第一章 函数 - 副本.ppt

1,微积分,23:05,2,在一切理论成就中，未必有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的卓越胜利了。,恩格斯,23:05,3,微积分学主编莫国良唐志丰等浙江大学出版社,教材：,23:05,9,前言,现代的自然科学和社会科学融合了大量的高等数学知识，掌握其主体内容成为一个大学生的必备技能。,本课程主要介绍以下内容：一元微积分学、多元微积分学、级数理论和常微分方程，上册主要介绍一元微积分学，其余在下册介绍。,通过高等数学的学习，不但使学生具备学习后续其他数学课程和专业课程所需要的基本数学知识，而且还使学生在数学的抽象性、逻辑性与严密性方面受到必要的训练和熏陶，使他们具有理解和运用逻辑关系、研究和领会抽象事物、认识和利用数形规律的初步能力。因此，高等数学的学习不仅关系到学生在整个大学期间甚至研究生期间的学习质量，而且还关系到学生的思维品质、思辨能力、创造潜能等科学和文化素养。高等数学教学既是科学的基础教育，又是文化基础教育，是素质教育的一个重要的方面。,23:05,5,同时创立了微积分，微积分研究的主要对象就是函数。,微积分(Calculus)是一门以变量为研究对象、以极限方法作为研究工具的数学学科，应用极限方法研究各类变化率问题和几何学中曲线的切线问题，就产生了微分学；应用极限方法研究诸如曲边梯形的面积等涉及到微小量无穷积累的问题，就产生了积分学。英国数学家牛顿,和德国数学家莱布尼兹,23:05,6,一、微积分的实际背景,1、瞬时速度,2、曲线的切线斜率,3、曲边图形的面积,二、微积分学的思想方法,运动、变化、发展乃至质变，是微积分的根本思想方法，但运动、变化的定量刻画却表现在它的反面，即相对静止之中，也就是说，用定量的方法来刻画变量的变化。,23:05,7,三、微积分学的基本结构,比如做家具：,原料：函数,工具：极限,产品一：导数,产品二：积分,23:06,8,函数,第一章,23:06,9,第一节函数的概念,一、邻域,记作,23:06,10,记作,23:06,11,23:06,12,二、函数,1、函数概念,伽利略经过精确的实验，测得自由落体的运动方程：,在力学中，质量为m，速度为v的物体运动时所具有的能量（称为动能）,在电学中，电流强度为I的电流通过电阻为R的导线时，在单位时间内所产生的热量,23:06,13,在几何中半径为r的圆的面积,上述这些变量之间的关系都有一个相同的抽象形式,这就是一个函数关系式。,如果将这个函数关系的性质研究清楚了，那么前面的那些实际变量之间的关系的性质也就清楚了.,数学的一个特点是它的高度抽象性，随之也就具有应用的广泛性.,下面给出函数的一般定义.,23:06,14,x称为自变量，y称为因变量.,二、函数,23:06,15,注意：,例如，,是定义在R上的一个函数，,它的值域是,确定函数的两要素：,定义域和对应法则。,23:06,16,例判断下列各对函数是否相同？,相同,不同,(定义域不同),不同,(对应法则不同),相同,不同,(定义域不同),=|x|,23:06,17,(1)根据实际问题；(2)自然定义域：使算式有意义的一切实数值.,如何求函数的自然定义域？,(a)分式的分母不等于零；,(b)偶次根号内的式子应大于或等于零；,(c)对数的真数应大于零；,(e)若函数的表达式由多项组成,则定义域为各项定义域的交集；,(f)分段函数的定义域是各段定义域的并集.,定义域的确定：,23:06,18,例求下列函数的(自然)定义域。,因此，函数的定义域为,解,即定义域为,23:06,19,因此，函数的定义域为,23:06,20,解,例,因此g(x)的定义域为,23:06,21,2、函数的表示法,1）图示法,2）表格法,3）解析法(公式法),23:06,22,三、函数的几种特性,1、函数的有界性,23:06,23,函数的有界性还可以细分为：,则称函数f(x)在X上有下界.,M1称为f(x)在X上的下界。,M2称为f(x)在X上的上界。,定理：函数f(x)有界当且仅当f(x)既有上界又有下界。,则称函数f(x)在X上有上界.,23:06,24,因为存在M=1，使对任意x(-,+)，有|sinx|1，所以y=sinx是(-,+)内的有界函数。,y=sinx有界吗?,23:06,25,23:06,26,2、函数的单调性,则称函数,恒有,在I上单调增加（严格单调增加）,23:06,27,则称函数,恒有,在I上单调减少（严格单调减少）.,23:06,28,例如,函数y=x3在(-,+)内严格单调增加。,23:06,29,而函数y=x2在区间(-,0)内严格单调减少；在区间(0,+)内严格单调增加。,23:06,30,3、函数的奇偶性,偶函数,偶函数的图形关于y轴对称。,23:06,31,奇函数,奇函数的图形关于原点对称。,23:06,32,例判断下列函数的奇偶性：,偶函数,奇函数,奇函数,23:06,33,例,是偶函数；而,是奇函数。,证明是容易的。,由此可证：定义域关于原点对称的函数必可表示为一个偶函数和一个奇函数之和：,23:06,34,4、函数的周期性,(通常周期函数的周期是指其最小正周期).,注意：并非任意周期函数都有最小正周期.,如狄利克雷函数,任何正有理数都是它的周期,但并不存在最小的正有理数。,23:06,35,四、反函数与复合函数,1、反函数,定义设函数y=f(x)的定义域为D，值域为Z。如果对于每个yZ，存在唯一xD，使f(x)=y，则x是一个定义在Z上的函数，称为y=f(x)的反函数，记为x=f1(y)。,函数y=f(x)与函数x=f1(y)互为反函数。,将x与y互换，就得所求反函数为,例求y=3x1的反函数。,解,23:06,36,直接函数与反函数的图形关于直线y=x对称.,23:06,37,例如，在(-,+)内，y=x2不是一一对应的函数关系，所以它没有反函数。,一个函数若有反函数，它必定是一一对应的函数关系。,在(0,+)内y=x2有反函数,在(-,0)内，y=x2有反函数,23:06,38,解,例求函数,的反函数。,所以所求反函数为,23:06,39,例8,与,互为反函数。,23:06,40,2、复合函数,例如：,可以复合成,注：不是任何函数都可以复合成一个函数。,不能复合。,和,u称为中间变量。,23:06,41,注意复合次序：,复合可以多次进行。,例9,例10,的复合。,23:06,42,重要问题：把一个复杂的函数分解为几个简单函数的复合运算或四则运算。,例11,例12,23:06,43,五、基本初等函数,1、常数函数,常函数的定义域为(-,+)，图形为平行于x轴,在y轴上截距为C的直线。,23:06,44,幂函数的定义域随a而异，但不论a为何值,它在(0,+)内总有定义。幂函数图形都经过(1,1)点。,常见的幂函数及其图形：,2、幂函数,23:06,45,幂函数的定义域随a而异，但不论a为何值,它在(0,+)内总有定义。幂函数图形都经过(1,1)点。,常见的幂函数及其图形：,2、幂函数,23:06,46,幂函数的定义域随a而异，但不论a为何值,它在(0,+)内总有定义。幂函数图形都经过(1,1)点。,常见的幂函数及其图形：,2、幂函数,23:06,47,幂函数的定义域随a而异，但不论a为何值,它在(0,+)内总有定义。幂函数图形都经过(1,1)点。,常见的幂函数及其图形：,2、幂函数,23:06,48,幂函数的定义域随a而异，但不论a为何值,它在(0,+)内总有定义。幂函数图形都经过(1,1)点。,常见的幂函数及其图形：,2、幂函数,23:06,49,幂函数的定义域随a而异，但不论a为何值,它在(0,+)内总有定义。幂函数图形都经过(1,1)点。,常见的幂函数及其图形：,2、幂函数,23:06,50,3、指数函数,定义域为(-,+)，值域为(0,+)，,都通过点(0,1),当a1时，函数单调增加；,当0a1时,函数单调增加；,当0an),为使运费最省，想在铁路上另修一小站M作为转运站，那么运费的多少决定于M的地点。试将运费表示为距离|BM|的函数。,设|BM|=x，运费为y。,其定义域为0,b。,解,根据题意，有,于是,23:06,81,例19如下图所示，从边长为a的正三角形铁皮上剪一个矩形，设矩形的一条边长为x，周长为l，面积为A，试分别将l和A表示为x的函数.,矩形的另一条边长为,解,矩形的周长为,矩形的面积为,23:06,82,例20某企业对某产品制定了如下的销售策略：购买不超过20公斤，每公斤10元；购买不超过200公斤，其中超过20公斤的部分，每公斤7元；购买超过200公斤的部分，每公斤5元。试写出购买量为x公斤的费用函数C(x).,解,23:06,83,END,END,23:06,84,牛顿，是英国伟大的数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家。1642年12月25日生于英格兰林肯郡格兰瑟姆附近的沃尔索普村,1727年3月20日在伦敦病逝。牛顿1661年入英国剑桥大学三一学院，1665年获文学士学位。随后两年在家乡躲避瘟疫。这两年里，他制定了一生大多数重要科学创造的蓝图。1667年回剑桥后当选为三一学院院委，次年获硕士学位。1669年任卢卡斯教授直到1701年。1696年任皇家造币厂监督，并移居伦敦。1703年任英国皇家学会会长。1706年受女王安娜封爵。他晚年潜心于自然哲学与神学。牛顿在科学上最卓越的贡献是微积分和经典力学的创建。,23:06,85,莱布尼茨，德国数学家、哲学家，和牛顿同为微积分的创始人；1646年7月1日生于莱比锡，1716年11月14日卒于德国的汉诺威。他父亲是莱比锡大学伦理学教授，家庭丰富的藏书引起他广泛的兴趣。1661年入莱比锡大学学习法律，又曾到耶拿大学学习几何，1666年在纽伦堡阿尔特多夫取得法学博士学位。他当时写的论文论组合的技巧已含有数理逻辑的早期思想，后来的工作使他成为数理逻辑的创始人。1667年他投身外交界，曾到欧洲各国游历。1676年到汉诺威，任腓特烈公爵顾问及图书馆的馆长，并常居汉诺威，直到去世。莱布尼茨的多才多艺在历史上很少有人能和他相比，他的著作包括数学、历史、语言、生物、地质、机械、物理、法律、外交