高三复习高中数学数列拔高(有答案)

2015年高三复习高中数学数列拔高组卷（有答案）一解答题（共30小题）1（2014濮阳二模）设an是等差数列，bn是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13（）求an、bn的通项公式；（）求数列的前n项和Sn2（2014南通一模）设公差不为零的等差数列an的各项均为整数，Sn为其前n项和，且满足（1）求数列an的通项公式；（2）试求所有的正整数m，使得为数列an中的项3（2014宿迁模拟）已知公比为q（q1）的无穷等比数列an的首项a1=1（1）若q=，在a1与a2之间插入k个数b1，b2，bk，使得a1，b1，b2，bk，a2，a3成等差数列，求这k个数；（2）对于任意给定的正整数m，在a1，a2，a3的a1与a2和a2与a3之间共插入m个数，构成一个等差数列，求公比q的所有可能取值的集合（用m表示）；（3）当且仅当q取何值时，在数列an的每相邻两项ak，ak+1之间插入ck（kN*，ckN）个数，使之成为一个等差数列？并求c1的所有可能值的集合及cn的通项公式（用q表示）4（2014东城区二模）设a是一个自然数，f（a）是a的各位数字的平方和，定义数列an：a1是自然数，an=f（an1）（nN*，n2）（）求f（99），f（2014）；（）若a1100，求证：a1a2；（）求证：存在mN*，使得am1005（2014日照一模）已知数列an是首项为a1=，公比q=的等比数列，设bn+2=3logan（nN*），数列cn满足cn=anbn（1）求证：bn是等差数列；（2）求数列cn的前n项和Sn；（3）若Cn+m1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围6（2014浦东新区三模）已知数列an，bn满足bn=an+1an，其中n=1，2，3，（）若a1=1，bn=n，求数列an的通项公式；（）若bn+1bn1=bn（n2），且b1=1，b2=2（）记cn=a6n1（n1），求证：数列cn为等差数列；（）若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次求a1应满足的条件7（2014上饶二模）已知f（x）为二次函数，不等式f（x）+20的解集为（1，），且对任意，R恒有f（sin）0，f（2+cos）0数列an满足a1=1，3an+1=1（nN）（）求函数f（x）的解析式；（）设bn=，求数列bn的通项公式；（）若（）中数列bn的前n项和为Sn，求数列Sncos（bn）的前n项和Tn8（2014福建模拟）如图，过曲线C：y=ex上一点P0（0，1）做曲线C的切线l0交x轴于Q1（x1，0）点，又过Q1做x轴的垂线交曲线C于P1（x1，y1）点，然后再过P1（x1，y1）做曲线C的切线l1交x轴于Q2（x2，0），又过Q2做x轴的垂线交曲线C于P2（x2，y2），以此类推，过点Pn的切线ln与x轴相交于点Qn+1（xn+1，0），再过点Qn+1做x轴的垂线交曲线C于点Pn+1（xn+1，yn+1）（n=1，2，3，）（1）求x1、x2及数列xn的通项公式；（2）设曲线C与切线ln及垂线Pn+1Qn+1所围成的图形面积为Sn，求Sn的表达式；（3）若数列Sn的前n项之和为Tn，求证：（nN+）9（2014南充一模）对于函数f（x），若存在x0R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点如果函数f（x）=有且仅有两个不动点0和2（1）试求b、c满足的关系式（2）若c=2时，各项不为零的数列an满足4Snf（）=1，求证：（3）设bn=，Tn为数列bn的前n项和，求证：T20091ln2009T200810（2014通州区二模）已知f（x）=，数列an为首项是1，以f（1）为公比的等比数列；数列bn中b1=，且bn+1=f（bn），（1）求数列an和bn的通项公式（2）令，cn的前n项和为Tn，证明：对nN+有1Tn411（2014江西模拟）无穷数列an的前n项和Sn=npan（nN*），并且a1a2（1）求p的值；（2）求an的通项公式；（3）作函数f（x）=a2x+a3x2+an+1xn，如果S10=45，证明：12（2014文登市二模）各项均为正数的数列an，其前n项和为Sn，满足=1（nN*），且S5+2=a6（）求数列an的通项公式；（）证明：7（an1）23n+1（nN*）；（）若nN*，令bn=an2，设数列bn的前n项和为Tn（nN*），试比较与的大小13（2014合肥一模）已知函数fn（x）=x+，（x0，n1，nZ），以点（n，fn（n）为切点作函数y=fn（x）图象的切线ln，记函数y=fn（x）图象与三条直线x=n，x=n+1，ln所围成的区域面积为an（）求an；（）求证：an；（）设Sn为数列an的前n项和，求证：Sn14（2013上海）给定常数c0，定义函数f（x）=2|x+c+4|x+c|数列a1，a2，a3，满足an+1=f（an），nN*（1）若a1=c2，求a2及a3；（2）求证：对任意nN*，an+1anc；（3）是否存在a1，使得a1，a2，an，成等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由15（2013上海）已知函数f（x）=2|x|，无穷数列an满足an+1=f（an），nN*（1）若a1=0，求a2，a3，a4；（2）若a10，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值（3）是否存在a1，使得a1，a2，an，成等差数列？若存在，求出所有这样的a1，若不存在，说明理由16（2013江苏）设an是首项为a，公差为d的等差数列（d0），Sn是其前n项和记bn=，nN*，其中c为实数（1）若c=0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snk=n2Sk（k，nN*）；（2）若bn是等差数列，证明：c=017（2013天津）已知首项为的等比数列an的前n项和为Sn（nN*），且2S2，S3，4S4成等差数列（） 求数列an的通项公式；（） 证明18（2013上海）在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴正半轴上，点Pn在x轴上，其横坐标为xn，且xn 是首项为1、公比为2的等比数列，记PnAPn+1=n，nN*（1）若，求点A的坐标；（2）若点A的坐标为（0，8），求n的最大值及相应n的值19（2013天津）已知首项为的等比数列an不是递减数列，其前n项和为Sn（nN*），且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列（）求数列an的通项公式；（）设，求数列Tn的最大项的值与最小项的值20（2013北京）给定数列a1，a2，an对i=1，2，n1，该数列前i项的最大值记为Ai，后ni项ai+1，ai+2，an的最小值记为Bi，di=AiBi（）设数列an为3，4，7，1，写出d1，d2，d3的值；（）设a1，a2，an1（n4）是公比大于1的等比数列，且a10证明：d1，d2，dn1是等比数列；（）设d1，d2，dn1是公差大于0的等差数列，且d10证明：a1，a2，an1是等差数列21（2013东城区模拟）已知数列an是等差数列，a2=6，a5=18；数列bn的前n项和是Tn，且Tn+bn=1（1）求数列an的通项公式；（2）求证：数列bn是等比数列；（3）记cn=anbn，求cn的前n项和Sn22（2013潮州二模）已知数列an满足：a1=1，a2=，且an+2=（I）求证：数列为等差数列；（II）求数列an的通项公式；（III）求下表中前n行所有数的和Sn23（2013广东模拟）数列an的各项均为正数，sn为其前n项和，对于任意nN*，总有an，sn，成等差数列（）求数列an的通项公式；（）正数数列cn中，an+1=，（nN）求数列cn中的最大项24（2013金山区一模）已知数列an满足，1+a1+a2+anan+1=0（其中0且1，nN*），Sn为数列an的前n项和（1）若，求的值；（2）求数列an的通项公式an；（3）当时，数列an中是否存在三项构成等差数列，若存在，请求出此三项；若不存在，请说明理由25（2013东城区模拟）设a1，a2，a20是首项为1，公比为2的等比数列对于满足0k19的整数k，数列确定记（I）当k=1时，求M的值；（II）求M的最小值及相应的k的值26（2013肇庆二模）已知数列an的前n项和为Sn，对一切正整数n，点Pn（n，Sn）都在函数f（x）=x2+2x的图象上，且过点Pn（n，Sn）的切线的斜率为kn（1）求数列an的通项公式；（2）若bn=2knan，求数列bn的前n项和Tn；（3）设A=x|x=kn，nN*，B=x|x=2an，nN*等差数列cn的任一项cnAB，其中c1是AB中的最小数，110c10115，求cn的通项公式27（2013怀化三模）某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不作广告宣传且每件获利a元的前提下，可卖出b件若作广告宣传，广告费为n千元时比广告费为（n1）千元时多卖出件，（nN*）（1）试写出销售量s与n的函数关系式；（2）当a=10，b=4000时厂家应生产多少件这种产品，做几千元广告，才能获利最大？28（2013成都模拟）已知一非零向量列an满足：a1=（1，1），an=（xn，yn）=（1）证明：|an|是等比数列；（2）设n=a n1，an（n2），bn=2nn1，Sn=b1+b2+bn，求Sn；（3）设cn=|an|log2|an|，问数列cn中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由29（2013广州三模）已知函数f（x）=（x0），设f（x）在点（n，f（n）（nN*）处的切线在y轴上的截距为bn，数列an满足：a1=N*）（）求数列an的通项公式；（）在数列中，仅当n=5时，取最小值，求的取值范围；（）令函数g（x）=f（x）（1+x）2，数列cn满足：c1=，cn+1=g（cn）（nN*），求证：对于一切n2的正整数，都满足：1230（2013怀化二模）已知函数（1）若函数f（x）在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；（2）若函数f（x）的图象在x=1处的切线的斜率为0，且，已知a1=4，求证：an2n+2；（3）在（2）的条件下，试比较与的大小，并说明你的理由参考答案与试题解析一解答题（共30小题）1（2014濮阳二模）设an是等差数列，bn是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13（）求an、bn的通项公式；（）求数列的前n项和Sn考点：等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：（）设an的公差为d，bn的公比为q，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求得d和q，进而可得an、bn的通项公式（）数列的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前n项和Sn解答：解：（）设an的公差为d，bn的公比为q，则依题意有q0且解得d=2，q=2所以an=1+（n1）d=2n1，bn=qn1=2n1（），得=点评：本题主要考查等差数列的通项公式和用错位相减法求和2（2014南通一模）设公差不为零的等差数列an的各项均为整数，Sn为其前n项和，且满足（1）求数列an的通项公式；（2）试求所有的正整数m，使得为数列an中的项考点：数列的应用菁优网版权所有专题：压轴题；等差数列与等比数列分析：（1）先确定a4=1，再根据得d=3或，结合数列an的各项均为整数，求出公差，即可求数列an的通项公式；（2）根据，an=3n11=3（n4）+1，可得为数列an中的项，必须是3的倍数，进而验证，可得所有的正整数m，使得为数列an中的项解答：解：（1）因为an是等差数列，且S7=7，而，于是a4=1（2分）设an的公差为d，则由得，化简得8d227d+9=0，即（d3）（8d3）=0，解得d=3或，但若，由a4=1知不满足“数列an的各项均为整数”，故d=3（5分）于是an=a4+（n4）d=3n11（7分）（2）因为，an=3n11=3（n4）+1，（10分）所以要使为数列an中的项，必须是3的倍数，于是am在1，2，3，6中取值，但由于am1是3的倍数，所以am=1或am=2由am=1得m=4；由am=2得m=3 （13分）当m=4时，；当m=3时，所以所求m的值为3和4（16分）点评：本题主要考查了等差数列的通项公式及前n项和的公式，解题的重点是要熟练掌握基本公式，并能运用公式，还要具备一定的运算能力3（2014宿迁模拟）已知公比为q（q1）的无穷等比数列an的首项a1=1（1）若q=，在a1与a2之间插入k个数b1，b2，bk，使得a1，b1，b2，bk，a2，a3成等差数列，求这k个数；（2）对于任意给定的正整数m，在a1，a2，a3的a1与a2和a2与a3之间共插入m个数，构成一个等差数列，求公比q的所有可能取值的集合（用m表示）；（3）当且仅当q取何值时，在数列an的每相邻两项ak，ak+1之间插入ck（kN*，ckN）个数，使之成为一个等差数列？并求c1的所有可能值的集合及cn的通项公式（用q表示）考点：数列的应用菁优网版权所有专题：压轴题；等差数列与等比数列分析：（1）由条件得1，b1，b2，bk，成等差数列，求出公差d=，k=2，即可求这2个数；（2）设a1与a2之间插入k个数，kN，且km，则在a2与a3之间插入（mk）个数，由条件这等差数列第一项为a1=1，第k+2项为a2=q，第m+2项为a2=q2，列出方程，即可求公比q的所有可能取值的集合；（3）当且仅当qN，且q2时，在数列an的每相邻两项ak，ak+1之间插入ck（kN*，ckN）个数，使之成为一个等差数列，再进行证明即可解答：解：（1）由条件得1，b1，b2，bk，成等差数列，所以公差d=，k=2，所以这2个数为：b1=，b2=； （2分）（2）设a1与a2之间插入k个数，kN，且km，则在a2与a3之间插入（mk）个数，由条件这等差数列第一项为a1=1，第k+2项为a2=q，第m+2项为a2=q2，所以=，q1，所以q=，且 k；所以公比q的所有可能的取值的集合 q|q=，kN，km且k；（6分）（3）当且仅当qN，且q2时，在数列an的每相邻两项ak，ak+1之间插入ck（kN*，ckN）个数，使之成为一个等差数列；证明如下：（i）当qN，且q2时，新构成的等差数列可以是正整数数列1，2，3，显然满足条件； （8分）（ii） 若在数列an的每相邻两项ak，ak+1之间插入ck（kN*，ckN）个数，使之成为一个等差数列，这个等差数列设为bn，则对于任意的kN*，都有，即=，q1且q0，所以q=，ck+1，ckN，所以q为正有理数，an为正项无穷等比数列，若q不为整数，不妨设q=，其中p，tN*，p与t互质，且p2，等差数列bn的公差为d=，通项为bn=1+（n1）；则数列（c1+1）pbn的各项都为整数，则对于任意的nN*，（c1+1）p anN*，即对于任意的nN*，（c1+1）p（）n1N*，即于任意的nN*，由p与t互质，则（c1+1）p都能被pn1整除，p2，且pN*，这是不可能的，所以q为正整数，又q1，所以qN，且q2； （12分）当qN，且q2时，对于首项为1，第（c1+1）项为q的等差数列bn，则公差d=，令an=bm，即q n1=1+（m1）（nN*），有m=（c1+1）+1N*，所以an是bn中的第（c1+1）+1项，所以c1的所有可能值的集合是自然数集N； （14分）对于任意的自然数c1，由=q，qN，nN*且q2知cn+1是首项为c1+1，公比为q的等比数列，所以cn的通项公式为cn=（c1+1）qn11 （16分）点评：本题考查的是数列的应用，考查等差数列与等比数列的综合，考查反证法思想的运用，难度大，学生很难解决4（2014东城区二模）设a是一个自然数，f（a）是a的各位数字的平方和，定义数列an：a1是自然数，an=f（an1）（nN*，n2）（）求f（99），f（2014）；（）若a1100，求证：a1a2；（）求证：存在mN*，使得am100考点：数列的应用菁优网版权所有专题：压轴题；等差数列与等比数列分析：（）利用新定义，可求f（99），f（2014）；（）假设a1是一个n位数（n3），设出a1，由a2=f（a1）可得，作差，即可得证；（）利用反证法进行证明即可解答：（）解：f（99）=92+92=162；f（2014）=22+02+12+42=21 （5分）（）证明：假设a1是一个n位数（n3），那么可以设，其中0bi9且biN（1in），且bn0由a2=f（a1）可得，=，所以因为bn0，所以（10n1bn）bn99而（b11）b172，所以a1a20，即a1a2 （9分）（）证明：由（）可知当a1100时，a1a2同理当an100时，anan+1若不存在mN*，使得am100则对任意的nN*，有an100，总有anan+1则anan11，可得ana1（n1）取n=a1，则an1，与an100矛盾存在mN*，使得am100 （14分）点评：本题考查数列的应用，考查新定义，考查反证法，考查学生分析解决问题的能力，难度较大5（2014日照一模）已知数列an是首项为a1=，公比q=的等比数列，设bn+2=3logan（nN*），数列cn满足cn=anbn（1）求证：bn是等差数列；（2）求数列cn的前n项和Sn；（3）若Cn+m1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围考点：等差关系的确定；函数恒成立问题；数列的求和菁优网版权所有专题：计算题；证明题；压轴题分析：（1）根据等比数列的通项公式可求得an，代入求得bn+1bn为常数，进而判断出数列bn是等差数列（2）由（1）可分别求得an和bn，进而求得Cn进而用错位相减法进行求和（3）把（2）中的Cn，代入Cn+1Cn结果小于0，进而判断出当n2时，Cn+1Cn，进而可推断出当n=1时，Cn取最大值，问题转化为，求得m的取值范围解答：解：（1）由题意知，an=（）n，b1=1bn+1bn=3an+1=3an=3=3q=3数列bn是首项为1，公差为3的等差数列（2）由（1）知，an=（）nbn=3n2Cn=（3n2）（）nSn=1+4（）2+（3n2）（）n，于是Sn=1（）2+4（）3+（3n2）（）n+1，两式相减得Sn=+3（）2+（）3+（）n）（3n2）（）n+1，=（3n+2）（）n+1，Sn=（）n（3）Cn+1Cn=（3n+1）（）n+1（3n2）（）n=9（1n）（）n+1，当n=1时，C2=C1=当n2时，Cn+1Cn，即C2=C1C3C4Cn当n=1时，Cn取最大值是又即m2+4m50解得m1或m5点评：本题主要考查了等差数列和等比数列的性质，裂项法求和，解不等式等问题6（2014浦东新区三模）已知数列an，bn满足bn=an+1an，其中n=1，2，3，（）若a1=1，bn=n，求数列an的通项公式；（）若bn+1bn1=bn（n2），且b1=1，b2=2（）记cn=a6n1（n1），求证：数列cn为等差数列；（）若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次求a1应满足的条件考点：数列递推式；等差关系的确定菁优网版权所有专题：计算题；压轴题；分类讨论分析：（）根据数列的基本性质以及题中已知条件便可求出数列an的通项公式；（）（）先根据题中已知条件推导出bn+6=bn，然后求出cn+1cn为定值，便可证明数列cn为等差数列；（）数列a6n+i均为以7为公差的等差数列，然后分别讨论当时和当时，数列是否满足题中条件，便可求出a1应满足的条件解答：解：（）当n2时，有an=a1+（a2a1）+（a3a2）+（anan1）=a1+b1+b2+bn1（2分）=（3分）又因为a1=1也满足上式，所以数列an的通项为（4分）（）由题设知：bn0，对任意的nN*有bn+2bn=bn+1，bn+1bn+3=bn+2得bn+3bn=1，于是又bn+3bn+6=1，故bn+6=bn（5分）b6n5=b1=1，b6n4=b2=2，b6n3=b3=2，b6n2=b4=1，（）cn+1cn=a6n+5a6n1=b6n1+b6n+b6n+1+b6n+2+b6n+3+b6n+4=（n1），所以数列cn为等差数列（7分）（）设dn=a6n+i（n0），（其中i为常数且i1，2，3，4，5，6），所以dn+1dn=a6n+6+ia6n+i=b6n+i+b6n+i+1+b6n+i+2+b6n+i+3+b6n+i+4+b6n+i+5=7（n0）所以数列a6n+i均为以7为公差的等差数列（9分）设，（其中n=6k+i（k0），i为1，2，3，4，5，6中的一个常数），当时，对任意的n=6k+i有=；（10分）由，i1，2，3，4，5，6知；此时重复出现无数次当时，=若，则对任意的kN有fk+1fk，所以数列为单调减数列；若，则对任意的kN有fk+1fk，所以数列为单调增数列；（12分）（i=1，2，3，4，5，6）均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多各出现一次，即数列中任意一项的值最多出现六次综上所述：当时，数列中必有某数重复出现无数次当a1B时，数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次（14分）点评：本题考查了等差数列的基本性质和数列的递推公式，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时分类讨论思想和转化思想的运用，属于中档题7（2014上饶二模）已知f（x）为二次函数，不等式f（x）+20的解集为（1，），且对任意，R恒有f（sin）0，f（2+cos）0数列an满足a1=1，3an+1=1（nN）（）求函数f（x）的解析式；（）设bn=，求数列bn的通项公式；（）若（）中数列bn的前n项和为Sn，求数列Sncos（bn）的前n项和Tn考点：数列与函数的综合；函数解析式的求解及常用方法；等差数列的通项公式；数列的求和菁优网版权所有专题：压轴题；分类讨论；转化思想分析：（）根据“f（x）为二次函数，不等式f（x）+20的解集为，”可得到即，再由“任意，R恒有f（sin）0，f（2+cos）0”可得f（1）0，f（21）0，从而有f（1）=0，解得得到函数的解析式（）先求导数f（x）=3x+1，则即，两边取倒数，有由等差数列定义求解（）化简得Sncos（bn）=（1）nSn以有Tn=S1+S2S3+S4+（1）nSn再分n为偶数和n为奇数两种情况化简即可解答：解：（）依题意，（a0），即令，则sin=1，cos=1，有f（1）0，f（21）0，得f（1）=0，即，得（4分）（）f（x）=3x+1，则即，两边取倒数，得，即bn+1=3+bn数列bn是首项为，公差为3的等差数列bn=1+（n1）3=3n2（nN*）（9分）（）cos（bn）=cos（3n2）=cos（n）=（1）nSncos（bn）=（1）nSnTn=S1+S2S3+S4+（1）nSn（1）当n为偶数时Tn=（S2S1）+（S4S3）+（SnSn1）=b2+b4+bn=（2）当n为奇数时=综上，（13分）点评：本题主要考查函数与数列的综合运用，主要涉及了二次函数求解析式，构造数列求数列的通项及前n项和等问题，属于中档题8（2014福建模拟）如图，过曲线C：y=ex上一点P0（0，1）做曲线C的切线l0交x轴于Q1（x1，0）点，又过Q1做x轴的垂线交曲线C于P1（x1，y1）点，然后再过P1（x1，y1）做曲线C的切线l1交x轴于Q2（x2，0），又过Q2做x轴的垂线交曲线C于P2（x2，y2），以此类推，过点Pn的切线ln与x轴相交于点Qn+1（xn+1，0），再过点Qn+1做x轴的垂线交曲线C于点Pn+1（xn+1，yn+1）（n=1，2，3，）（1）求x1、x2及数列xn的通项公式；（2）设曲线C与切线ln及垂线Pn+1Qn+1所围成的图形面积为Sn，求Sn的表达式；（3）若数列Sn的前n项之和为Tn，求证：（nN+）考点：数列与函数的综合；定积分在求面积中的应用；数列与不等式的综合菁优网版权所有专题：计算题；综合题；压轴题；转化思想分析：（1）先求出导函数进而求出切线的斜率，再把1，2代入就可求出求x1、x2的值求出点Pn的切线ln的方程即可求出及数列xn的通项公式；（2）直接利用定积分来求Sn的表达式即可；（3）利用（2）的结论先求出数列Sn的前n项之和为Tn，再把所要证明的结论转化为用数学归纳法证明en+1（e1）n+e即可解答：解：（1）y=ex，设ln的斜率为kn，则l0的方程为：y=x+1，令y=0得x1=1，y1=e1P1（1，e1），l1的方程为：ye1=e1（x1），令y=0得x2=2，一般地，ln的方程为：，由Qn+1（xn+1，0）ln得：xn+1xn=1，xn=n （4分）（2）=（8分）（3），要证：，只要证明：，即只要证明en+1（e1）n+e（10分）证明；数学归纳法：（一）当n=1时，显然（e1）20e22e1e2（e1）+e成立（二）假设n=k时，有ek+1（e1）k+e当n=k+1时，ek+2=eek+1e（e1）k+e而e（e1）k+e（e1）（k+1）+e=（e1）2（k+1）0ek+2=eek+1e（e1）k+e（e1）（k+1）+e这说明n=k+1时不等式也成立，由（一）（二）知对一切正整数n都成立点评：一般在作数列与函数的综合题时，多用到数学归纳法的应用，所以要把这几个知识点掌握好9（2014南充一模）对于函数f（x），若存在x0R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点如果函数f（x）=有且仅有两个不动点0和2（1）试求b、c满足的关系式（2）若c=2时，各项不为零的数列an满足4Snf（）=1，求证：（3）设bn=，Tn为数列bn的前n项和，求证：T20091ln2009T2008考点：数列与不等式的综合菁优网版权所有专题：综合题；压轴题分析：（1）设=x的不动点为0和2，由此知即即且c0（2）由c=2，知b=2，2Sn=anan2，且an1所以anan1=1，an=n，要证待证不等式，只要证，即证，只要证，即证考虑证不等式（x0），由此入手能导出（3）由bn=，知Tn=在中，令n=1，2，3，2008，并将各式相加，能得到T20091ln2009T2008解答：解：（1）设=x的不动点为0和2即即且c0（2）c=2b=2f（x）=，由已知可得2Sn=anan2，且an1当n2时，2Sn1=an1an12，得（an+an1）（anan1+1）=0，an=an1或an=an1=1，当n=1时，2a1=a1a12a1=1，若an=an1，则a2=1与an1矛盾anan1=1，an=n要证待证不等式，只要证，即证，只要证，即证考虑证不等式（x0）*令g（x）=xln（1+x），h（x）=ln（x+1）（x0）g（x）=，h（x）=，x0，g（x）0，h（x）0，g（x）、h（x）在（0，+）上都是增函数，g（x）g（0）=0，h（x）h（0）=0，x0时，令x=则*式成立，（3）由（）知bn=，则Tn=1+在中，令n=1，2，3，2008，并将各式相加，得1+即T20091ln2009T2008点评：本题考查不等式的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用10（2014通州区二模）已知f（x）=，数列an为首项是1，以f（1）为公比的等比数列；数列bn中b1=，且bn+1=f（bn），（1）求数列an和bn的通项公式（2）令，cn的前n项和为Tn，证明：对nN+有1Tn4考点：数列与不等式的综合；等比数列的通项公式；数列的求和；数列递推式菁优网版权所有专题：综合题；压轴题分析：（1）由f（x）=，知f（1）=，由b1=，且bn+1=f（bn），得，由此能求出数列an和bn的通项公式（2）由=n，知，再由错位相减法能够求出结果解答：解：（1）f（x）=，f（1）=，an为首项是1，以f（1）为公比的等比数列，b1=，且bn+1=f（bn），bn+1=f（bn）=，两边同时取倒数，得=1+，为等差数列，故（2）=n，两式相减整理，得，0，4，=，Tn单调递增，Tnmin=T1=1，所以1Tn4点评：本试题主要考查等比数列和等差数列的通项公式的求解以及数列求和的综合运用解决该试题的关键是整体构造等差数列法，以及错位相减法的准确运用11（2014江西模拟）无穷数列an的前n项和Sn=npan（nN*），并且a1a2（1）求p的值；（2）求an的通项公式；（3）作函数f（x）=a2x+a3x2+an+1xn，如果S10=45，证明：考点：数列与不等式的综合；数列递推式菁优网版权所有专题：计算题；证明题；压轴题分析：（1）由题设知p=1，或a1=0a1+a2=S2=2pa2a1=a2，矛盾故不可能是：a10，且p=1由a1=0，得a20再由a1+a2=S2=2pa2，能够得到（2），（n1）an+1=nan由此能够导出对一切nN*有：an=（n1）a2（3）f（x）=x+2x2+nxn再用错位相减法进行求解解答：解：（1）a1=S1=pa1a10，且p=1，或a1=0若是a10，且p=1，则由a1+a2=S2=2pa2a1=a2，矛盾故不可能是：a10，且p=1由a1=0，得a20又a1+a2=S2=2pa2，（2），（n1）an+1=nan当k2时，n3时有=对一切nN*有：an=（n1）a2（3），a2=1 an=n1（nN*）故f（x）=x+2x2+nxn又+12=故点评：本题考查数列和不等式的合理应用，解题时要认真审题，注意观察能力的培养12（2014文登市二模）各项均为正数的数列an，其前n项和为Sn，满足=1（nN*），且S5+2=a6（）求数列an的通项公式；（）证明：7（an1）23n+1（nN*）；（）若nN*，令bn=an2，设数列bn的前n项和为Tn（nN*），试比较与的大小考点：数列与不等式的综合菁优网版权所有专题：证明题；压轴题；点列、递归数列与数学归纳法分析：（）把已知的数列递推式变形，整理后得到数列an是公比为2的等比数列再由列式求得首项，代入等比数列的通项公式得答案；（）把an1的表达式代入7（an1）23n+1，然后由数学归纳法证明该不等式；（）把an代入bn=an2，由等比数列的求和公式求得数列bn的前n项和Tn，然后利用作差法比较与的大小解答：（）解：由得，即（an+1+an）（an+12an）=0，又an0，2anan+1=0，2an=an+1，则数列an是公比为2的等比数列由，得，解得a1=2故数列an的通项公式为；（）证明：要证7（an1）23n+1，即证74n13n+1当n=1时，740=731+1=4，不等式显然成立；假设当n=k时，不等式74k13k+1成立，那么，当n=k+1时，74k=474k14（3k+1）=12k+43k+4=3（k+1）+1综所述，对任意的nN*，均有74k13n+1，成立（）解：，即数列bn是首项为4，公比是4的等比数列，又，=对任意的nN*均有点评：本题是数列与不等式的综合题，考查了等比关系的确定，训练了利用数学归纳法证明不等式，考查了等比数列的前n项和，训练了作差法比较两个数的大小，是难题13（2014合肥一模）已知函数fn（x）=x+，（x0，n1，nZ），以点（n，fn（n）为切点作函数y=fn（x）图象的切线ln，记函数y=fn（x）图象与三条直线x=n，x=n+1，ln所围成的区域面积为an（）求an；（）求证：an；（）设Sn为数列an的前n项和，求证：Sn考点：数列与不等式的综合；定积分菁优网版权所有专题：综合题；压轴题；点列、递归数列与数学归纳法分析：（）求出原函数的导函数，求出切点坐标，由直线方程的点斜式求得切线方程，由定积分求得函数y=fn（x）图象与三条直线x=n，x=n+1，ln所围成的区域面积为an；（）要证明an，即证明，可设想构造函数h（x）=ln（1+x） （x0），由其导函数确定原函数的单调性，进一步得到ln（1+x）成立，取x=，然后不等式两边同时乘以n，则可证得an；（）法一、由（）中不等式进一步放缩得到an，把数列an求和后正负项相消可证明不等式；法二、把数列an的前n项和的前两项作和，然后由放大n3的项，可证明n3时Sn，单独验证S1，S2后可得答案解答：（）解：由fn（x）=x+，得，切点为（n，n+1），则切线ln方程为，即，=；（）证明：构造函数h（x）=ln（1+x） （x0），则h（x）=即函数h（x）=ln（1+x） （x0）单调递减，而h（0）=0，h（x）0，等号在x=0时取得，当x0时，ln（1+x）成立，知an=；（）证明：法一、an，当n=1时，Sn=a1=；当n2时，=方法二、由（）知an，Sn=a1+a2+a3+an=，（n3，nN*）=又，综上所述：对一切nN*，都有Sn点评：本题考查了数列与不等式的综合，考查了定积分，训练了裂项相消法求数列的和，考查了放缩法求证不等式，对于（）的证明，构造函数h（x）=ln（1+x） （x0）是难点，证明（）的关键是对每一项的放缩，是难度较大的题目14（2013上海）给定常数c0，定义函数f（x）=2|x+c+4|x+c|数列a1，a2，a3，满足an+1=f（an），nN*（1）若a1=c2，求a2及a3；（2）求证：对任意nN*，an+1anc；（3）是否存在a1，使得a1，a2，an，成等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由考点：数列的函数特性；等差关系的确定；数列与函数的综合菁优网版权所有专题：压轴题；等差数列与等比数列分析：（1）对于分别取n=1，2，an+1=f（an），nN*去掉绝对值符合即可得出；（2）由已知可得f（x）=，分三种情况讨论即可证明；（3）由（2）及c0，得an+1an，即an为无穷递增数列分以下三种情况讨论：当a1c4时，当c4a1c时，当a1c时即可得出a1的取值范围解答：解：（1）a2=f（a1）=f（c2）=2|c2+c+4|c2+c|=42=2，a3=f（a2）=f（2）=2|2+c+4|2+c|=2（6+c）（c+2）=10+c（2）由已知可得f（x）=当anc时，an+1an=c+8c；当c4anc时，an+1an=2an+3c+82（c4）+3c+8=c；当anc4时，an+1an=2anc82（c4）c8=c对任意nN*，an+1anc；（3）假设存在a1，使得a1，a2，an，成等差数列由（2）及c0，得an+1an，即an为无穷递增数列又an为等差数列，所以存在正数M，当nM时，anc，从而an+1=f（an）=an+c+8，由于an为等差数列，因此公差d=c+8当a1c4时，则a2=f（a1）=a1c8，又a2=a1+d=a1+c+8，故a1c8=a1+c+8，即a1=c8，从而a2=0，当n2时，由于an为递增数列，故ana2=0c，an+1=f（an）=an+c+8，而a2=a1+c+8，故当a1=c8时，an为无穷等差数列，符合要求；若c4a1c，则a2=f（a1）=3a1+3c+8，又a2=a1+d=a1+c+8，3a1+3c+8=a1+c+8，得a1=c，应舍去；若a1c，则由ana1得到an+1=f（an）=an+c+8，从而an为无穷等差数列，符合要求综上可知：a1的取值范围为c8c，+）点评：本题综合考查了分类讨论的思方法、如何绝对值符号、递增数列、等差数列等基础知识与方法，考查了推理能力和计算能力15（2013上海）已知函数f（x）=2|x|，无穷数列