二重积分与累次积分

文章编号1008- 7834(2001)01- 0003- 02 二重积分与累次积分 张慧琴 ( 吕梁高等专科学校 数学系, 山西 离石 033000) 摘 要 本文通过五组问题, 讨论二重积分与累次积 分的关系 关键词 二重积分; 累次积分 中图分类号O172. 2 文献标识码A 收稿日期 2000- 12- 18 重积分与累次积分是积分学中一个重要而复杂的问题。 一般来说, 重积分与累次积分没有关系, 这很类似于二元函 数在一点的二重极限与累次极限之间的关系。 但对初学者, 往往误认为重积分与累次积分是一回事, 从而导致许多理论 和实践上的错误, 为了对此问题有一个比较明确的认识, 我 们将通过五组问题, 进行比较全面地讨论。 为方便书写仅就 二重积分与累次积分来讨论。 设 Q b adxQ d cf (x , y) dy 为(A ) Q d c dyQ b af (x , y) dx 为( B) k R f (x , y) dxdy 为( C) 其中 R = a x b, c y d 问题 1 当累次积分( A)( B) 之一存在时, 能否断定另 一个也存在?能否断定重积分( C) 存在? 答: 不能, 例如在 R = 0 x 1; 0 y 1 上定义 f (x , y) = 3y2 当 x 是有理数 1 当 y 是无理数 则:1、 f( x, y) 在 R 上不可积; 2、累次积分Q 1 0dxQ 1 0f( x, y) dy 存在; 3、 累次积分Q 1 0dyQ 1 0f( x, y) dx 不存在 1) 事实上, 取R 的子区域R1= 0x 1, 1 2 y 1, 在 R1上, 对任意 y, 当 x 为有理数时, 则 f( x, y) = 3y2 3( 1 2 )2 = 3 2 , 于是对 R 1 怎样分割, 在每个小区域 v Ri上, 总是有使 x 为有理数和无理数的点同时存在。 故振幅 X1 1 2 , 而对于 任意一分法的振幅和 2 R Xiv Ri 2 RcRXi v Ri 1 2 ( 1- 1 2) 所以f ( x, y) 在 R 上不可积。 2) 当 x 为有理数时,Q 1 0f( x, y) dy =Q 1 03y 2dy = 1 当 x 为无理数时Q 1 0f( x, y) dy =Q 1 01dy = 1 所以积分Q 1 0dxQ 1 0f( x, y) dy = 1存在 3) 对于任一 y 1 2, 当X 为有理数时, 则f( x, y) = 3y 2 3 2 与(1) 类似的讨论方法, 可知Q 1 0f ( x, y) dx 不存在, 因此 Q 1 0dyQ 1 0f( x, y) dx 不存在 问题 2 当( A)( B) 都存在时, 是否必相等?( C) 一定存 在吗? 答: 不一定 例如: f( x, y) = x - y ( x + y)3 当( x, y) X (0, 0) 0 当(x, y) = ( 0, 0) 函数f ( x, y) 在(0, 0) 附近无界。 事实上取点( 2 n , 1 n ) 有f ( 2 n , 1 n ) = 2 n - 1 n ( 2 n + 1 n )3 = n2 27 y+ ( n y ) _ 二重积分不存在 但是Q 1 0dxQ 1 0 x - y ( x + y) 3dy =Q 1 0 y (x + y)2 1 0 dx =Q 1 0 dx ( x + 1)2 = 1 2 Q 1 0dyQ 1 0 x - y ( x + y) 3dx = Q 1 0 - x (x + y) 2 1 0 dy= - Q 1 0 dy (1+ y)2 = - 1 2 即两个累次积分都存在, 但不相等 问题 3 当(A )( B) 都存在且相等时, 重积分一定存在 吗? 答: 不一定, 例如在矩形 R = 0 x 1, 0 y 1 上 定义 f (x , y) = 1 当 x = p1 q y = p2 q 为有理数 0 其它情况 其中 P1与 q 与p2与 q 是无公因子的正整数, 且 p1 q, p2q 由于f( x, y) 在 R 内的任何部分区域上其振幅等于 1, #3# 第 17卷 第 1 期 吕梁高等专科学校学报 2001年 3 月 VoI. 17 No. 1 Journal of Luliang Higher College Mar. 2001 故f (x , y ) 在 R 上的二重积分不存在。 但对任意的 y, 函数 f( x, y) 或恒等于零( 若 y 是无理数 或y = 0、 1 时) 或仅对有限个 x 可能异于零( y I0, 1 为有 理数) 在这两种情况下都有Q 1 0f (x , y) dx = 0 y I 0 1 故Q 1 0dyQ 1 0f( x, y) dx = 0 由 x 与y 的对称性 易得Q 1 0dxQ 1 0f( x, y) dy = 0 问题 4、 当二重积分( C) 和二次积分( A)( B) 之一存在 时, 它们一定相等吗?另一个二次积分一定存在吗? 答: 前一问题的答案是肯定的, 后一问题则不一定 若函数 f( x, y) 在矩形区域 R: a x c y d 上 可积且 Px I a, b Q d cf( x, y) dy 存 在,即 累 次 积 分 Q b adxQ d cf( x, y) dy 存在, 则有k R f( x, y) dxdy = Q b adxQ d ef( x, y) dy 证明参看1 下册 P318定理 11 但是, 仍不能保证对每个 y I c, dQ b af( x, y) dx 存在 例如: f( x, y) = 1 qx 当 x, y 皆为有理数, x = px qx I( 0, 1) 0 其它 在 R = 0 x 1, 0 y 1 上 f( x, y) 可积(因为 f( x, y) 为 R 上几乎处处连续函数) 对 Py I0, 1 若 y 为无理数, 则 f( x, y) = 0 故对此有Q 1 0f( x, y) dx = 0 若 y 为有理数, 则 f( x, y) = R( x) 即一元 Rieman 函数 故对此 y 亦有Q 1 0f( x, y) dx = 0 于是对 Py I 0, 1 有 Q 1 0f ( x, y) dx = 0 故Q 1 0dyQ 1 0f( x, y) dx = 0 而Q 1 0dxQ 1 0f( x, y) dy 不存在。 事实上 当 x I( 0, 1) 为有理数, 即 x = p q 时 f (x , y) = 1 q 当 y 为有理数 0 当 y 为无理数 在0, 1 上无论怎样分法及取法 在 x I (0, 1) 为有理数 时, f( x, y) 所对应的振幅为 1 q , 故Q 1 0f( x, y) dy 对 Px I ( 0, 1) 为有理数不存在 于是Q 1 0dxQ 1 0f( x, y) dy 不存在 问题 5 当 f( x, y) 在f = a x b, c y d 连 续时, ( A)( B) ( C) 的相互关系如何? 答: 此时三个积分存在且相等 注意: f( x, y) 在矩形区域 R 上连续, 是( A) ( B)( C) 存在 相等的充分条件 例如: f( x, y) = R(x , y) ( Rieman 函数 R = 0 x 1, 0 y 1 f( x, y) 虽在 R 上不处处连续 但k R f( x, y) dxdy =Q 1 0dyQ 1 0f( x, y) dx =Q 1 0dxQ 1 0f( x, y) dy = 0 由上面五组问题, 可以看出: 1) 重积分与累次积分是两个完全不同的概念; 2) 两个累次积分存在且相等时, 重积分也不一定存在; 3)