导数及其运用

导数及其应用一、相关概念1导数的概念函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=f（x+）f（x），比值叫做函数y=f（x）在x到x+之间的平均变化率，即=。如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x处的导数，记作f（x）或y|。即f（x）=。求函数的增量=f（x+）f（x）；求平均变化率=；取极限，得导数f(x)=。2导数的几何意义函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x，f（x）处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x，f（x）处的切线的斜率是f（x）。相应地，切线方程为yy=f/（x）（xx）。3.导数的物理意义如果物体运动的规律是s=s（t），那么该物体在时刻t的瞬间速度v=（t）。 如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v（t），则该物体在时刻t的加速度a=v（t）。二求导数的方法1 几个常用函数的导数1若，则_； 2若，则_；3若，则_； 4若，则_。2 基本初等函数的导数1若，则_； 2若()，则_；3若，则_； 4若，则_;5若，则_ ()； 6若，则_7若，则_ (且)；8若，则_3. 导数的四则运算 ，4. 复合函数的导数设在点x处可导，在点处可导，则复合函数在点x处可导， 且，即三，导数的应用1.函数的单调性求函数的单调区间的一般步骤：求出的导数；求出方程的根；（x）0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（x）=m恒成立，求 m的最大值；（2）若方程f(x)=0有且仅有一个实根，求a的取值范围；例9实际运用1.（2007重庆文）用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？2.(湖南文)某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量(吨)与每吨产品的价格(元/吨)之间的关系式为：,且生产x吨的成本为（元）。问该产每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入-成本）.练习1.(全国卷文)函数,已知在时取得极值,则=( ) （A）2（B）3（C）4（D）52(海南、宁夏文)设，若，则（ ）A. B. C. D. 3（广东）函数是减函数的区间为（ ）A B C D（0，2）4.（安徽文）设函数 则（ ）A有最大值 B有最小值 C是增函数D是减函数5（福建文、理)已知对任意实数x有f(x)=f(x)，g(-x)=g(x)，且x0时，f(x)0，g(x)0，则x0，g(x)0 B f(x)0，g(x)0C f(x)0 D f(x)0，g(x)0）有极大值9. （）求m的值； （）若斜率为-5的直线是曲线的切线，求此直线方程.29(2007海南、宁夏文)设函数（）讨论的单调性； （）求在区间的最大值和最小值30.（2009陕西20）已知函数f(x)=x-3ax-1,a不等于0. （1）求f(x)的单调区间； （2）若f(x)在x=-1处取得极值，直线y=m与y=f(x)的图像有三个不同的交点，求m的取值范围。31.已知函数在与时都取得极值.(1)求的值与函数的单调区间；(2)若对任意不等式恒成立，求的取值范围.32.已知为实数, . (1)求