数学建模 课件.ppt

MathematicalModeling,Tao,YuSchoolofMathematics,Physics,andBiologyEngineeringIMUSTrobinyu,第五章微分方程模型,5.1追击问题5.2山崖高度的估算5.3经济增长模型5.4正规战与游击战5.5万有引力定律的发现,动态模型,描述对象特征随时间(空间)的演变过程,分析对象特征的变化规律,预报对象特征的未来性态,研究控制对象特征的手段,根据函数及其变化率之间的关系确定函数,微分方程建模,根据建模目的和问题分析作出简化假设,按照内在规律或用类比法建立微分方程,5.1追击问题,应用数学知识实现某种想法研究要步步深入,我方巡逻艇发现敌方潜水艇。与此同时敌方潜水艇也发现了我方巡逻艇，并迅速下潜逃逸。设两艇间距离为60哩，潜水艇最大航速为30节而巡逻艇最大航速为60节，问巡逻艇应如何追赶潜水艇。,这一问题属于对策问题，较为复杂。讨论以下简单情形：,假设潜艇发现自己目标已暴露，立即下潜，并沿着直线方向全速逃逸，逃逸方向我方并不知道。,设巡逻艇在A处发现位于B处的潜水艇，取极坐标，以B为极点，BA为极轴，设巡逻艇追赶路径在此极坐标下的方程为r=r()，见图1。,由题意，故ds=2dr,图1可看出，,故有:,先使自己到极点的距离等于潜艇到极点的距离,然后按对数螺线航行，即可追上潜艇。（用数学建模解决实际问题即用数学思想实现某种思想）,追赶方法如下：,5.2山崖高度的估算,假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下一块石头听回声的方法来估计山崖的高度，假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。,方法一,我学过微积分，我可以做得更好，呵呵。,令k=K/m，解得,代入初始条件v(0)=0，得c=g/k，故有,再积分一次，得：,若设k=0.05并仍设t=4秒，则可求得h73.6米。,听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了反应时间,进一步深入考虑,不妨设平均反应时间为0.1秒，假如仍设t=4秒，扣除反应时间后应为3.9秒，代入式，求得h69.9米。,多测几次，取平均值,再一步深入考虑,5.3经济增长模型,增加生产发展经济,增加投资,增加劳动力,提高技术,建立产值与资金、劳动力之间的关系,研究资金与劳动力的最佳分配，使投资效益最大,调节资金与劳动力的增长率，使经济(生产率)增长,1.道格拉斯(Douglas)生产函数,产值Q(t),F为待定函数,资金K(t),劳动力L(t),技术f(t),=f0,模型假设,静态模型,每个劳动力的产值,每个劳动力的投资,z随着y的增加而增长，但增长速度递减,1.道格拉斯(Douglas)生产函数,含义？,Douglas生产函数,QK单位资金创造的产值,QL单位劳动力创造的产值,资金在产值中的份额,1-劳动力在产值中的份额,更一般的道格拉斯(Douglas)生产函数,1.Douglas生产函数,w,r,K/L,求资金与劳动力的分配比例K/L(每个劳动力占有的资金)，使效益S最大,资金和劳动力创造的效益,资金来自贷款，利率r,劳动力付工资w,2）资金与劳动力的最佳分配（静态模型）,3)经济(生产率)增长的条件(动态模型),要使Q(t)或Z(t)=Q(t)/L(t)增长,K(t),L(t)应满足的条件,模型假设,投资增长率与产值成正比(用一定比例扩大再生产),劳动力相对增长率为常数,Bernoulli方程,产值Q(t)增长,3)经济增长的条件,劳动力增长率小于初始投资增长率,每个劳动力的产值Z(t)=Q(t)/L(t)增长,3)经济增长的条件,5.4正规战与游击战,战争分类：正规战争，游击战争，混合战争,只考虑双方兵力多少和战斗力强弱,兵力因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加,战斗力与射击次数及命中率有关,建模思路和方法为用数学模型讨论社会领域的实际问题提供了可借鉴的示例,第一次世界大战Lanchester提出预测战役结局的模型,一般模型,每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力,每方非战斗减员率与本方兵力成正比,甲乙双方的增援率为u(t),v(t),f,g取决于战争类型,x(t)甲方兵力，y(t)乙方兵力,模型假设,模型,正规战争模型,甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力,双方均以正规部队作战,忽略非战斗减员,假设没有增援,f(x,y)=ay,a乙方每个士兵的杀伤率,a=rypy,ry射击率，py命中率,正规战争模型,为判断战争的结局，不求x(t),y(t)而在相平面上讨论x与y的关系,平方律模型,游击战争模型,双方都用游击部队作战,甲方战斗减员率还随着甲方兵力的增加而增加,f(x,y)=cxy,c乙方每个士兵的杀伤率,c=rypyry射击率py命中率,游击战争模型,线性律模型,混合战争模型,甲方为游击部队，乙方为正规部队,乙方必须10倍于甲方的兵力,设x0=100,rx/ry=1/2,px=0.1,sx=1(km2),sry=1(m2),5.5万有引力定律的发现,背景,航海业发展,天文观测精确,“地心说”动摇,哥白尼：“日心说”,伽里略：落体运动,开普勒：行星运动三定律,变速运动的计算方法,牛顿：一切运动有力学原因,牛顿运动三定律,牛顿：研究变速运动，发明微积分（流数法）,开普勒三定律,牛顿运动第二定律,万有引力定律,自然科学之数学原理(1687),模型假设,极坐标系(r,),太阳(0,0),1.