减少解析几何计算量的十种方法

减少解几试题计算量的十种方法高考对策之一在数学试卷中，解析几何题的繁杂运算是令学生感到头痛的首要问题.其实，许多解析几何题中的繁杂计算，不是不可避免的.常见的策略是：（1）设而不求.【题1】（湖北黄冈，元月考，10题） 已知直线l交椭圆4x2+5y2=80于M、N两点，椭圆与y轴的正半轴交于B点，若BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l的方程是 ( )A.6x5y28=0 B.6x+5y28=0 C.5x+6y28=0 D.5x6y28=0【分析】如图，椭圆的右焦点既是BMN的重心，容易求出边MN的中点坐标，那么求直线l的方程，关键在求该直线的斜率.若用常规方法，须设直线的点斜式方程，代入椭圆方程，而后利用韦达定理及线段的中点公式求之.显然这个计算量是不菲的.更好的方法是：图1【解析】由.椭圆上顶点B（0，4）,右焦点F（2,0）.为BMN的重心，故线段MN的中点为C（3，-2）.设直线l的斜率为k.，点在椭圆上，所求直线方程为，选A.【评注】我们用参数设置了M,N两点的坐标，但在解题过程中没有也不必要去求这些参数，而是根据它们应该满足的题设条件剖析出所需要的结果.这种的解题方法叫做设而不求.（2）使用特值【题2】（湖北重点中学4月联考，理科8题）在离心率为的双曲线中，F为右焦点，过F点倾斜角为60的直线与双曲线右支相交于A,B两点，且点A在第一象限，若则=（ ）A.2 B.3 C.4 D.5【分析】按常规求m值，必先求向量之长.由于双曲线的方程无法确定，又必须使用参数，其计算量之大是让人望而生畏的.注意到本题最终要求的是比值，根据相似原理，比值只与图形的形状有关.也就是说，无论将原图放缩多少倍，都不影响最终的计算结果.所以我们可以通过取特值，让方程具体化.【解析】.不妨设，双曲线图2方程为：,其右焦点，设，代入双曲线方程：，故选C.（3）平几给力【题3】（2011.武汉四月调考.15题）过圆C：作一动直线交圆C于两点P、R，过坐标原点O作直线ONPM于点N，过点P的切线交直线ON于点Q，则= 。【分析】与圆有关的问题可以优先利用平面几何知识.题设条件中既有垂线又有切线，容易构成直角三角形，故求两向量的数量积容易想到直角三角形中成比例的线段.【解析】如图4,连OP,则OPPQ.但是OQPR于N,根据直角三角形的射影性质有：图3即.（4）减少参数【题4】（北京西城元月考.13题）双曲线的渐近线方程为 若双曲线的右顶点为，过的直线与双曲线的两条渐近线交于两点，且，则直线的斜率为 【分析】第一空，简单；难点是第二问.按常规，为求直线的斜率，必先确定P或Q的坐标.但由现有条件却确定不了，因此退而求P,Q两坐标之间的关系.但是两点的坐标有4个未知量，计算太过繁杂.故考虑减少未知量，使运算量减半.【解析】设.当时，.设直线.令x=y,得令x=-y,得图4于是：得k=3. 【别解】（巧用中点公式）如图设P（a,a）,则P关于A（1,0）的对称点为R（2-a,-a）, AR的中点符合所设条件且在直线y=-x上，（5）回归定义【题5】（山西师大附中，元月考，8题）设是双曲线的左，右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（O为坐标原点），且，则双曲线的离心率是（ ）【分析】根据向量加法的平行四边形法则，.可知为直角三角形.这就为用定义法求离心率创造了条件.【解析】不妨设双曲线的半焦距c=1,.令，图5于是，选D（6）正难则反【题6】（北京海淀，5月考，7题）若椭圆：（）和椭圆：（）的焦点相同且.给出如下四个结论：椭圆和椭圆一定没有公共点； ； ； .其中，所有正确结论的序号是（ ）A B. C D. 【分析】各选项都需鉴别3个命题，太繁了. 此外，正面论证哪3个命题正确，太费事了.于是将原命题转换为：其中不正确结论的序号是：A. B. C. D.此外，4个选项中，最容易用特值否定的是，故有【解析】构造椭圆，故结论不成立，选B.【评注】以上的解题方法，简单得太过离奇了，因此有人怀疑，这种解法是否合理.首先，在考场上，这种解法是完全站得住脚的.既然结论在特殊情况下是不正确的，那么在一般情况下就绝无正确的可能，这是因为：任何真命题都是“放之四海而皆准”的.以下，我们再用直接法（即通法）论证：其他3个结论的正确性.既是两椭圆焦点相同，那么.结论正确；结论：两椭圆没有公共点等价于两曲线方程组成的方程组无解.既然结论正确，且已知，最后的方程无解，这就证明了结论是正确的.要考察结论是否正确，仅从数据推理是困难的，需采用数形结合的方法.既然结论正确，即两椭圆没有公共点.已知，所以椭圆1在椭圆2的外面. 如图6，设两椭圆公共右焦点为F，上顶点分别为图6这就是说，结论也是正确的.既然结论正确，故选B.请各位分析一下，两种解法效果相同，可是付出的代价，是不是有天壤之别呢？（7）数形结合【题7】（北京西城.5月考，5题）双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线离心率为（ ）（A）（B）（C）（D）【分析】既是已知圆与双曲线的渐近线相切，故不妨先画出图形再考查其数量关系xyOC02(,)byxa=A【解析】如图，圆C的圆心为C（0,2）,且半径r=1.双曲线的渐近线切圆C于点A,则AOC是含30角的直角三角形，图7，选C.（8）三角代换【题8】（2007.重庆卷，22题）如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为F（3，0），右准线l的方程为：x = 12。（1）求椭圆的方程；（2）在椭圆上任取三个不同点，使，证明为定值，并求此定值.【分析】本题选自07.重庆卷.22题，是压轴题.难度很大.动手前一定要选择好恰当的破题路径，图8-1否则将陷入繁杂的计算而不得自拔. 有关的3条线段都是焦半径，企图用椭圆的第一定义或两点距离公式出发将是徒劳的.正确的解题途径是：（1）利用椭圆的第二定义；（2）题中有3个相等的角度，应不失时机地引入三角知识.【解析】椭圆的半焦距c=3，右准线x = 12.图8-2故椭圆方程为：，其离心率.如图8-2设为椭圆上符合条件的三点，令.作P1H1于H1，令，设P1Fx=则P2Fx=+120P3Fx= 120-.于是，而.同理：.于是，故为定值.【评注】如果读者有极坐标的有关知识，则本题的解法将更为简洁（9）命题转换【题10】（湖北重点学校4月考，19题）椭圆的两焦点坐标分别为,且椭圆过点.（1）求椭圆的方程； （2）过点交该椭圆于M,N两点（直线不与x轴重合），A为椭圆的左顶点，求证;.【分析】（1）问，简单；（2）问，点的横坐标为分数，显然会给以下的计算带来不小的麻烦.所以考虑转换为等价命题，使运算中不再含有分数.【解析】（1）由条件知椭圆半焦距，在椭圆上，（2）将所求椭圆的长，短轴各自扩大5倍，根据相似原理，原命题等价于：过作直线交椭圆于M,N两点（直线不与x轴重合），A为椭圆的左顶点，求证;.设所求直线：，代入：于是.图9这就证明了：.（10）先猜后证【题11】（湖北华师一附中.2010 .5月考.19题）以为焦点的椭圆过点(，1)()求椭圆的方程；()过点(，0)的动直线交椭圆于、两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得无论如何转动，以为直径的圆恒过点? 若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由【分析】本题难点在第()问.考察曲线是否通过定点，用一般方法很难发现，所以先考察特殊图形，推测出可能的结果，而后再加证明. () 解法一（定义法）：设椭圆方程为，由已知。又所以，椭圆C的方程是+ =1解法二（方程法）：设椭圆方程为，由已知，即，得(，1)代入：椭圆C的方程是+ =1()（先用特殊值探求，再证明探求的结果）在椭圆方程中，令得.如图即有：.这说明以弦A1B1为直径的圆过点T（1,0）.以下我们证明：椭圆中过点图10S的其他弦为直径的圆也过定点T（1,0）只需证明.设直线AB：.代入椭圆方程,整理得：.点S在椭圆内,此方程必有二实根,且.于是可知,也就是任何其他弦为直径的圆都过定点T（1,0）.练习题1.（北京东城二模，6题）已知双曲线，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于两点，为坐标原点.若，则双曲线的离心率为（A） （B） （C） （D）2.（2011.湖北重点学校4月考.文科.9题）.已知抛物线，RtABC的3个顶点都在抛物线上，且斜边ABy轴，则斜边上的高为 （ ） A.2p B.4p C.p D.P/23.（湖北武昌，元月考，6题）直线与抛物线交于A,B两点.若AB中点的横坐标为3，则弦AB的长为（ ）A.6 B.10 C. D.164.（2010.北京宣武5月考.8题.）如图抛物线： 和圆: ，其中，直线经过的焦点，依次交，于四点，则的值为（ ）5（2010.北京.崇文.5月考.8题）已知圆的方程，过作直线与圆交于点，且关于直线对称，则直线的斜率等于 （ ）（A） （B） （C） （D）6（2011.元月.海淀.7题）已知椭圆，对于任意实数，下列直线被椭圆E截得的弦长与被椭圆E截得的弦长不可能相等的是（ ）A B C D7. （2011.元月.北京西城.14题）在平面直角坐标系中，定义为两点,之间的“折线距离”. 则坐标原点与直线上一点的“折线距离”的最小值是_；圆上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值是_.8（2011.元月.湖北武昌.9题）.如图，已知点P是圆的一个动点，点Q是直线上的一个动点，O为坐标原点，则向量在向量方向投影的最大值是（ ） A.3 B. C. D.19. （湖北黄冈，元月.13题）如果点P在平面区域上，点Q在曲线上，那么 的最小值为_10. （同上，14题）过双曲线(a0,b0)的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足恰好落在曲线上，则双曲线的离心率为_. 11.（海南12校第一次联考，6题）设双曲线M:交双曲线的两渐近线于A,B，且，则双曲线的离心率为B12.（河北唐山一模.16题）双曲线的左、右焦点分别为,P为双曲线右支上一点，切于点G,且G为的中点，则该双曲线的离心率e= 13.（重庆7区2月考，8题）设F1，F2分别为双曲线 x2a2-y2b2=1 （a0,b0）的左右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足,且点P的横坐标为（c为半焦距），则该双曲线的离心率为 14. （2010.北京西城5月考.8题）如图，在等腰梯形ABCD中，AB/CD，且AB=2AD，设，以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为，则（ ）A随着角度的增大，增大，为定值B随着角度的增大，减小，为定值C随着角度的增大，增大，也增大C随着角度的增大，减小，也减小15.（2010.武汉二月调考.10题）. 过定点P（3,1）的直线交x轴正半轴于A, 交y轴正半轴于B,O为坐标原点，则OAB周长的最小值为（ ）A.8 B.10 C.12 D.参考答案1. （平几给力）MON是等腰直角三角形，斜边上的高为半焦距.Rt.3题解图2题解图1题解图2.（设而不求）如图设，则斜边上的高.由，故选A.3. （平几给力）如图，抛物线的焦点为F（2,0）准线方程为.若M为AB中点，由A,M,B分别向准线引垂线，垂足依次为.那么是梯形D 中位线，且.故,选B.4.（取特殊直线）如图：圆的圆心为抛物线的焦点令直线AD与x轴垂直，那么与同向，故选A.5.（几何法：利用垂径定理及圆的对称性）如5题解图 显然点在圆上.点M关于y轴的对称点N（4,3）也在圆上.连ON.MN平分AMB,N为的中点.必ONAB.6.（特值法省力）不妨设k=1,则4条直线依次为：A.y=-x-1; B.y=x-1; C.y=-x+1; D.y=-x+2.显然，A与B关于y轴对称，B与C关于x轴对称，这3条直线与直线y=x+1被椭圆所截得的弦长都相等.故选D.6题解图5题解图4题解图7.（数形结合）直线交x轴于显然坐标原点O与该直线上一点的“折线距离”的最小值等于.设点P为圆上一点，为求其到该直线上一点“折线距离”的最小值，显然点P只能在第一象限的圆弧上.作PQx轴，交该直线于Q，对于固定的P，我们证明点P,Q的折线距离（也就是线段PQ之长）最小.若点C在BQ上，作CFPQ于F，由于BQP=BAO45，7题解图；若点D在AQ上，仅P,D横坐标差点绝对值已大于PQ之长.现在设.那么.当且仅当=1时，所求最小值为.8. 解法1.（数形结合）设圆C垂直于直线的切线为x=-y+m，代入圆的方程：令.解得：.8题解图1取直线方程为令x=y,得则所求投影的最大值为，选A.解法2.（平面几何给力）过圆心作直线的平行线，设与圆的上交点为P，PM于M，又作ON直线CP于N,10题解图9题解图8题解图2 故所求投影的最大值为9.（数形结合）符合题意的平面区域如图所示.作圆的平行于直线x-2y+1=0的切线，设其方程为则圆心M（0，-2）到此直线的距离.取，则切线方程为所求 的最小值为10.设双曲线右焦点为F（c,0），取渐近线，FM于M,直线FM的方程为：由，从而,得.代入椭圆方程： .则双曲线的离心率为11.（减少参数）双曲线的渐近线为，直线的一般方程为由由由条件知A为BC中点，11题解图.于是.选B.【评注】只求x，不求y，省力的典范.12.（回归定义）当切于点G时，有14题解图13题解图12题解图13.（取特值，回归定义）不妨令c=4，则点的横坐标为5.如图有作PQx轴于Q,有Q(5,0).且14.（回归定义，三角法）连AC,BD. 不妨设则 . 由余弦定理：.对于双曲线, .,当增大时，减小.对于椭圆,故为定值.OABP(2,1)xyMN112215.解法1（三角代换）如15题截图1，作PMx轴于M，PNy轴于N，则ON=2,ON=1.设OAB=NPB=，则NB=2ton,M