反比例函数中的面积问题

中考查漏补缺-反比例函数与面积问题图1ANMXYO对于反比例函数y=及图像的特殊性，很多中考试题都将反比例函数与面积问题结合起来进行考察。这种考察方式既能考查函数、反比例函数本身的基础内容，又能充分体现数形结合思想，考查题型多样，方法灵活，可以更好地将知识和能力融合在一起。一、 利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关问题。一般地，如图1，过双曲线上任一点A（x,y）作x轴、y轴的垂线AM、AN，所得矩形AMON的面积为：S=AMAN=|x|y|=|xy|.又y=，xy=k.=|k|.结论1：过双曲线上任一点，做X轴、Y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值|k|,这是系数k的几何意义，明确了k的几何意义会给解题带来许多方便。对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：结论2：对于直角三角形AOM中，面积；结论3：对于直角三角形ABC中，面积；结论4：对于直角三角形PBC中，面积；图2xyOCBA1、已知面积，求反比例函数的解析式（或比例系数K）【例题解析】例1.（1） （2011年杭州模拟）如图2，反比例函数图像上一点A与坐标轴围成的矩形ABOC的面积是8 ，则该反比例函数的解析式为 .思路分析:利用反比例函数的特点及矩形PEOF的面积为8，求k的值.设反比例函数为,xy=k.由于图象在第三象限,k=8.既反比例函数解析式是.答案: ABCOEF图3（2）（2011年建德模拟）如图3，矩形OABC的两边在坐标轴上，且与反比例函数的图像交于点E、F，其中点E、F分别是BC、AB的中点，若四边形OFBE的面积，则的值 思路分析:连结OB，E、F分别是BC、AB的中点而由得解得K=2.答案: K=22、已知反比例函数解析式，求图形的面积。图4例2.（1） (2011年杭州模拟)如图4，P1、P2、P3是双曲线上的三点过这三点分别作y轴的垂线，得到三个三角形P1A10、P2A20、P3A30，设它们的面积分别是S1、S2、S3，则( )A S1S2S3 B S2S1S3 CS1S3S2 DS1=S2=S3思路分析:利用函数解析式与面积的关系求解.S1, S2, S3,S1=S2=S3. 答案: D（2）(2011年金华模拟)如图5，点、是双曲线上的点，分别经过、两点向轴、轴作垂线段，若则 思路分析:由结论可知xyABO图5S1=S2=2，S1+S2=4答案:4二、已知特殊点，求组成图形的面积。例3. 如图6，在直角坐标系xOy中，一次函数y=k1x+b的图像与反比例函数y=的图像交于A（1，4）、B（3、m）两点.（1）求一次函数的解析式；（2）求AOB的面积.思路分析:（1）待定系数法。（2）AOB是以反比例函数图像与一次函数图像的交点和坐标原点所围成的图形，AOB面积直接比较难求，可看作SCOD- SCOA- SBOD. 先求出一次函数的解析式，然后求出一次函数y=k1x+6的图像与x轴和y轴的交点坐标，就可求出SCOD、SCOA、SBOD，即可求出SAOB=4-1-4=.图7答案: 变式：如图7，反比例函数与一次函数的图象相交于A、B两点。（1）求A、B两点的坐标；（2）求的面积。思路分析:将的面积转化为与面积和求解。解：（1）解方程组得所以A、B两点的