全国初中(初一)数学竞赛辅导：第05讲-方程组的解法

七彩教育网 本资料来源于七彩教育网全国初中（初一）数学竞赛辅导第五讲 方程组的解法二元及多元(二元以上)一次方程组的求解，主要是通过同解变形进行消元，最终转化为一元一次方程来解决所以，解方程组的基本思想是消元，主要的消元方法有代入消元和加减消元两种，下面结合例题予以介绍例1 解方程组解 将原方程组改写为由方程得x=6+4y，代入化简得11y-4z=-19 由得2y+3z=4 3+4得33y+8y=-57+16，所以 y=-1将y=-1代入，得z=2将y=-1代入，得x=2所以为原方程组的解说明 本题解法中，由，消x时，采用了代入消元法；解，组成的方程组时，若用代入法消元，无论消y，还是消z，都会出现分数系数，计算较繁，而利用两个方程中z的系数是一正一负，且系数的绝对值较小，采用加减消元法较简单解方程组消元时，是使用代入消元，还是使用加减消元，要根据方程的具体特点而定，灵活地采用各种方法与技巧，使解法简捷明快例2 解方程组解法1 由，消x得由，消元，得解之得将y=2代入得x=1将z=3代入得u=4所以解法2 由原方程组得所以x=5-2y=5-2(8-2z)=-11+4z=-11+4(11-2u)=33-8u=33-8(6-2x)=-15+16x， 即x=-15+16x，解之得x=1将x=1代入得u=4将u=4代入得z=3将z=3代入得y=2所以为原方程组的解解法3 +得x+y+z+u=10， 由-(+)得y+u=6， 由2-得4y-u=4， +得y=2以下略说明 解法2很好地利用了本题方程组的特点，解法简捷、流畅例3 解方程组分析与解 注意到各方程中同一未知数系数的关系，可以先得到下面四个二元方程： +得x+u=3， +得y+v=5， +得z+x=7， +得u+y=9 又+得x+y+z+u+v=15 -得z=7，把z=7代入得x=0，把x=0代入得u=3，把u=3代入得y=6，把y=6代入得v=-1所以为原方程组的解例4 解方程组解法1 2+得由得代入得为原方程组的解为原方程组的解说明 解法1称为整体处理法，即从整体上进行加减消元或代入消为换元法，也就是干脆引入一个新的辅助元来代替原方程组中的“整体元”，从而简化方程组的求解过程 例5 已知分析与解 一般想法是利用方程组求出x，y，z的值之后，代入所求的代数式计算但本题中方程组是由三个未知数两个方程组成的，因此无法求出x，y，z的确定有限解，但我们可以利用加减消元法将原方程组变形-消去x得3+消去y得5+3消去z得 例6 已知关于x，y的方程组分别求出当a为何值时，方程组(1)有唯一一组解；(2)无解；(3)有无穷多组解分析 与一元一次方程一样，含有字母系数的一次方程组求解时也要进行讨论，一般是通过消元，归结为一元一次方程ax=b的形式进行讨论但必须特别注意，消元时，若用含有字母的式子去乘或者去除方程的两边时，这个式子的值不能等于零解 由得2y=(1+a)-ax， 将代入得(a-2)(a+1)x=(a-2)(a+2) (1)当(a-2)(a+1)0，即a2且a-1时，方程有因而原方程组有唯一一组解(2)当(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)0时，即a=-1时，方程无解，因此原方程组无解(3)当(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)=0时，即a=2时，方程有无穷多个解，因此原方程组有无穷多组解例7 已知关于x，y的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0，当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解解法1 根据题意，可分别令a=1，a=-2代入原方程得到一个方程组将x=3，y=-1代入原方程得(a-1)3+(a+2)(-1)+5-2a=0所以对任何a值都是原方程的解说明 取a=1为的是使方程中(a-1)x=0，方程无x项，可直接求出y值；取a=-2的道理类似解法2 可将原方程变形为a(x+y-2)-(x-2y-5)=0由于公共解与a无关，故有例8 甲、乙两人解方程组原方程的解分析与解 因为甲只看错了方程中的a，所以甲所得到的解4(-3)-b(-1)=-2 a5+54=13 解由，联立的方程组得所以原方程组应为练习五1解方程组2若x1，x2，x3，x4，x5满足方程组试确定3x4+2x5的值3将式子3x2+2x-5写成a(x+1)2+b(x+1)+c的形式，试求4k为何值时，方程组有唯一一组解；无解；无穷多解？5若方程组的