[经济学]第5章-数值计算基础.ppt

第5章数值计算基础,本章目标,掌握多项式的构造和运算方法掌握解线性方程的方法能够使用常用的几种数值分析方法进行一般的数值问题求解,主要内容,5.1多项式5.2线性代数5.3数值分析5.4函数极值和零点5.5插值和拟合,5.1多项式,5.1.1创建多项式(P47)对多项式P(x)=a0 xn+a1xn-1+an-1x+an在MATLAB中，多项式用行向量表示，向量中的元素按多项式降幂排列：P=a0a1an-1an例:X4-34X3-80X2+1可以表示为向量1-34-8001,多项式的创建方法：,1、系数矢量的直接输入法在命令窗口中直接输入多项式的系数矢量，利用poly2sym将多项式由系数矢量形式转变为符号形式。poly2sym(3-670-9)ans=3*x4-6*x3+7*x2-9,例：p1=32045p2=63-46p3=2450708,2、特征多项式输入法由矩阵的特征多项式系数建立多项式，由函数poly实现。n阶方阵的特征多项式系数的矢量是n+1阶的，而且系数的第一个元素必须是1。b=356;-213;03-2;p=poly(b)p=1.0000-2.0000-4.000089.0000poly2sym(p)ans=x3-2*x2-4*x+89,5.1.2多项式运算,MATLAB中在对多项式进行加减运算时,参加运算的多项式应该具有相同的阶次,如果阶次不同,低阶的多项式必须用零填补至高阶多项式的阶次。,1、多项式的加减法a=1357;b=2468;c=a+bc=371115,d=1346-5;e=0c+de=16111710e=c+d?Errorusing=plusMatrixdimensionsmustagree.,2、求多项式的值求多项式的值有两种算法按数组运算规则计算，对应函数polyval按矩阵运算规则计算，对应函数polyvalm,函数polyval的调用格式为：y=polyval(p,x)：求多项式p在x点的值，x也可以是一数组，表示求多项式p在各点的值。p=3-670-9;polyval(p,357)ans函数polyvalm的调用格式,y=polyvalm(p,x)：求多项式p对于矩阵x的值，要求矩阵x必须是方阵，x如果是一标量，求得的值与函数polyval相同。,例1：求多项式4x2+2x-1对于向量2314的值。例2：求多项式2x2+3x+1对于向量210的值。,p=42-1;polyval(p,2314)ans=1941571,p=231;polyval(p,210)ans=1561,3、求多项式的根两种方法：直接调用求根函数roots先把多项式转化为伴随矩阵，然后求其特征值,p=3-670-9;r=roots(p)r=0.6975+1.4641i0.6975-1.4641i1.4126-0.8075s=compan(p)s=2.0000-2.333303.00001.000000001.000000001.00000r=eig(s)r=0.6975+1.4641i0.6975-1.4641i1.4126-0.8075,4、多项式的乘除运算多项式的乘法由函数conv实现，除法由函数deconv实现。a=3-4602;b=12-53;c=conv(a,b)c=32-1741-4022-106d=deconv(c,a)d=12-53,5、多项式的微积分多项式的微分由函数polyder实现，积分由函数polyint实现b=12-53;p=polyder(b)p=34-5pr=polyint(p)pr=12-50,polyder()结合poly2str(,)求多项式的一阶和二阶导数调用函数时有一个输入和一个输出参数表示计算单个多项式的导数调用函数时有两个输入和一个输出参数表示计算两个多项式乘积的导数调用函数时有两个输入和两个输出参数表示计算两个多项式相除的导数,5.2线性代数,matlab中有两种除运算左除和右除。（P40）x=ab是方程ax=b的解（常用）x=b/a是方程xa=b的解对于方程的系数矩阵a,m为行n为列，有三种情况：当m=n时，为方阵系统，可计算精确解当mn时，为超定系统，可计算最小二乘解当ma=1476;3130;91112;b=6;9;11;x=abx=-0.05880.70590.3137,a=1476;3130;91112;b=529;1234;022;x=abx=0.39500.07140.82350.83190.21430.1176-1.0588-0.0833-0.5588,如果方阵a是奇异矩阵，则线性方程ax=b有无穷解，计算将给出错误信息。a=123;246;369;b=6;9;11;x=abWarning:Matrixissingulartoworkingprecision.x=NaN-InfInf,5.2.2超定系统超定系统方程的个数多于自变量的个数，求解方程一般采用最小二乘法。,例:x1+2x2=12x1+3x2=23x1+4x2=3x=1.000,a=12;23;34;b=1;2;3;x=abx=1.0000-0.0000,5.2.3欠定系统未知数的个数比方程式的个数多欠定系统的解不唯一，MATLAB计算的是一组的基解欠定系统有两种算法，最少元素解ab和最小范数解pinv(a)*b,x1+2x2+3x3=12x1+3x2+4x3=2a=123;234;b=1;2;x=abx=100,a=123;234;b=1;2;x=pinv(a)*bx=0.83330.3333-0.1667,5.3数据分析,5.3.1基本统计命令,y=sin(x)，x从0到2pi，x=0.02pi，求y的最大值、最小值、均值和标准差。,x=0:0.02*pi:2*pi;y=sin(x);ymax=max(y)ymin=min(y)ymean=mean(y)ystd=std(y)ymax=1ymin=-1ymean=2.2995e-017ystd=0.7071,5.4.1函数的极值可以通过函数fminbnd来求一元函数y=f(x)在指定区间a,b上的函数局部极小值,该函数返回函数在极小值点时自变量x的值,调用格式为:x=fminbnd(fun,a,b).例求humps函数在开区间(0.3,1)内的最小值.humps是MATLAB内置的M文件函数,实际上是y=1/(x-0.3)2+0.01)+1/(x-0.9)2+0.04)-6.,5.函数的极值和零点,x=fminbnd(humps,0.3,1)x=0.63705.4.2函数零点在MATLAB中使用fzero可以找到函数零点,调用格式为x=fzero(fun,x0),例仍然考虑humps函数,把1,2作为函数的参数,命令及结果为fzero(humps,12)ans=1.2995,5.5多项式拟合和插值,在生产和科学实验中，自变量与因变量间的函数关系有时不能写出解析表达式，而只能得到函数在若干点的函数值或导数值，或者表达式过于复杂而需要较大的计算量。当要求知道其它点的函数值时，需要估计函数值在该点的值。,为了完成这样的任务，需要构造一个比较简单的函数，使函数在观测点的值等于已知的值，或使函数在该点的导数值等于已知的值，寻找这样的函数有很多方法。根据测量数据的类型有以下两类处理观测数据的方法。,（1）测量值是准确的，没有误差，一般用插值。（2）测量值与真实值有误差，一般用曲线拟合。在MATLAB中，无论是插值还是拟合，都有相应的函数来处理。,5.5.1一维插值由函数interp1实现格式：yi=interp1(x,y,xi,method)xi为插值点的自变量矢量。method为插值方法选项，有四种方法：邻近点插值（method=nearest）线性插值（method=linear）三次样条插值（method=spline）立方插值（method=pchip或cubic）,选择插值方法时主要考虑因素：运算时间、占用计算机内存和插值的光滑程度。比较：运算时间占用计算机内存光滑程度。*临近点插值：快少差*线性插值：稍长较多稍好*三次样条插值：最长较多最好*立方插值：较长多较好,例1：一维插值函数插值方法的对比。,x=0:10;y=sin(x);xi=0:0.25:10;strmod=nearest,linear,spline,cublic%将插值方法定义为单元数组str1b=(a)method=nearest,(b)method=linear,(c)method=spline,(d)method=cubic%将图标定义为单元数组fori=1:4yi=interp1(x,y,xi,strmodi);subplot(2,2,i)plot(x,y,ro,xi,yi,b,xlabel(str1b(i),end,多项式插值实例x=1:12;y=589132729312921252823;a=interp1(x,y,9.3)a=22.2000b=interp1(x,y,4.8)b=24.2000,5.5.2拟合由函数polyfit实现格式：P=polyfit(x,y,n),其中，x和y是已知数据的横坐标和纵坐标向量，n为多项式次数。n越大，拟合的精度