导数综合题题根之二：不对称问题(极值点偏移)

导数综合题题根之二：不对称问题（极值点偏移）山东省平度第一中学 王尊甫一、极值点偏移初步认识：极值点偏移问题在近几年高考及各种模考中作为热点以压轴题的形式多次给出，难度较大，需要引起老师们的高度关注。那么，什么是极值点偏移问题呢？极值点偏移问题的表述是：已知函数是连续函数，在区间内有且只有一个极值点，且，若极值点左右的“增减速度”相同，常常有极值点，我们称这种状态为极值点不偏移，函数图像呈现对称形态；若极值点左右的“增减速度”不同，函数的图象不具有对称性，常常有极值点的情况，我们称这种状态为“极值点偏移”. 根据与的大小关系，我们将极值点偏移划分为极值点左偏和极值点右偏两种情况，如下图所示：我们可以尝试给出极值点左（右）偏的一般性定义：极值点左偏：若函数满足，且在内有唯一一个极值点，如果，则函数极值点左偏。如图1，若函数极值点左偏，且的图像上凸（即递减），则；如图2，若函数极值点左偏，且的图像下凸（即递增），则；极值点右偏：若函数满足，且在内有唯一一个极值点，如果，则函数极值点右偏。如图3，若函数极值点右偏，且的图像上凸（即递减），则；如图4，若函数极值点右偏，且的图像下凸（即递增），则；二、高考题题型及解法分析近几年高考题中首次出现极值点偏移问题要追溯到2010年天津卷。例1.（2010天津理）已知函数 ，如果，且 ，证明：【解析】方法一：，易得在上单调递增，在上单调递减，时，时， 函数在处取得极大值，且,如图所示.由，不妨设，则必有，构造函数，则，所以在上单调递增，也即对恒成立.由，则，所以，即，又因为，且在上单调递减，所以，即证方法二：欲证，即证，由法一知，故，又因为在上单调递减，故只需证，又因为，故也即证，构造函数，则等价于证明对恒成立.由，则在上单调递增，所以，即已证明对恒成立，故原不等式亦成立.方法三：由，得，化简得，不妨设，由法一知，.令，则，代入式，得，反解出，则，故要证：，即证：，又因为，等价于证明：，构造函数，则，故在上单调递增，从而也在上单调递增，即证式成立，也即原不等式成立.方法四：由法三中式，两边同时取以为底的对数，得，也即，从而，令，则欲证：，等价于证明：，构造，则，又令，则，由于对恒成立，故，在上单调递增，所以，从而，故在上单调递增，由洛必达法则知：，即证，即证式成立，也即原不等式成立.【点评】以上四种方法均是为了实现将双变元的不等式转化为单变元不等式，方法一、二利用构造新的函数来达到消元的目的，方法、四则是利用构造新的变元，将两个旧的变元都换成新变元来表示，从而达到消元的目的.例2.已知函数有两个不同的零点，求证：.【解析】方法一：函数的两个零点，等价于方程的两个实根，从而这一问题与例1完全等价，例1的四种方法全都可以用；方法二：也可以利用参数这个媒介去构造出新的函数.解答如下：因为函数有两个零点， 所以， 由得：，要证明，只要证明， 由得：，即， 即证：， 不妨设，记，则， 因此只要证明：，再次换元令，即证构造新函数，求导，得在递增，所以，因此原不等式获证.【点评】含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元的基础上，又多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数。例3.函数，为常数，若函数有两个零点，试证明：【解析】方法一：消参转化成无参数问题：，是方程的两根，也是方程的两根，则是，设，则，从而，此问题等价转化成为例1，下略.方法二：利用参数作为媒介，换元后构造新函数： 不妨设，欲证明，即证.，即证，原命题等价于证明，即证：，令，构造，此问题等价转化成为例2中思路二的解答，下略.方法三：直接换元构造新函数：设，则，反解出：，故，转化成法二，下同，略.例4.设函数，其图像与轴交于两点，且.证明：.【解析】由，易知：的取值范围为，在上单调递减，在上单调递增.法一：利用通法构造新函数，略；法二：将旧变元转换成新变元：两式相减得：，记，则，设，则，所以在上单调递减，故,而，所以，又是上的递增函数，且，.容易想到，但却是错解的过程：欲证：，即要证：，亦要证，也即证：，很自然会想到：对两式相乘得：，即证：.考虑用基本不等式，也即只要证：.由于.当取将得到，从而.而二元一次不等式对任意不恒成立，故此法错误.【迷惑】此题为什么两式相减能奏效，而变式相乘却失败？两式相减的思想基础是什么？其他题是否也可以效仿这两式相减的思路? 【解决】此题及很多类似的问题，都有着深刻的高等数学背景.拉格朗日中值定理：若函数满足如下条件：（1） 函数在闭区间上连续；（2） 函数在开区间内可导，则在内至少存在一点，使得.当时，即得到罗尔中值定理.上述问题即对应于罗尔中值定理，设函数图像与轴交于两点，因此，由于，显然与，与已知不是充要关系，转化的过程中范围发生了改变.例5.（2011年辽宁理）已知函数（I）讨论的单调性；（II）设，证明：当时，；（III）若函数的图像与轴交于两点，线段中点的横坐标为，证明：.【解析】（I）易得：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（II）方法一：构造函数，利用函数单调性证明，方法上同，略；方法二：构造以为主元的函数，设函数，则，由，解得，当时，而， 所以，故当时，.（III）由（I）知，只有当时，且的最大值，函数才会有两个零点，不妨设，则，故，由（II）得：，又由在上单调递减，所以，于是，由（I）知，.【问题的进一步探究】对数平均不等式的介绍与证明两个正数和的对数平均定义：对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：（此式记为对数平均不等式）取等条件：当且仅当时，等号成立.只证：当时，.不失一般性，可设.证明如下：（I）先证：不等式构造函数，则.因为时，所以函数在上单调递减，故，从而不等式成立；（II）再证：不等式构造函数，则.因为时，所以函数在上单调递增，故，从而不等式成立；综合（I）（II）知，对，都有对数平均不等式成立，当且仅当时，等号成立.前面例题用对数平均不等式解决例1.（2010天津理）已知函数 ，如果，且 ，证明：【解析】法五：由前述方法四，可得，利用对数平均不等式得：，即证：，秒证.说明：由于例2，例3最终可等价转化成例1的形式，故此处对数平均不等式的方法省略.例4.设函数，其图像与轴交于两点，且.证明：.【解析】法三：由前述方法可得：，等式两边取以为底的对数，得，化简得：，由对数平均不等式知：，即，故要证 ，而显然成立，故原问题得证.例5.（11年，辽宁理）已知函数（I）讨论的单调性；（II）设，证明：当时，；（III）若函数的图像与轴交于两点，线段中点的横坐标为，证明：.【解析】（I）（II）略，（III）由故要证.根据对数平均不等，此不等式显然成立，故原不等式得证.（2016年新课标I卷理数压轴21题）已知函数有两个零点.证明：.【解析】由，得，可知在上单调递减，在上单调递增.要使函数有两个零点，则必须.法一：构造部分对称函数不妨设，由单调性知，所以，又在单调递减，故要证：，等价于证明：，又，且，构造函数，由单调性可证，此处略.法二：参变分离再构造差量函数由已知得：，不难发现，故可整理得：设，则那么，当时，单调递减；当时，单调递增设，构造代数式：设，则，故单调递增，有因此，对于任意的，由可知、不可能在的同一个单调区间上，不妨设，则必有令，则有而，在上单调递增，因此：整理得：法三：参变分离再构造对称函数由法二，得，构造，利用单调性可证，此处略.法四：构造加强函数【分析说明】由于原函数的不对称，故希望构造一个关于直线对称的函数，使得当时，当时，结合图像，易证原不等式成立.【解答】由，故希望构造一个函数，使得，从而在上单调递增，在上单调递增，从而构造出（为任意常数），又因为我们希望，而，故取，从而达到目的.故，设的两个零点为，结合图像可知：，所以，即原不等式得证.法五：利用“对数平均”不等式 ,由对数平均不等式得：，从而 等价于： 由，故，证毕.说明：谈谈其它方法的思路与困惑。（2014年高考数学湖南卷文科第21题）已知函数 （）求函数的单调区间； （）当时，求证：解：（）函数的定义域为R 由，得，由，得函数的递增区间，由，得函数的递减区间，所以（）解法一、利用函数的单调性求解令 ，则令则，则由得，故在内单调递增故，故在内单调递增故，故，故在上单调递减所以，由（1）及知，故所以，所以，又在上单调递增所以，即解法二、利用对数平均不等式求解 因为时，时， 所以，所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为，所以 下面用反证法证明，假设 当时，与不等式矛盾 当时，所以，与不等式矛盾.所以假设不成立，所以 例4 （2014年江苏省南通市二模第20题）设函数其图象与轴交于两点，且. （）求实数的取值范围； （）证明：为函数的导函数）； （）略.解：（），当时，在R上恒成立，不合题意当时，易知，为函数的极值点，且是唯一极值点，故，当，即时，至多有一个零点，不合题意，故舍去；当，即时，由，且在内单调