北京四中-高考数学总复习：-知识梳理-对数与对数函数

对数与对数函数【考纲要求】1.掌握对数的概念、常用对数、对数式与指数式互化，对数的运算性质、换底公式与自然对数；2.掌握对数函数的概念、图象和性质. 3.正确使用对数的运算性质；底数a对图象的影响及对数函数性质的作用.4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法；【知识网络】对数与对数函数图象与性质对数运算性质对数函数的图像与性质对数的概念指对互化运算【考点梳理】考点一、对数概念及其运算我们在学习过程遇到2x=4的问题时，可凭经验得到x=2的解，而一旦出现2x=3时，我们就无法用已学过的知识来解决，从而引入出一种新的运算对数运算.(一)对数概念:1.如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:logaN=b.其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2.对数恒等式：3.对数具有下列性质：(1)0和负数没有对数，即；(2)1的对数为0，即；(3)底的对数等于1，即.(二)常用对数与自然对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，.以e为底的对数叫做自然对数， .(三)对数式与指数式的关系由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化.它们的关系可由下图表示.由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化.(四)积、商、幂的对数已知(1)；推广：(2)；(3).(五)换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a0， a1， M0的前提下有:(1) 令 logaM=b， 则有ab=M， (ab)n=Mn，即， 即，即:.(2) ，令logaM=b， 则有ab=M， 则有 即， 即，即当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以得到一个重要的结论:.考点二、对数函数及其图像、性质1.函数y=logax(a0，a1)叫做对数函数.2.在同一坐标系内，当a1时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当0a0，a1)的定义域为(0，+)，值域为R(2)对数函数y=logax(a0，a1)的图像过点(1，0)(3)当a1时，【典型例题】类型一、指数式与对数式互化及其应用例1.将下列指数式与对数式互化：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).【解析】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.举一反三：【变式】求下列各式中x的值：(1) (2) (3)lg100=x (4)【解析】(1)；(2)；(3)10x=100=102，于是x=2；(4)由.类型二、对数运算法则的应用例2.求值(1) log89log2732(2)(3)(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)【解析】(1)原式=.(2)原式=(3)原式=(4)原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52) 举一反三：【变式】已知：log23=a， log37=b，求：log4256=?【解析】 ，类型三、对数函数性质的综合应用例3.已知函数（1）求函数的值域；（2）求的单调性【解析】举一反三：【变式】已知f(logax)=(a0且a1)，试判断函数f(x)的单调性.【解析】设t=logax(xR+， tR).当a1时，t=logax为增函数，若t1t2，则0x1x2， f(t1)-f(t2)=， 0x11， f(t1)f(t2)， f(t)在R上为增函数，当0a1或0a1， f(x)在R上总是增函数.例4求函数y=(-x2+2x+3)的值域和单调区间.【解析】设t=-x2+2x+3，则t=-(x-1)2+4. y=t为减函数，且00，即-1x1)，记ABC的面积为S.(1)求S=f(a)的表达式； (2)求函数f(a)的值域；(3) 判断函数S=f(a)的单调性，并予以证明；(4)若S2，求a的取值范围.【解析】(1)依题意有g(x)=log2x(x0). 并且 A、B、C三点的坐标分别为A(a， log2a)， B(a+4， log2(a+4)， C(a+8， log2(a+8) (a1).A，C中点D的纵坐标为log2a+log2(a+8) S=|BD|42=4|BD|=4log2(a+4)-2log2a-2log2(a+8).(2)把S=f(a)变形得：S=f(a)=22log2(a+4)-log2a-log2(a+8)=2log2=2log2(1+).由于a1时，a2+8a9， 11+，又函数y=log2x在(0，+)上是增函数， 02log2(1+)2log2，即0S2log2.(3)S=f(a)在定义域(1，+)上是减函数，证明如下：任取a1，a2，