集合的概念与运算

考纲导读集 合（一）集合的含义与表示1了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系.2能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题。（二）集合间的基本关系1理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.2在具体情境中，了解全集与空集的含义.（三）集合的基本运算1理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。2理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.3能使用韦恩图（Venn）表达集合的关系及运算。无限集知识网络有限集分类空集集合的概念确定性元素的性质集合互异性列举法无序性集合的表示法描述法真子集子集包含关系相 等交集集合运算集合与集合的关系并集补集高考导航根据考试大纲的要求，结合年高考的命题情况，我们可以预测年集合部分在选择、填空和解答题中都有涉及，高考命题热点有以下两个方面：一是集合的运算、集合的有关述语和符号、集合的简单应用等作基础性的考查，题型多以选择、填空题的形式出现；二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现。基础过关第1课时 集合的概念一、集合的概念1定义：集合是一个不能定义的原始概念，其描述性定义为：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集2表示：用大括号或大写字母表示3常见数集:自然数集、正整数集、整数集、有理数集、实数集，奇数集或或，偶数集元素及表示：集合中的每一个对象叫做这个集合的元素构成集合的元素除了常见的数、式、点等数学对象之外，还可以是其它任何对象。元素通常用小写字母表示5集合中元素的三个特征（集合中元素的三性）： 确定性：是指集合中的元素必须是确定的，即任何一个对象都能判断它是或不是某个集合的元素，二者必居其一。如“接近于的实数”由于没有一个确定的界限，故是否属于这个范围不能判断，所以“接近于的实数”不能组成一个集合 互异性：是指集合中的元素互不相同，即同一个集合中不能出现同一个元素两次，如： 表示一个集合，则且 无序性：集合中的元素无先后顺序之分，如与是同一个集合在集合的运算中，常用元素的互异性检验所得结论是否正确.6集合的分类：按集合中元素的个数分为有限集和无限集；按集合中元素的属性分为数集、点集和图形集等7集合的表示法： 列举法：把集合中的元素一一列举出来的方法，其基本形式是. 描述法:用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法,其基本形式是. 图示法:画一条封闭的曲线,用其内部表示一个集合.通常我们会根据不同的需要来选用合适的方法表示集合.一般地,表示有限集常用列举法，表示无限集常用描述法，表示抽象集常用图示法正确认识一个集合的关键是理解集合中元素的特征.8.空集:不含任何元素的集合叫做空集,记作二、元素与集合的关系元素与集合是属于和不属于的从属关系，分别用和来表示若是集合的元素，记作；若不是集合的元素，记作判断元素与集合的属于与否，注意通过元素的确定性去分析，但是要注意元素与集合是相对而言的三、集合与集合的关系1集合与集合的关系用符号和表示2子集：一般地，对于两个集合和，若集合的任何一个元素都是集合的元素，则集合是集合的子集，记作（或），读作集合包含于集合（或集合包含集合）3相等：若集合中的任何一个元素都是集合的元素，同时集合中的任何一个元素都是集合的元素，就说集合等于集合，记作4真子集：如果集合的任何一个元素都是集合的元素，且，就说集合是集合的真子集，记作（或）5若集合含有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个6空集是一个特殊而又重要的集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，即（在解题时，若已知，切不可忽视的情况）；是任何非空集合的真子集，即典型例题例1. 已知集合，试求集合的所有子集.变式训练1.若,集合,求的值. 例2. 设集合，求实数的值.变式训练2：（1），求的取值？（2），,求。注：（1）特殊集合作用，常易漏掉.例3. 已知集合.（1）若是空集，求的取值范围；（2）若中只有一个元素，求的值；探究1：若中至多只有一个元素，求的取值范围.答案：中至多只有一个元素包含中只有一个元素和是空集两种含义，根据（1）、（2）的结果，得或.变式训练3.（1）已知且，求实数的值；（2）已知，且，求的值.例4. 若集合，且，试求实数的值探究2：已知集合，其中，若，求的值. 归纳小结小结归纳1本节的重点是集合的基本概念和表示方法，对集合的认识，关键在于化简给定的集合，确定集合的元素，并真正认识集合中元素的属性，特别要注意代表元素的形式，不要将点集和数集混淆2利用相等集合的定义解题时，特别要注意集合中元素的互异性，对计算的结果要检验3注意空集的特殊性，在解题时，若未指明集合非空，则要考虑到集合为空集的可能性4要注意数学思想方法在解题中的运用，如化归与转化、分类讨论、数形结合的思想方法在解题中的应用基础过关第2课时 集合的运算一、集合的运算及性质1交集及性质：1)交集:一般地，由所有属于集合且属于集合的元素组成的集合，叫做集合与的交集，记作，即2)性质: ，2并集及性质：1)并集:一般地,由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，叫做集合与的并集，记作，即2)性质: ，,3补集、全集及性质：1)补集、全集:集合是集合的子集，由所有不属于的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作，即如果集合中含有所要研究的各个集合的全部元素，这个集合可视为一个全集，用表示2)性质:，二、集合的常用运算性质及结论1子集个数公式：，则(1)的子集个数为个；(2)的非空子集个数为个；(3)的真子集个数为个；(4)非空真子集个数为个2中间子集个数公式：，则(1)若，则的个数为个；(2)若，则的个数为个；(3)若，则的个数为个；(4)若，则的个数为个3德摩根定律:，.4设有限集合 、，则（1）；（2）5典型例题例1. 设全集，方程有实数根，方程有实数根，求.变式训练1.已知集合,. （1）当时，求；（2）若，求实数的值.例2. 已知,.(1)若,求的取值范围；(2) 若,求的取值范围.变式训练2：设集合,.（1）若,求实数的值；（2）若，求实数的取值范围；（3）若，求实数的取值范围.例3. 已知集合，试问是否存在实数，使得？ 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.探究1：设集合， 问是否存在非零整数，使？若存在，请求出的值；若不存在，说明理由.探究2：小结归纳已知，是否存在实数，使得?若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由1在解决有关集合运算题目时，关键是准确理解题目中符号语言的含义，善于转化为文字语言2集合的运算可以用韦恩图帮助思考，实数集合的交、并运算可在数轴上表示，注意在运算中运用数形结合思想3对于给出集合是否为空集，集合中的元素个数是否确定，都是常见的讨论点，解题时要有分类讨论的意识.练习题：1设集合，则（ ） 2已知为集合的非空真子集，且不相等，若，则（ ） 3已知集合，若，则实数的取值范围是（） 若全集，集合，则 。已知集合，则若，则（） 7集合，则（ ） 8.集合，求的值。9.已知，若，求的值。10. 初三（2）班共有名同学，参加物理竞赛的同学有名，参加数学竞赛的同学有名，且