地震波动力学期末复习资料

一、 名词解释1、 弹性：物体的变形随外力的撤除而完全消失的属性。 2、 塑性：物体的变形随外力的撤除后仍部分残留的属性。3、 外力：是指其它物体作用在所研究物体上的力。 4、 面力：分布在物体表面上各点的外力，称为面力。 5、 应力：截面上任意点内力的集度称为应力。6、 正应力：物体在某截面上一点的应力是矢量，这个矢量，一般来说不与截面垂直，也不与截面相切，通常把它分解为垂直于截面方向的分量和切于截面的分量，即为正应力。7、 剪应力：物体在某截面上一点的应力是矢量，这个矢量，一般来说不与截面垂直，也不与截面相切，通常把它分解为垂直于截面方向的分量和切于截面的分量，即为剪应力。 8、 应力分量：垂直于三个坐标轴的平面上正应力和剪应力的投影。9、 线应变：物体内一点沿某一方向线元受力后，该线元长度的改变量与原长度比值的极限称为该方向的线应变。 10、剪应变：过物体内任一点引两条相互垂直线段，变形后，这两个线段之间的夹角改变量（用弧度表示）定义为该点在这两个方向的剪应变，也称为角应变。11、平面波：等相位面是平面，且波阵面与波的传播方向垂直的弹性波。12、频散：不同谐波成分组成的波，虽然受同一起始扰动下，但各自以不同的速度传播，并且起始扰动的形状在传播中将产生变化。扰动经传播以后将扩展成为一更长的波列，这种现象我们称之为频散。13、 群速度：产生频散时，波的传播速度与组成这个波的各个谐波成分的相速度是不同的，我们称这个波整体的传播速度为群速度。 14、 相速度：指一定的相位移动的速度。 15、 自由界面：地表应力为零的界面。二、证明题（）1、 如果某一连续体内位移场是某一标量的梯度，即：，证明：。证明： 2、 如果连续体内位移场是某一矢量位移的旋度，即，证明： 证明：3、 已知标量为空间坐标的函数，即，且二阶可导，证明： ；证明： 4、在二维问题中，假设位移位及都只与，和有关，即，根据位移矢量公式证明二维问题的位移分量为： 。 证明： 由于及都只与，和有关，因此关于z的微分都为零，上式化为：即：5、 体应变，其中分别线应变分量。证明：在物体内任一点附近，取一微元体，棱边长分别为体积为。由于在线应变状态下，剪应变不会引起棱边长度的变化，而剪应变在小变形假设下引起体积的改变量为高阶微量，可以忽略。故研究体积的改变只考虑正应变所引起的变化，则变形后的体积为：于是体积应变定义为：上式展开时，考虑小变性假设，略去二次以上项，则有 6、已知位移矢量公式为，其中分别为标量位移位和矢量位移位，且，求证：（1）体应变；（2）。（1）证明： 因为为矢量位移位，因此，又因为为标量位移位，所以上式推出： （2）证明：因为为标量位移位，因此，则上式推出：又因为，所以7、已知在空间坐标系中，证明：（1）；（2）。（1）证明： 同理可得： ，因此： （2）证明：， 因此：三、简答题1、简述应用截面法分析弹性体内应力状态的原理步骤；答：外力是指其它物体作用在所研究物体上的力。内力是指因外力作用而使所研究物体内部各个部分之间产生的作用力，弹性力学中的内力是指“附加内力”，是依外力和变形而存在的。根据牛顿第三定律作用力和反作用力的关系，一个物体中的内力是成对出现的。当然，内力与外力是相对概念，对整个物体而言是内力，若用一个截面将其切开，在这个切开的面上的力，对被切开的任何一半而言就可以叫外力。这种用假想的截面将物体切开，并分成两部分，将该截面的内力（对未切开整体而言）暴露为外力（对切开后的任一半而言），用平衡条件确定其大小和方向，这种内力分析方法就叫做截面法。 可归结为以下四个步骤：（1）切：用假想的截面，在欲求某截面内力的地方将物体切开，并分成两部分；（2）去：去掉其中一部分，保留另一部分作为研究对象；（3）代：用截面上的内力代替移去部分对保留部分的作用，将内力暴露为外力；（4）平：建立保留部分的平衡方程，由已知外力求内力。 2、简述惠更斯原理；答：波动的起源是波源的振动，波动的传播是由于介质中质点之间的相互作用。对于连续分布的介质，其中任一点的振动将直接引起和它相邻各点的振动，因而波动中任何一点都可以看作新的波源。 （4分）惠更斯1690年首先提出这个原理，其要点是：（1）质点中波动传播到各点，这些点不论在同一波阵面还是不在同一波阵面，都可以看作新的波源；（2）这一系列新的波源产生二次扰动形成球面子波；（3）任一时刻，这些球面子波的包络形成新的波阵面。根据惠更斯原理，可从已知波前求出以后各时刻波前的位置。 3、简述什么是主应力、主平面、主方向，并论述弹性体内任一点的主平面、主应力和主方向的存在情况；答：过物体内一点可以做无数个斜微分面，这些斜微分面上正应力和剪应力都不相同，即随斜微分面方位不同而变化。对于物体内一点存在这样的微分面，在这面上只有正应力而无剪应力，且此时的正应力为极值。即对一般空间应力状态，正应力取极值的面上没有剪应力，这时该斜截面称为主平面，该斜截面上的正应力称为主应力，该斜截面的法线方向称为主方向。 物体内一点的主应力、主平面、主方向情况如下：1）存在三个大小不等，方向两两垂直的主应力，此时对于该点，存在三个方向两两垂直的主平面和主方向；2）存在一个主应力，对应一个主平面和主方向，以及在垂直于该主应力的无数个方向任意（但要垂直于该主应力）大小相等的一组主应力，对应一组方向任意且垂直该主应力所对应的主平面、主方向的主平面、主方向；3）该点不存在剪应力，任何方向都是主方向，任何方向的主应力大小相等，过该点的任何任意平面都是主平面。4、当震源点位于封闭曲面之外而接收点位于封闭曲面之内时，克希霍夫积分公式为：，简述此时克希霍夫积分公式的物理意义及与惠更斯原理的关系。答：克希霍夫积分公式式表明当震源在封闭区域外，区域内无震源时，震源对区域内M点，在时刻引起得扰动是完全由区域界面S上连续分布得新震源在各不同的时刻所发出的扰动，来确定。也就是说不管实际震源是什么样子，不管它位于区域之外何处，但是它在M点引起的扰动大小完全由S上的不同推迟位的扰动情况决定。因而可把曲面S上每一个点看作新震源，它们对M点引起的扰动，将其迭加起来和初震源对M点引起的扰动是一样的。应用Kirchhoff积分使得我们可以根据边界S上的及其导数，在不同时刻的值来确定在S所围区域内任一点M，在时刻的波场的值。这就是惠更斯原理，Kirchhoff积分不仅给出了惠更斯原理的描述，而且给出了定量计算结果。5、简述弹性动力学的假设条件答：（1）物体是连续的（2）均匀和各向同性假设（3）小变形假设（4）完全弹性假设（5）无初应力假设6、简述平面P波入射到自由界面和两层介质分界面上的物理现象。答案略。四、物体内某一点M的九个应力分量已知，为此在M点附近取一个与坐标轴倾斜的斜微分面，平行于该过M点的斜微分面，并与过M点而平行于坐标面的三个微分面构成一个微小四面体MABC（如图2所示），当ABC趋近于M点时，ABC面上的应力矢量就是过M点的任意斜微分面的应力状态，为此设ABC面上的任意矢量为（设N为斜微分面的外法线方向，但一般不指向N方向），据此推导出的三个分量与M的九个应力分量的关系（即柯西公式）。答：设斜微分面ABC的外法线方向N的方向余弦为，。又设斜微分面ABC的面积为，则面积，。四面微分体的体积MABC用表示。又由于各微分面积及整个四面微分体都很小，其上各面作用的应力及整个微面体上的体力可看作均匀分布的。设在坐标轴上的投影分量为，单位体积体力在坐标轴上的投影分量视为，。 在X方向上:由，即，两边除以，移项整理得，当斜微分面ABC趋近于M点时，由于是比更高一阶的微量，故趋于零，于是，。同理，由，可得y和z方向结果，写在一起为 对于运动情形，上式仍成立。写成矩阵形式 上式说明，作用在物体内一点任意斜微分面上的应力矢量的分量可以用作用在该点与坐标轴垂直的三个微分面上应力分量来表示。该式由Cauchy导出，因此又称Cauchy公式。五、在物体内任取一点，割取一个平行于坐标面的平行六面体，如图所示：为另一对称角点，MA=dx，MB=dy，MC=dz。求取直角坐标系下的平衡微分方程的推导。答：物体内不同点将有不同的应力，即应力是空间位置的函数点的应力状态且各个分量都是空间坐标的函数；下一个邻近点的应力状态与不完全相同，有微小差量。 先讨论前微分面，应力分量为，根据Taylor公式，在附近对它们进行展开，略去二阶以上项得到应力分量为，同样右微分面应力分量为，上微分量应力分量为，。 此外，物体受到的体力用单位质量的力表示，相应体力在方向的分量为，。根据平衡条件，考虑微平行六面体平衡，先由，得平衡方程两边同除以，整理得 同理，由，可得出另外两个方程，写在一起 这就是平衡微分方程。 六、设物体内无限邻近的任意两个点A和B，它们的坐标分别为为，。变形后分别移到A和B点；，和为A点的位移的三个分量，B点位移矢量的三个分量为，和，求点位移分量与点位移分量的关系（应用应变分量和旋转分量表示），并详细讨论点的位移组成。答：用，和表示A点的位移的三个分量，则B点位移矢量的三个分量为，和，将其按多元Taylor级数展开，略去二阶以上微量得到 进一步写成利用应变分量与位移分量关系，旋转分量与位移分量关系，进一步写成 (1)若A点附近单元体没有变形，与A无限邻近一点B的位移由A的平移和单元体绕基点A转动组成；应变分量为0；(2)若A点附近单元体发生变形（形状和体积的改变）B点的位移要包含应变引起的位移。综上所述，与A无限邻近的B点的位移由三部分组成，称为位移场的分解，(1)随同A的平移；(2)绕A点刚性转动在B点产生的位移；(3)A点附近单元体变形在B点产生的位移。七、已知在坐标系oxyz中，坐标原点O的应力张量为：，求坐标系旋转一定角度后(新旧坐标系的方向余弦关系如下表所示) O点的各应力分量与原应力分量的关系。xyzxl1m1n1yl2m2n2zl3m3n3新旧所标系的方向余弦关系 答：在新坐标系oxyz下应力张量为： （b）表示同一点M的九个应力分量。我们的任务是建立新坐标系下九个应力分量与老坐标系下应力分量的关系，为方便起见，将坐标原点O放在M点。显然只要求出（b）中的第一行三个分量与原坐标系中各应力分量的关系，其它应力分量可以通过x、y、z三者轮换（或同理推导）求得。，表示过M点（o点）并与ox轴垂直的微分面（与o yz重合）上应力失量（一般不与x方向重合）在新坐标系三个坐标轴上的投影，在老坐标系中三个坐标轴上的投影用、表示，表示新坐标轴单位矢量，,表示老坐标轴单位矢量，则有另一方面，过M点并与x垂直的微分面对原坐标系而言就相当于倾斜微分面，其外法线方向为ox轴方向，方向余弦为，和，由Cauchy公式 代入上式整理得 通过x，y，z三者轮换，可得其余6个应力分量，八、将以M点位顶点的微平行六面体（棱长分别为dx，dy，dz）在xoy坐标平面的投影为Madb，变形后为Madb（如图1所示），以xoy面上投影为例推导出应变和位移的关系（几何方程）。答：M点在x轴和y轴上的位移分量为，由位移是坐标的单值连续函数，点a和b的位移分别为：a：，b：，按照多元函数Taylor级数展开，略去二阶以上无穷小量，得：a：，b：， 于是按照应变分量的定义上式因为在小变形下，与1比较，值相对小得多，故可略去不计。同理，利用该微元体在另外两个坐标面上的投影就可以求出其它应变分量与位移分量关系，综合起来得到如下六个关系式： 上式称为几何方程，也可称Cauchy方程，它给出了六个应变分量与位移的关系。九、几何方程2（转动分量和位移的关系）的推导M1NQPN1Q1P1N3P3Q3答：，转动分量写成旋转矢量形式，可用位移矢量的旋度给出：十、推导直角坐标系下的应变分量间满足的应变协调方程。答：先考虑面内应变分量之间的关系。由,，分别对和取两次偏导数得，将两式相加，得到同理可求出另外两个平面内应变分量关系，写在一起 再考虑不同平面内应变分量之间的关系，由，分别对和求一阶偏导数第二和第三式相加，减去第一式得 同理可求得另外两个关系式，综合起来得到六个关系式 此即应变协调方程。十一、由直角坐标系下的运动微分方程、几何方程以及物理方程推导出以位移表示的运动微分方程拉梅方程。答：首先将几何方程式代入物理方程，得 再将上式代入运动微分方程中，整理得 式中，为拉普拉斯算子。上式就是以位移表示的运动微分方程，称为拉梅（Lame）方程。分别乘以写成矢量形式，并由，上式写成矢量形式，得 式中： 十二、证明沿任意方向传播的平面波。不管其传播方向如何，其传播速度要么为，要么为答：在坐标系中，沿方向传播的平面波，若以位移分量作为扰动函数，为传播速度，有 （a）其中，令，体积应变为 (b) 将（a）和（b）代入拉梅方程（5-10），且不考虑体力，得到：或 （c） 要使（a）表示的位移在弹性介质中存在，则（c）要有非零解，即，不能全部为零，要使(c)式成立，则系数行列式行列式展开化简得：于是： ,从而证明任意方向传播的平面波，不管其传播方向如何，其波速的大小不是，就是，而就是波动方程中得参数，也证明了波动方程中的参数就是波传播的速度。十三、已知直角坐标系下的齐次波动方程为，其中为任意波函数，求：1) 以位移位为波函数推导球坐标系下的弹性波波动方程，给出其通解，并分析其传播过程当中的能量变化规律；2) 应用1）式的结果，给出以位移作为波函数的外行波（由中心向四周扩散的球面波）的通解，并基于此通解分析均匀各向无限弹性介质中球面波的传播规律；1）答：，其中为介质内任一点的矢径大小，相应波动为球面波，即以原点为中心的任一球面上，各点的值在同一瞬间都相等。球坐标系坐标为与直角坐标系坐标关系（）为 (b)图Error! No text of specified style in document.1 球坐标系于是可得，同理可得：所以 （c）球坐标系下波动方程为即 （d）或 根据数学物理方程，(d)式是关于扰动函数的一维波动方程。其通解为即 （e）这里是关于的任意函数，是关于的任意函数，与激发子波有关，（e）为波动方程球对称解或球面解。显然，是由原点向外以波速传播的波，而则是向着原点以波速传播的波，它们的振幅都随增加而减少，称为球面扩散效应。 2）位移向量，为一标量位移位，满足波动方程 （a）其通解取由中心向四周扩散的球面波，为 （b）则位移场 （c）即 （d） 从球面波位移矢量场（d）式可以看出，球面波位移矢量场可分为两部分。当很小时，起主要作用，随着加大，该项作用迅速减弱，另一项贡献加大。远离震源很大时，接近零，成为主要项。这样，在震源附近，质点的位移基本上重复震源强度函数变化规律，称近震源场，远离震源时，质点的位移是震源强度函数的导数。这说明球面波在其传播过程中波形逐渐改变，这也是区别平面波的一个重要特点。 十四、已知平面波的波动方程为，则：（1） 给出其通解，并详细分析其各项的物理意义；（2） 证明质点振动速度远远小于平面波的传播速度。 （1）答：方程称为一维波动方程，描述平面波，包括平面纵波和平面横波的传播规律。针对，对上式两边取Fourier变换，令的Fourier变换为,得到 式中，称为圆波数。上式即为频率域的线性均匀常微分方程，称一维亥姆霍兹（Helmholtz）方程。这个方程的解为：对两边求反Fourier变换，并由Fourier变换的频移定理得： 其中和为任意子波函数，和是它们的