必修一-函数全

让孩子来了就有收获，回去了就有进步！ 金榜题名学校2017年暑假郫县校区 个性化一对一 名师培优精讲 学 科年 级学生姓名授课教师上课时间课 次数学 季 老师第_讲第一部分、函数的基本概念1.映射: 设 A、B 是两个非空的集合,如果按照某种对应关系 f,对于集合 A 的任何一个元素,在集合 B 中都有唯一的元素和它对应,这样的对应叫做从集合 A 到集合 B 的映射,记作 f：AB.(包括集合 A,B 及 A 到 B 的对应法则)注: (1)对于集合 A 中的不同元素，在集合 B 中有不同的象 （单射）(2)集合 B 中的每一个元素都是集合 A 中的每一个元素的象（满射）(满射即集合 B 中的每一个元素都有原象。)对映射概念的认识：(1)f: AB 与 f: BA 是不同的,即 A 与 B 上有序的：映射是有方向的.(2)集合 A,B 可以是数集,也可以是点集或其它类型的集合.(3)集合 A 中每一个输入值,在集合 B 中必定存在唯一输出值.输出值的集合是集合 B 的子集.即集合 B 中可能有元素在集合 A 中找不到对应的输值.即：(i)不允许集合 A 中有空余元素；(ii)允许集合 B 中有剩留元素；(iii)允许多对一，不允许一对多.2.函数(定义)：设 A、B 是两个非空数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应。称 f: AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数,记作：y=f(x),xA(1)函数的定义域、值域：在函数 y=f(x),xA 中 ，x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与x的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值f( x)|xA的集合 B 叫做函数的值域.(2)一个函数的构成要素：定义域、值域和对应关系(3)相等函数：两函数定义域相同,且对应关系一致,则这两函数为相等函数。例：判断下列各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？ 1 解：不是同一函数，定义域不同 2。 解：不是同一函数，定义域不同 3。 解：不是同一函数，值域不同 4 解：是同一函数第二部分、函数的性质函数的奇偶性 1、函数的奇偶性的定义：设y=f(x)，如果对于任意，都有，则称函数设y=f(x)为奇函数；如果对于任意，都有，则称函数设y=f(x)为偶函数；2、奇偶函数的性质：(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称；f(x)是偶函数 f(x)的图象关于y轴对称；f(x)是奇函数 f(x)的图象关于原点对称；(2)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的 单调性.(3) f(x)为偶函数4、若奇函数设f(x)的定义域包含0，则设f(0)=0y =x2；对任意x，f(-x)=f(x)y=x3；对任意x，f(-x)= -f(x)例1、已知函数f(x)既是奇函数又是偶函数。求证：f(x)=0证明：因为 f(x) 既是奇函数又是偶函数所以 f(-x)=f(x),且f(-x)= -f(x)所以 f(x)= -f(x)所以 2f(x)=0即 f(x)=0.例2、判断下列函数的奇偶性解： 当b=0时，f(x)为奇函数；当b0时，f(x) 既不是奇函数，也不是偶函数。解：当a=0时，f(x) 既是奇函数又是偶函数，当a0时，f(x)是偶函数。例3、已知函数f(x)为奇函数，定义域为R,且X0时，； 求函数f(x)的解析式。 变式2已知f(x)是R上的奇函数，且当时，求f(x)的解析式 总结：常用的判断函数的奇偶性的方法：(1)定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称. 若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断或飞f(x)与f(-x)的关系；(2)图象法；变式1判断下列各函数的奇偶性： ； ； ； 变式2已知函数f(x)满足：f(x+y)+f(x-y)=2f(x)(y)对任意的实数x、y总成立，f(1) f(2)求证：f(x)为偶函数.变式3已知函数（、）为奇函数，又，求、的值 . 问题四已知是偶函数，当时，为增函数，若，且，则 . . . 函数的周期性 周期函数的定义：对于函数，存在非0常数T，使得对于其定义域内总有，则称的常数T为函数的周期。 周期函数的性质： 的周期为；如的周期为；如的周期为；对于三角函数，其周期；对于，其周期1、已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x),则,f(6)的值为 （B）(A)1 (B) 0 (C) 1 (D)22、设f(x)是定义在R上的奇函数，且的图象关于直线对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_0_.3、（2006福建卷）已知是周期为2的奇函数，当时，设 （D）（A） （B） （C） （D）4、（2006年安徽卷理）函数对于任意实数满足条件，若则_。5、设是上的奇函数，当0x1时，则f（7.5）等于（ B ）A.0.5 B.0.5 C.1.5 D.1.56、是定义在R上的以3为周期的偶函数，且，则方程=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ B ） A5B4C3D27、（05广东卷）设函数在上满足，且在闭区间0，7上，只有（）试判断函数的奇偶性；（）试求方程=0在闭区间-2005，2005上的根的个数，并证明你的结论. 函数单调性 一般地 , 设函数 y= f(x) 的定义域为A，区间，如果对于区间I内 的任意两个值，那么就说y= f(x)在区间I上是单调增函数，I 称为 y= f(x) 的单调增区间个自变量的值若当时，都有,则说在这个区间上是增函数；若当,则说在这个区间上是减函数.2.若函数在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.3.判断证明函数单调性的一般步骤是：设,是给定区间内的任意两个值，且0,且a1呢？若a=0，则当x0时，=0；当x0时，无意义. 若a0且a1在规定以后，对于任何xR，都有意义，且0. 因此指数函数的定义域是R，值域是(0,+).探究2：函数是指数函数吗？指数函数的解析式y=中，的系数是1.有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如y=+k (a0且a1，kZ)；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如y= (a0,且a1)，因为它可以化为y=，其中0，且12.指数函数的图象和性质：在同一坐标系中分别作出函数y=，y=，y=，y=的图象.列表如下：我们观察y=，y=，y=，y=的图象特征，就可以得到的图象和性质a10a1，所以函数y=在R是增函数，而2.53，所以，；与的底数是0.8，它们可以看成函数 y=，当x=-0.1和-0.2时的函数值；因为00.8-0.2，所以，1； 小结：对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性，必须要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；对不同底数是幂的大小的比较可以与中间值进行比较.四、练习：比较大小： ,已知下列不等式，试比较m、n的大小：m n；m 0且y1说明：对于值域的求解，在向学生解释时，可以令，考察指数函数y=,并结合图象直观地得到，以下两题可作类似处理（2）由5x-10得所以，所求函数定义域为x|由 0得y1所以，所求函数值域为y|y1（3）所求函数定义域为R由0可得+11所以，所求函数值域为y|y1通过此例题的训练，学会利用指数函数的定义域、值域去求解指数形式的复合函数的定义域、值域，还应注意书写步骤与格式的规范性例2求函数的单调区间，并证明解：设 则 当时， 这时 即 ，函数单调递增 当时， 这时 即 ，函数单调递减 函数y在上单调递增，在上单调递减解法二、（用复合函数的单调性）：设： 则：对任意的，有，又是减函数 在是减函数对任意的，有，又是减函数 在是增函数引申：求函数的值域 （）小结：复合函数单调性的判断(见第8课时)三、练习：求下列函数的定义域和值域： 解：要使函数有意义，必须 , 当时 ； 当时 值域为 要使函数有意义，必须 即 又 值域为 一、复习引入1、 的图象和性质a10a0且a1时,M0,N0，那么： （1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); （2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N); （3）log(a)(Mn)=nlog(a)(M) （nR） （4）换底公式：log(A)M=log(b)M/log(b)A (b0且b1） (5) a(log(b)n)=n(log(b)a) 证明： 设a=nx 则a(log(b)n)=（nx）log(b)n=n（xlog(b)n）=nlog(b)（nx）=n(log(b)a) (6)对数恒等式：alog（a)N=N; log（a）ab=b （7）由幂的对数的运算性质可得(推导公式) 1.log(a)M(1/n)=(1/n)log(a)M , log(a)M(-1/n)=(-1/n)log(a)M 2.log(a)M(m/n)=(m/n)log(a)M , log(a)M(-m/n)=(-m/n)log(a)M 3.log(an)Mn=log(a)M , log(an)Mm=(m/n)log(a)M 4.log(以 n次根号下的a 为底)(以 n次根号下的M 为真数)=log(a)M , log(以 n次根号下的a 为底)(以 m次根号下的M 为真数)=(m/n)log(a)M 5.log(a)blog(b)clog(c)a=1 3、对数与指数之间的关系 当a0且a1时,ax=N x=(a)N 4、对数函数 右图给出对于不同大小a所表示的函数图形： 可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。 （1） 对数函数的定义域为大于0的实数集合。 （2） 对数函数的值域为全部实数集合。 （3） 函数图像总是通过（1，0）点。 （4） a大于1时，为单调增函数，并且上凸；a小于1大于0时，函数为单调减函数，并且下凹。 （5） 显然对数函数无界。 对数函数的常用简略表达方式： （1）log(a)(b)=log(a)(b) （2）lg(b)=log(10)(b) （3）ln(b)=log(e)(b) 对数函数的运算性质： 如果a0，且a不等于1,M0,N0，那么： （1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); （2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N); （3）log(a)(Mn)=nlog(a)(M) （n属于R） （4）log(ak)(Mn)=(n/k)log(a)(M) （n属于R） 对数与指数之间的关系 当a大于0,a不等于1时,a的X次方=N等价于log(a)N=x log(ak)(Mn)=(n/k)log(a)(M) （n属于R） 换底公式 （很重要） log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)= lnN/lna=lgN/lga ln 自然对数 以e为底 e为无限不循环小数(约为2.71828) lg 常用对数 以10为底 5、对数函数的常用简略表达方式 （1）常用对数:lg(b)=log(10)(b) （2）自然对数:ln(b)=log(e)(b) 6、对数函数的图象由于对数函数与指数函数互为反函数，所以的图象与的图象关于直线对称因此，我们只要画出和的图象关于对称的曲线，就可以得到的图象，然后根据图象特征得出对数函数的性质 7、对数函数的性质由对数函数的图象，观察得出对数函数的性质见P87 表 a10a0得,函数的定义域是；（2）由得，函数的定义域是（3）由9-得-3，函数的定义域是例2求下列函数的反函数 解： 四、练习：1.画出函数y=x及y=的图象，并且说明这两个函数的相同性质和不同性质.解：相同性质：两图象都位于y轴右方，都经过点（1，0），这说明两函数的定义域都是（0，+），且当x=1,y=0.不同性质：y=x的图象是上升的曲线，y=的图象是下降的曲线，这说明前者在（0，+）上是增函数，后者在（0，+）上是减函数.2.求下列函数的定义域：（1）y=(1-x) (2)y=(3)y= 解：（1）由1-x0得x1 所求函数定义域为x|x1(2)由x0，得x1，又x0 所求函数定义域为x|x0且x1(3)由 所求函数定义域为x|x(4)由 x1 所求函数定义域为x|x11.求下列函数的反函数：（1）y=(xR) (2)y=(xR)(3)y=(xR) (4)y=(xR)(5)y=lgx(x0) (6)y=2x(x0)(7)y=(2x)(a0,且a1,x0) (8)y= (a0,a1,x0)解：（1）所求反函数为：y=x(x0)(2)所求反函数为：y=x(x0)(3)所求反函数为：y= (x0)(4)所求反函数为：y= (x0)(5)所求反函数为：y= (xR)(6)所求反函数为：y= (xR)(7)所求反函数为：y=(a0,且a1,xR)(8)所求反函数为：y=2(a0,且a1,xR)2.求下列函数的定义域：（1） (2)解：由 得x0所求函数定义域为：x|x0(2) 由 即x例1比较下列各组数中两个值的大小：； ；解：考查对数函数，因为它的底数21，所以它在（0，+）上是增函数，于是考查对数函数，因为它的底数00.31，所以它在（0，+）上是减函数，于是小结1：两个同底数的对数比较大小的一般步骤： 确定所要考查的对数函数；根据对数底数判断对数函数增减性；比较真数大小，然后利用对数函数的增减性判断两对数值的大小当时，在（0，+）上是增函数，于是当时，在（0，+）上是减函数，于是小结2：分类讨论的思想对数函数的单调性取决于对数的底数是大于1还是小于1而已知条件并未指明，因此需要对底数进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握例3比较下列各组中两个值的大小：； 分析：由于两个对数值不同底，故不能直接比较大小，可在两对数值中间插入一个已知数，间接比较两对数的大小解：，； 小结3：引入中间变量比较大小例3仍是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小，当不能直接比较时，经常在两个对数中间插入1或0等，间接比较两个对数的大小 例4 求下列函数的定义域、值域： 解：要使函数有意义，则须： 即： 从而 定义域为-1,1，值域为对一切实数都恒成立 函数定义域为R 从而 即函数值域为要使函数有意义，则须： 由 在此区间内 从而 即：值域为 定义域为-1,5，值域为要使函数有意义，则须：由： 由：时 则须 ， 综合得 当时 定义域为(-1,0)，值域为三、练习：比较大小 分段函数分段函数的定义在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数叫做分段函数；2、分段函数定义域，值域；分段函数定义域各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集(填“并”或“交”)3、分段函数图象画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象；1、某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y=3000+20x0.1x2，x(0，240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本的最低产量为( )A.100台B.120台C.150台D.180台2、给出函数，则（ ）A. B. C. D. 3、（2009天津卷）设函数，则不等式的解集是（ ）4、若f(x)=，则当x0得x2或x0且a1)的图象恒过定点_.【答案】1,-4【解析】本题主要考查指数函数的性质.令x=1,则y=-4,所以函数y=ax-1-5(a0且a1)的图象恒过定点1,-4.14已知集合M=y|y=2x,x0,N=x|y=lg(2x-x2,则MN=_.【答案】1,2【解析】本题主要考查集合的基本运算、指数函数与对数函数的性质.M=y|y=2x,x0=y|y1,N=x|y=lg(2x-x2=x|0x2,所以MN=x|1x2.15已知集合A=x|12x16,B=(-,a),当AB时,实数a的取值范围是c,+,则c=_.【答案】4【解析】本题主要考查集合间的基本关系、指数函数的性质,考查了逻辑推理能力.因为A=x|12x16=x|0x4,B=(-,a),且AB时实数a的取值范围是c,+,所以c=4.16函数fx=3a-1x+4a,(x1)logax,(x1)在R上是减函数,则a的取值范围为_.【答案】17,13)【解析】本题主要考查分段函数的单调性、对数函数,考查了逻辑推理能力.因为数fx=3a-1x+4a,(x1)logax,(x1)在R上是减函数,所以3a-100a17a-10,求解可得17a2m即m2m;当C时,m+12mm+112m6,则易得结论.三、解答题：共3题19已知定义在R上的奇函数f(x),当x0时,f(x)=2x+3.(1)求f(x)的解析式;(2)若f(a)7,求实数a的取值范围.【答案】(1)由题意,f(0)=0;令x0,所以f-x=-2x+3,所以fx=-f-x=2x-3,所以fx=2x+3,x00,x=02x-3,x00,x=02x-3,x0,当a0时,f(a)0时,f(a)7等价于2a+37,则0a2.综上可得,实数a的取值范围是a2【解析】本题主要考查函数的解析式、函数的性质及其应用,考查了转化与化归思想.(1) 由题意,f(0)=0;令x0,所以,f-x=-2x+3,fx=-f-x=2x-3,再用分段形式表示函数即可;(2)易知当a0时,f