全等三角形与旋转问题

1 七年级数学下七年级数学下- 全等三角形全等三角形 【1】如图，点为线段上一点，、是等边三角形CABACMCBN 请你证明：；平分ANBMDEABCFAFB M D N E CB F A 【2】如图，点为线段上一点，、是等边三角形，是中点，是中点，CABACMCBNDANEBM 求证：是等边三角形CDE MD N E CBA 【3】如下图，在线段同侧作两个等边三角形和()，点与点分别AEABCCDE120ACEPM 是线段和的中点，则是_。BEADCPM A钝角三角形 B直角三角形 C等边三角形 D非等腰三角形 P M B C D E A D E C B A 【4】如图，等边三角形与等边共顶点于点求证：ABCDECCAEBD 2 【5】如图，是等边内的一点，且，问的度数是DABCBDADBPABDBPDBC BPD 否一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由 P D CB A 【6】如图，等腰直角三角形中，为中点，求证：ABC90B ABaOACEOOF 为定值BEBF O B E CF A 【7】在等腰的斜边上取两点、，使，记，Rt ABCABMN45MCNAMmMNxBNn 则以 、 为边长的三角形的形状是（ ） 。A锐角三角形 B直角三角形xmn C钝角三角形 D随 、 的变化而变化xmn MN C BA N M D CB A 【9】如图所示，是边长为 的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作ABC1BDC120D 一个的，点、分别在、上，求的周长。60MDNMNABACAMN 3 【8】请阅读下列材料：已知：如图 1 在中，点、分别为线Rt ABC90BACABACDE 段上两动点，若探究线段、三条线段之间的数量关系BC45DAEBDDEEC 小明的思路是：小明的思路是：把绕点顺时针旋转，得到，连结，使问题得到解决请你AECA90ABEE D 参考小明的思路探究并解决下列问题： 猜想、三条线段之间存在的数量关系式，BDDEEC 并对你的猜想给予证明； 当动点在线段上，动点运动在线段延长线上时，如图EBCDCB 2，其它条件不变，中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明 图 1 A B C D E 图 2 A B C DE 【12】平面上三个正三角形，两两共只有一个顶点，求证：与平分ACFABDBCEEFCD F E D B C A 4 【10】在等边的两边AB，AC所在直线上分别有两点M，N，D为外一点，且ABCABC ，探究：当点M，N分别爱直线AB，AC上移动时，60MDN120BDCBDCD BM，NC，MN之间的数量关系及的周长与等边的周长L的关系。 AMNABC 如图，当点M，N在边AB，AC上，且DM=DN时，BM，NC，MN之间的数量关系式_； 此时=_ Q L 如图，当点M，N在边AB，AC上，且时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你DNDM 的猜想并加以证明； 如图，当点M，N分别在边AB，CA的延长线上时，若AN=x，则Q=_(用x，L表示) 【13】已知：如图，、都是等边三角形，且、共线，ABCCDEEHKADKADDK 求证：也是等边三角形HBD E K H C D B A M A B D C H K E 5 【11】(1)如图，在四边形ABCD中，ABAD，BD，E、F分别是边BC、CD上的点，90 且EAF=BAD求证：EFBEFD。 1 2 F E D CB A (2) 如图，在四边形ABCD中，ABAD，B+D，E、F分别是边BC、CD上的点，180 且EAF=BAD， (1)中的结论是否仍然成立？不用证明 1 2 F E D C B A 【14】 如图所示，在五边形中，求此五边形ABCDE90BE ABCDAE1BCDE 的面积。 E D C B A 【15】 在五边形中，已知，连接ABCDEABAEBCDECD180ABCAED AD 求证：平分ADCDE E DC B A 6 【16】如图，已知和都是等边三角形，、在一条直线上，试说明与ABCADEBCDCE 相等的理由ACCD E D C B A 【17】在梯形中，是中点，试判断ABCDABCD90A 2AB 3BC 1CD EAD 与的位置关系，并写出推理过程ECEB AB C D E 【18】在等腰直角中，是的中点，点从出发向运动，ABC90ACB ACBCMABPBC 交于点，试说明的形状和面积将如何变化MQMPACQMPQ A P M C Q B 【19】等边和等边的边长均为 1，是上异于的任意一点，是上ABDCBDEBEADAD、FCD 一点，满足，当移动时，试判断的形状1AECFEF、BEF D F E C B A 7 答案：答案：【1】、是等边三角形，ACMCBNMCACCNCBACNMCB ，；由易推得，所以，又ACNMCBANBMACNMCBNDCBECCDCE ，进而可得为等边三角形易得过点作于，60MCN DECDEABCCGANG 于，由；利用进而再证，可得，故CHBMHACNMCBAASBCHNCDAFCBFC 平分CFAFB 【2】，；又、分别是、的中点，ACNMCBANBMABMANC DEANBM ，；BCENCDCECDBCENCD ；是等边三角形60DCENCDNCEBCENCENCB CDE 【3】易得所以可以看成是绕着点顺时针旋转而得到的又为ACDBCEBCEACDC60M 线段中点，为线段中点，故就是绕着点顺时针旋转而得所以且，ADPBECPCMC60CPCM ，故是等边三角形，选 C60PCMCPM 【4】是等边三角形，ABC60ACBACBC ，同理，60BCDDCA 60ACEDCA DCECBCDACE 在与中，BCDACE ， BCAC BCDACE DCEC BCDACEBDAE 【5】连接，将条件，这两个条件，易得()，得CDBDADBPABACDBCDSSS ，由，(公共边)，知 1 30 2 BCDACDACB BPABBCDBPDBC BDBD ()，故的度数是定值BDPBDCSAS30BPDBCD BPD A BC D P 4 3 2 1 O B E CF A M D N C BA 【6】连结由上可知，而，OB1290 2390 13 445C OBOC ，OBEOCFBEFCBEBFCFBFBCa 【7】如图，将绕点顺时针旋转，得，连结，则，CBNC90CADMDADBNnCDCN ，ACDBCNMCDACMACDACMBCN 904545MCN ，又易得，在中，MDCMNCMDMNx454590DAM Rt AMD 8 有，故应选(B) 222 mnx 【8】 证明：根据绕点顺时针旋转得到； 222 DEBDECAECA90ABEAECABE ，；在中；BEEC AEAE CABE EACE AB Rt ABCABAC ；即；45ABCACB 90ABCABE90E BD 222 E BBDE D 又；即；45DAE45BADEAC45E ABBAD45E AD ；AE DAEDDE DE 222 DEBDEC E E D C B A F ED C B A 关系式仍然成立；证明：将沿直线对折，得，连 222 DEBDECADBADAFDFE ；，；，；AFDABDAFABFDDBFADBAD AFDABD 又，；ABACAFAC45FAEFADDAEFAD ；9045EACBACBAEDAEDABDAB FAEEAC 又；，；AEAEAFEACEFEEC45AFEACE ； ；180135AFDABDABC 1354590DFEAFDAFE 在中；即；Rt DFE 222 DFFEDE 222 DEBDEC 【9】如图所示，延长到使在与中，ACECEBMBDMCDE 因为，所以，故BDCD90MBDECD BMCEBDMCDEMDED 因为，所以又因为，120BDC 60MDN 60BDMNDC BDMCDE 所以 在与中，60MDNEDN MNDENDDNDN60MDNEDN DMDE 所以，则，所以的周长为 MNDENDNEMNAMN2 N M E D C B A 【10】BM+NC=MN; 2 3 Q L 9 (2)猜想：仍然成立；证明：如图，延长AC至E，使CE=BM，连接DE； ,120BDCDBDC且， ；由是等边三角形，；30DBCDCB ABC90MBDNCD ()MBDECD SAS ，；在与中；,DMDEBDMCDE 60EDNBDCMDN MDNEDN ； DMDE MDNEDN DNDN ()MDNEDN SASMNNENCBM 的周长=；AMNQAMANMN()()AMBMANNC2ABACAB 而等边的周长；(3)；ABC3LAB 2 3 Q L 2 2 3 xL 【11】证明：延长EB到G，使BG=DF，联结AG ABGABC=D， ABAD，90 AGAF， ABGADF12 1 1323 2 EAFBAD GAE=EAF又 AEAE，EGEF EG=BE+BGEF= BEFD AEGAEF (2) (1)中的结论仍然成立 EFBEFD 【12】连接与；，；DEDFDBAEBC BADCAF DBEABC BACDAF 在与中； ；DBEABC DBAB DBEABC BEBC (SAS)DBEABCDECAFC 在与中；DFABCA DABA DAFBAC AFAC (SAS)DFABCADFBCEC 为平行四边形，互相平分DECFEFCD 【13】连结，所以，并且与的夹角为，EBCECDCEEABEADBEADBEAD60 延长交于，则EBAKM360300EBHBHDHDEBEDHDMMDEMEDDMMDEMEDHDMHDK 又因为，所以所以，HKADBEBHHDBEHDKHHKHE EHDEHDDHKBHE 【14】连接，则发现，且，是底、高各为 的AFABCAEF1FD AFACAEABADF1 三角形，其面积为，而与全等，从而可知此五边形的面积为 1 2 ACDAFD1 【15】连接由于，我们以为中心，将逆时针旋转到ACABAE180ABCAED AABC 的位置因，所以点与点重合，而，AEFABAEBE180AEFAEDABCAED 10 所以、在一条直线上，点旋转后落在点的位置，且，DEFCFAFACEFBC 所以在与中，因为，DFDEEFDEBCCDACDAFDACAFCDFDADAD 故，因此，即平分ACDAFDADCADF ADCDE F E D C B A F E DC B A F E D C BA 【16】答案：，；ACABCAEBAD AEADAECADB ；又；CEBDBDBCCDACCDCEACCD 【17】答案：延长交延长线于点是中点，BECDFEADDEAE ，在和中，ABCD90A 90EDFEAB ABEDFE AEBFED ；，；又， ABEDFE EABEDF AEDE AEBFEDFEBE2,3,1ABBCCDCFBC 在和中，； ，FCEBCE FCBC CECE FEBE FCEBCECEEB 【18】答案：连接因为且，所以CMACBC90ACB 45B 因为是的中点，所以，且，则MAB90AMCBMC 45ACM CMBMACMB 因为，所