤，但能正确的解出（1）可以给（2）和（3）定一个基调；（2）是将（1）中的等边三角形变为等腰三角形，但起关键作用的条件没变，任然可以仿照（1）中的方法去做；（3）中将三角形变为更一般的三角形，但和（1）比较起来还是有两个条件没变，而利用这两个条件能证明两个三角形相似，从而利用相似的对应边成比例得出结论解答：解：（1）AE=EF；证明：如图：过点E作EHAB交AC于点H则BAC+AHE=180，BAC=CHE，AB=BC=AC，BAC=ACB=60，CHE=ACB=B=60，EH=ECADBC，FCE=180B=120，又AHE=180BAC=120，AHE=FCE，AOE=COF，AEF=ACF，EAC=EFC，AEHFEC，AE=EF；（2）猜想：（1）中的结论是没有发生变化证明：如图：过点E作EHAB交AC于点H，则BAC+AHE=180，BAC=CHE，AB=BCBAC=ACBCHE=ACBEH=ECADBCD+DCB=180BAC=DAHE=DCB=ECFAOE=COF，AEF=ACF，EAC=EFC，AEHFEC，AE=EF；（3）猜想：（1）中的结论发生变化证明：过点E作EHAB交AC于点H由（2）可得EAC=EFC，ADBC，BAC=D，AHE=DCB=ECF，AEHFEC，AE：EF=EH：EC，EHAB，ABCHEC，EH：EC=AB：BC=k，AE：EF=k，AE=kEF点评：主要考查了全等三角形的判定本题三问由特殊到一般，注意比较它们之间的异同，关键抓住不变量，从而得出结论本题难度很大（2010海淀一模）25、已知：AOB中，AB=OB=2，COD中，CD=OC=3，ABO=DCO连接AD、BC，点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点（1）如图1，若A、O、C三点在同一直线上，且ABO=60，则PMN的形状是 ，此时=； （2）如图2，若A、O、C三点在同一直线上，且ABO=2，证明PMNBAO，并计算的值（用含的式子表示）；（3）在图2中，固定AOB，将COD绕点O旋转，直接写出PM的最大值考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的判定；确定圆的条件。专题：综合题。分析：（1）由于AB=OB，CD=OC，ABO=DCO，且ABO=60，则AOB和COD都为等边三角形，又A、O、C三点在同一直线上，则PMN为等边三角形，AD=BC（2）连接BM、CN，由于ABO与MPN都为等腰三角形，且证得MPN=ABO，则PMNBAO，的值可在RtBMA中求得（3）结合图形，直接可写出COD绕点O旋转后PM的最大值解答：解：（1）连接BM，CN， AOB中，AB=OB=2，COD中，CD=OC=3，ABO=60，APB与COD是等边三角形，又点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点，BMAC，CNBD，MBO=ABO=NCO=OCD=30，PM=PN=BC，PBM=PMB，PCN=PNC，BAO=DCO=60，ABCD，ABC+DCB=180，MBP+BCN=180ABMDCN=120，BPM+NPC=3602（MBP+BCN）=120，MPN=60，PMN是等边三角形，PM=PN=MN，AD=2MN，BC=2PM，=1（2）证明：连接BM、CN由题意，得BMOA，CNOD，AOB=COD=90A、O、C三点在同一直线上，B、O、D三点在同一直线上BMC=CNB=90P为BC中点，在RtBMC中，在RtBNC中，PM=PNB、C、N、M四点都在以P为圆心，为半径的圆上MPN=2MBN又，MPN=ABOPMNBAO由题意，又在RtBMA中，AO=2AM，（3）说明：取BO的中点R, 连PR, PR=1/2CO=1.5 RM=1/2BA=1 当COAB时，即四边形ABCO是梯形时，P,R,M三点共线，PM有最大值PM=1+1.5=2.5PM=（AB+CD）2=（2+3）2=5/2点评：本题考查了相似三角形的判定与性质及等边三角形的确定条件，综合性强，较为复杂（2010海淀二模）25、如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（0，2），点D在x轴的正半轴上，ODB=30，OE为BOD的中线，过B、E两点的抛物线与x轴相交于A、F两点（A在F的左侧）（1）求抛物线的解析式；（2）等边OMN的顶点M、N在线段AE上，求AE及AM的长；（3）点P为ABO内的一个动点，设m=PA+PB+PO，请直接写出m的最小值，以及m取得最小值时，线段AP的长考点：二次函数综合题。专题：代数几何综合题。分析：（1）已知点B的坐标，可求出OB的长；在RtOBD中，已知了ODB=30，通过解直角三角形即可求得OD的长，也就得到了点D的坐标；由于E是线段BD的中点，根据B、D的坐标即可得到E点的坐标；将B、E的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值，由此确定抛物线的解析式；（2）过E作EGx轴于G，根据A、E的坐标，即可用勾股定理求得AE的长；过O作AE的垂线，设垂足为K，易证得AOKAEG，通过相似三角形所得比例线段即可求得OK的长；在RtOMK中，通过解直角三角形，即可求得MK的值，而AK的长可在RtAEK中由勾股定理求得，根据AM=AKKM或AM=AK+KM即可求得AM的长；（3）由于点P到ABO三顶点的距离和最短，那么点P是ABO的费马点，即APO=OPB=APB=120；易证得OBE是等边三角形，那么PA+PO+PB的最小值应为AE的长；求AP的长时，可作OBE的外切圆（设此圆为Q），那么Q与AE的交点即为m取最小值时P点的位置；设Q与x轴的另一交点（O点除外）为H，易求得点Q的坐标，即可得到点H的坐标，也就得到了AH的长，相对于Q来说，AE、AH都是Q的割线，根据割线定理即可求得AP的长解答：解：（1）过E作EGOD于G（1分）BOD=EGD=90，D=D，BODEGD，点B（0，2），ODB=30，可得OB=2，；E为BD中点，EG=1，点E的坐标为（2分）抛物线经过B（0，2）、两点，可得；抛物线的解析式为；（3分）（2）抛物线与x轴相交于A、F，A在F的左侧，A点的坐标为，在AGE中，AGE=90，（4分）过点O作OKAE于K，可得AOKAEGOMN是等边三角形，NMO=60；，或；（6分）（写出一个给1分）（3）如图；以AB为边做等边三角形AOB，以OA为边做等边三角形AOB；易证OE=OB=2，OBE=60，则OBE是等边三角形；连接OO、BB、AE，它们的交点即为m最小时，P点的位置（即费马点）；OA=OB，BOB=AOE=150，OB=OE，AOEBOB；BBO=AEO；在AE上截取EP=BP，又OB=OE，BBO=AEO，则OPBOPE；OP=OP；注：三角形OPP为等边三角形，pp=opPA+PB+PO=AP+OP+PE=AE；即m最小=AE=；如图；作正OBE的外接圆Q，根据费马点的性质知BPO=120，则BPO+BOP=120，而EBO=EOB=60；PBE+POE=180，BPO+BEO=180；即B、P、O、E四点共圆；易求得Q（，1），则H（，0）；AH=；由割线定理得：APAE=OAAH，即：AP=OAAHAE=故：m可以取到的最小值为当m取得最小值时，线段AP的长为（如遇不同解法，请老师根据评分标准酌情给分）点评：此题是二次函数的综合类试题，涉及到二次函数解析式的确定、等边三角形的性质、解直角三角形以及费马点位置的确定和性质，能力要求极高，难度很大（2008西城一模）25.如图，正六边形ABCDEF中，点M在AB边上，FMH=120，MH与六边形外角的平分线BQ交于点H （1）当点M不与点A、B重合时，求证：AFM=BMH（2）当点M在正六边形ABCDEF一边AB上运动（点M不与点B重合）时，猜想FM与MH的数量关系，并对猜想的结果加以证明考点：正多边形和圆；全等三角形的判定与性质专题：探究型分析：（1）先有正多边形的内角和定理得出六边形ABCDEF内角的度数，再根据FMH=120，A、M、B在一条直线上，再根据三角形内角和定理即可得出结论；（2）当点M与点A重合时，FMB=120，MB与BQ的交点H与点B重合，故可直接得出结论；当点M与点A不重合时，连接FB并延长到G，使BG=BH，连接MG，由全等三角形的判定定理可得出MBHMBG，再根据全等三角形的性质即可得出结论解答：（1）证明：六边形ABCDEF为正六边形，每个内角均为120FMH=120，A、M、B在一条直线上，AFM+FMA=FMA+BMH=60，AFM=BMH（2）解：猜想：FM=MH证明：当点M与点A重合时，FMB=120，MB与BQ的交点H与点B重合，有FM=MH当点M与点A不重合时，证法一：如图1，连接FB并延长到G，使BG=BH，连接MGBAF=120，AF=AB，AFB=FBA=30BH=BGMBH=MBGMB=MB，MBHMBG，MHB=MGB，MH=MG，AFM=BMH，HMB+MHB=30，AFM+MGB=30，AFM+MFB=30，MFB=MGBFM=MG=MH证法二：如图2，在AF上截取FP=MB，连接PMAF=AB，FP=MB，PA=AMA=120，APM=12（180-120）=30，有FPM=150，BQ平分CBN，MBQ=120+30=150，FPM=MBH，由（1）知PFM=HMB，FPMMBHFM=MH点评：本题考查的是正多边形和圆，涉及到正多边形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，涉及面较广，难度较大（2008西城二模）25. 设点E是平行四边形ABCD的边AB的中点，F是BC边上一点，线段DE和AF相交于点P，点Q在线段DE上，且AQPC （1）证明：PC=2AQ（2）当点F为BC的中点时，试比较PFC和梯形APCQ面积的大小关系，并对你的结论加以证明考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；梯形专题：几何综合题分析：（1）延长DE，CB，相交于点R，作BMPC，交DR于点M根据题意得AQE=EMB，可证得AEQBEM，AEDBER则AD=BR=BC，再根据BMPC，证出RBMRCP，即可得出PC=2AQ（2）作BNAF，交RD于点N，则RBNRFP则BN/PF=RB/RF=2/3还可证明BNEAPE根据相似三角形的性质得出SPFC=S梯形APCQ解答：（1）证明：证法一：延长DE，CB，相交于点R，作BMPC，交DR于点MAQPC，BMPC，MBAQAQE=EMBE是AB的中点，D、E、R三点共线，AE=EB，AEQ=BEMAEQBEMAQ=BM同理AEDBERAD=BR=BCBMPC，RBMRCP，相似比是1：2PC=2MB=2AQ证法二：连接AC，交PQ于点K，易证AKECKD，AE/DC=AK/KC=1/2AQPCAKQCKPAK/KC=1/2，AQ/PC=1/2，即PC=2AQ（2）解：SPFC=S梯形APCQ作BNAF，交RD于点NRBNRFPF是BC的中点，RB=BC，RB=2/3RFBN/PF=RB/RF=2/3易证BNEAPEAP=BNAP=2/3PF因PFC（视PC为底）与梯形APCQ的高的比等于PFC与PQC中PC边上的高的比，易知等于PF与AP的比，于是可设PFC中PC边上的高h1=3k，