【数学】江苏省七市2020届高三第二次调研考试数学试题及答案

参考答案与评分建议 第 1 页（共 10 页） 数学二模参考答案及评分建议 一、填空题：每小题 5 分，共计 70 分 19 25 310 4 5 2 5 2 3 6 6 715 81 3 92 1013 118 12ln 6 13 42 7 141， 注：注：第第 12 题凡是写成题凡是写成“In6”，一律算错，一律算错，0 分分 二、解答题： 15 （本小题满分 14 分） 解： （1）因为向量cossin，a， cossin 44 ，b， 所以 2 baaa ba 2 分 22 coscossinsincossin 44 4 分 c o s1 4 2 1 2 6 分 （2）因为1 1，c，所以bc cos1 sin1 44 ， 因为bca，所以 cos1 sinsin1 cos0 44 9 分 于是 sincossincoscossin 44 ， 从而 2sinsin 44 ，即 1 sin 42 12 分 因为 0 2 ，所以 444 于是 46 ，即 5 12 14 分 注：注：本本题题出现出现 0 2 ，就不扣分；没出现，就不扣分；没出现 0 2 或或 444 ，扣，扣 2 分分 16 （本小题满分 14 分） 证明： （1）取AB的中点D，连结PD CD，在 1 ABB中，因为P D，分别 为 1 ABAB，中点，所以 1 PDBB，且 1 1 2 PDBB 在直三棱柱 ABCA1B1C1中， 11 CCBB， 11 CCBB 因为Q为棱 1 CC的中点，所以 1 CQBB，且 1 1 2 CQBB3 分 于是PDCQ，PDCQ 所以四边形PDCQ为平行四边形，从而PQCD5 分 又因为CDABC 平面，PQABC 平面，所以PQABC平面7 分 参考答案与评分建议 第 2 页（共 10 页） （2）在直三棱柱 ABCA1B1C1中， 1 BBABC平面 又CDABC 平面，所以 1 BBCD 因为CACB，D为AB中点，所以CDAB 10 分 由（1）知CDPQ，所以 1 BBPQ，ABPQ 12 分 又因为 1 ABBBB， 11 ABABB A 平面， 111 BBABB A 平面， 所以 11 PQABB A平面 14 分 注：本注：本题题用用 11 CDABB A平面，CDPQ的，扣的，扣 4 分分 17 （本小题满分 14 分） 解： （1）记椭圆E的焦距为 2c（0c ）因为右顶点0A a，在圆 C 上，右 准线 2 a x c 与圆 C： 2 2 31xy相切 所以 2 2 2 301 31 a a c ， ， 解得 2 1 a c ， 于是 222 3bac， 所以椭圆方程为： 2 2 1 43 y x 4 分 （2）法 1：设 NNMM N xyM xy，显然直线 l 的斜率存在， （不写不扣分）（不写不扣分） 设直线 l 的方程为：2yk x由方程组 2 2 2 1 43 yk x y x ， 消去y得， 2222 431616120kxk xk 所以 2 2 1612 2 43 N k x k ，解得 2 2 86 43 N k x k 6 分 由方程组 2 2 2 31 yk x xy ， ， 消去y得， 2222 146480kxkxk， 所以 2 2 4+8 2 1 M k x k ，解得 2 2 2+4 1 M k x k 8 分 因为 12 7 ANAM，所以 12 22 7 NM xx 10 分 即 22 12122 7 431kk ，解得 1k ， 12 分 所以直线 l 的方程为20 xy或 20 xy 14 分 法 2：设 NNMM N xyM xy，当 l 与 x 轴重合时，不符题意 （不写不扣分）（不写不扣分） 设直线 l 的方程为：20 xtyt 由 方 程 组 2 2 2 1 43 xty y x ， 消 去x得 ， 22 34120txty， 所 以 参考答案与评分建议 第 3 页（共 10 页） 2 12 34 N t y t 6 分 由方程组 2 2 2 31 xty xy ， 消去x得， 22 120txty， 所以 22 1 M t y t 8 分 因为 12 7 ANAM，所以 12 7 NM yy 10 分 即 22 12122 7 341 tt tt ，解得 1t ， 12 分 所以直线 l 的方程为20 xy或 20 xy 14 分 18 （本小题满分 16 分） 解： （1）因为 2 3 ADEABC SS ，ABC 是边长为 3 的等边三角形，又 AD x， 所以 212 1 sin=3sin 233 23 AD AE ，所以 6 AE x 2 分 由 03 6 03 ADx AE x ， ，得23x 4 分 法 1：在ADE中，由余弦定理，得 2222 2 36 2cos6 3 DEADAEAD AEx x 直道 DE 长度 y1关于 x 的函数关系式为 2 1 2 36 623yxx x ，6 分 在ADM和AEM中，由余弦定理，得 222 2cosADDMAMDM AMAMD 222 2cosAEEMAMEM AMAMD 8 分 因为 M 为 DE 的中点，所以 1 2 DMEMDE 由+，得 22222221 22 2 ADAEDMEMAMDEAM， 所以 2 222 2 6136 62 2 xxAM x x ，所以 2 2 2 93 42 x AM x 直道 AM 长度 y2关于 x 的函数关系式为 2 2 2 93 23 42 x yx x ，10 分 法 2：因为在ADE中，DEAEAD， 所以 2 222 22 2 6636 22cos6 3 DEAEAE ADADxxx xx x 直道 DE 长度 y1关于 x 的函数关系式为 2 1 2 36 623yxx x ，6 分 D A E （第 18 题） M C B 参考答案与评分建议 第 4 页（共 10 页） 在ADE 中，因为 M 为 DE 的中点，所以 1 2 AMADAE 8 分 所以 222 2 2 1136 26 44 AMADAEAD AEx x 直道 AM 长度 y2关于 x 的函数关系式为 2 2 2 93 23 42 x yx x ，10 分 （2）由（1）得，两条直道的长度之和为 2 2 12 22 3693 +6 42 x DE AMyyx xx 2 2 22 3693 262 42 x x xx 12 分 3 2 6 2 （当且仅当 2 2 2 2 36 9 4 x x x x ， 即6x 时取“ ”） 14 分 答：当6AD 百米时，两条直道的长度之和取得最小值 3 2 6 2 百米16 分 19 （本小题满分 16 分） 解： （1） 当 k 1 时，f ( x ) = x2 2 ln x ( kR )， 所以 211 0 xx fxx x ，令 0fx ，得 x 1，2 分 列表如下： 所以函数( )f x在 x 1 处取得极小值，极小值为 1，无极大值（不写不扣（不写不扣 分）分） 4 分 设 x0是函数( )f x的一个“F 点” 0 0 x 因为 2 21 0 kx fxx x ,所以 x0是函数( )fx的零点 所以0k ，由 0 0fx，得 2 00 1 1kxx k ， 由 00 ()f xx，得 2 000 2lnkxxx，即 00 +2ln10 xx 6 分 设 +2ln1xxx，则 2 1+0 x x ， 所以函数 +2ln1xxx在0+，上单调增，注意到 10， 所以方程 00 +2ln10 xx 存在唯一实根 1， x (0 1)， 1 (1)， ( )fx - 0 + ( )f x 极小值 参考答案与评分建议 第 5 页（共 10 页） 所以 0 1 =1x k ，得1k ， 8 分 根据知，1k 时，1x 是函数( )f x的极小值点， 所以 1 是函数( )f x的“F 点” 综上，得实数 k 的值为 1 9 分 （2）因为 g (x) ax3 bx2 cx ( a，b，c R，a 0 ) 所以 2 320gxaxbxc a 又因为函数 g (x) 存在不相等的两个“F 点”x1和 x2， 所以 x1，x2是关于 x 的方程 2 32=00axbxca的两个相异实数根 所以 2 12 12 4120 2 3 . 3 bac b xx a c x x a ， ， 又 g (x1) ax13 bx12 cx1 x1，g (x2) ax23 bx22 cx2 x2， 所以 g (x1) g (x2) = x1 x2，即(ax13 bx12 cx1) (ax23 bx22 cx2) = x1 x2， 从而( x1 x2) a (x12 x1x2 +x22)+ b (x1 x2 )+ c= x1 x2 因为 12 xx，所以 2 121 212 1axxx xb xxc ，11 分 即 2 22 1 333 bcb abc aaa 所以 2 2 39acba 13 分 因为| g (x1) g (x2) | 1， 所以 2 2 12121212 2 44 33 bc g xg xxxxxx x aa 2 2 43 2 1. 9 bac a a 解得20a 所以，实数 a 的取值范围为20 ， 16 分 （2） （解法 2）因为 g (x) ax3 bx2 cx ( a，b，c R，a 0 ) 所以 2 320gxaxbxc a 又因为函数 g (x) 存在不相等的两个“F 点”x1和 x2， 所以 x1，x2是关于 x 的方程组 2 32 32=0axbxc axbxcxx ， 的两个相异实数根 由 32 axbxcxx得 2 010 xaxbxc ， 11 分 （21）当0 x 是函数 g (x) 一个“F 点”时，0c 且 2 3 b x a 参考答案与评分建议 第 6 页（共 10 页） 所以 2 22 10 33 bb ab aa ，即 2 92ab 又 1212 2 01 3 b g xg xxx a ， 所以 22 49ba，所以 2 929aa 又 a 0，所以20a 13 分 （22）当0 x 不是函数 g (x) 一个“F 点”时， 则 x1，x2是关于 x 的方程 2 2 32=0 10 axbxc axbxc ， 的两个相异实数根 又 a0，所以 2 3 1 3 b b c c ， ， 得 0 3 2 b c ， . 所以 21 2 ax ，得 1 2 1 2 x a ， 所以 1212 1 21 2 g xg xxx a ，得20a 综合（21） （22） ，实数 a 的取值范围为20 ， 16 分 20 （本小题满分 16 分） 解：（1） 设等比数列 n a的公比为q， 因为 1 1a ， 4 1 8 a ， 所以 31 8 q ， 解得 1 2 q 所以数列 n a的通项公式为： 1 1 2 n n a 3 分 （2）由（1）得，当2nn N，时， 1 1 11 22 n nn bS ， 所以， 1 11 22 n nn bS ， 得， 1 11 22 n nn bb ， 5 分 所以， 1 1 1 11 22 nn nn bb ，即 1 1 1 nn nn bb aa ，2nn N，7 分 因为 1 1b ，由 得， 2 0b ，所以 21 21 011 bb aa ， 所以1 1 1 n n n n a b a b ，n N 所以数列 n n b a 是以1为首项，1 为公差的等差数列 8 分 参考答案与评分建议 第 7 页（共 10 页） （3）由（2）得bn an =n2，所以 bn= n2 2n-1 ，Sn=2(an+1+bn+1)=2( 1 2n+ n1 2n )= n 2n-1. 假设存在等差数列cn，其通项 cn=dn+c，使得对任意 Nn，都有 Sncnan， 即对任意 Nn ，都有 n 2n-1dn+c 1 2n-1. 10 分 首先证明满足的 d=0. 若不然，d0，则 d0，或 d0. (i) 若 d0，则当 n1c d ， Nn时，cn=dn+c1 1 2n-1= an， 这与 cnan矛盾. (ii) 若0d，则当 n1+c d ， Nn时，cn=dn+c1. 而 Sn+1Sn=n+1 2n + n 2n-1= n1 2n 0，S1= S2S3,所以 SnS1=1. 故 cn=dn+c1Sn，这与 Sncn矛盾. 所以 d=0. 12 分 其次证明：当 x7 时，f(x)=(x1)ln22lnx0. 因为 f (x)=ln21 xln2 1 70，所以 f(x)在7，+)上单调递增， 所以，当 x7 时，f(x)f(7) =6ln22ln7= ln64 490. 所以当 n7， Nn时，2n-1n2. 14 分 再次证明 c=0. (iii)若 c0 时，则当 n7，n1 c，nN*，Sn= n 2n-1 1 nc，这与矛盾. (iv)若 c0 时，同(i)可得矛盾. 所以 c=0. 当0 n c 时，因为 1 0 1 2 n n n S ， 1 1 0 2 n n a ， 所以对任意 Nn，都有 Sncnan所以0 n cn N， 综上，存在唯一的等差数列 cn ，其通项公式为0 n cn N，满足题设16 分 参考答案与评分建议 第 8 页（共 10 页） 数学（附加题） 21A选修 4-2：矩阵与变换（本小题满分 10 分） 解：因为 1 AAE，所以 010210 0001ab ，即 010 0201 b a 所以 1 21 b a ， ，解得 1 2 1 a b ， . 所以 01 1 0 2 A4 分 设P xy，为曲线 C1任一点，则 2 2 1 4 x y ， 又设P xy，在矩阵 A 变换作用得到点Q x y， 则 01 1 0 2 xx yy ，即 2 y x x y ，所以 2 yx x y ， ，即 2xy yx ， . 6 分 代入 2 2 1 4 x y ，得 22 1yx， 所以曲线 C2的方程为 22 1xy 10 分 B选修 44：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 解：以极点为坐标原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系 xOy， 于是曲线 C：(0)r r的直角坐标方程为 222 xyr，表示以原点为圆心， 半径为r的圆3 分 由直线 l 的方程 cos2 4 ，化简得cos cossin sin2 44 ， 所以直线 l 的直角坐标方程方程为20 xy6 分 记圆心到直线l的距离为d，则 2 2 2 d ， 又 2 22 2 AB rd，即 2 279r ，所以3r 10 分 C选修 4-5：不等式选讲（本小题满分 10 分） 证明：因为 222 222 2 111 xyz xyz ， 所以 222 222222 111 1111 111111 xyz xyzxyz 5 分 由柯西不等式得， 2 222 222222222 111 111111111 xyzxyz xyzxyzxyz 所以 2 222 2 111 xyz xyz 参考答案与评分建议 第 9 页（共 10 页） 所以 222 2 111 xyz xyz 10 分 22 （本小题满分 10 分） 解： （1）记 2 家小店分别为A B，A店有i人休假记为事件0 1 2 i Ai ， B店有i人 休假记为事件0 1 2 i Bi ，发生调剂现象的概率为P 则 2 0 002 11 C 24 P AP B， 2 1 112 11 C 22 P AP B， 2 2 222 11 C 24 P AP B （没有上面说明扣（没有上面说明扣 2 分）分） 所以 0220 11111 44448 PP A BP A B 答：发生调剂现象的概率为 1 8 4 分 （2）依题意，X 的所有可能取值为0 1 2，5 分 则 22 111 0 4416 P XP A B，6 分 1221 11111 1 42244 P XP ABP A B，7 分 1111 21011 16416 P XP XP X 8 分 所以 X 的分布表为： 所以 111113 210 164168 E X 10 分 23 （本小题满分 10 分） 解： （1）范数为奇数的二元有序实数对有：1 0 ，01，0 1，1 0， 它们的范数依次为1 1 1 1，故 22 44AB， 3 分 （2）当 n 为偶数时，在向量 123n xxxx， ，a的 n 个坐标中，要使得范数为 奇数， 则 0 的个数一定是奇数，所以可按照含 0 个数为：1 31